当前课程知识点:大学物理2 (电磁学、光学和量子物理) > WEEK4 > 电动势、欧姆定律的微分形式及基尔霍夫定律 > 欧姆定律(续)
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同学好
我们接着讲欧姆定律
及其回路电压定律
这节我们讲 基尔霍夫第二定律
下面看到的这个电路
大家熟悉的电桥电路
假如我想知道这个桥路上的电流的话
如果你仅用电阻的串并联公式
你是解决不了这个问题的
所以我们还需要更基本的规律
那么对于这个稳恒电流来说
节点有一个基尔霍夫第一定律
就是对一个节点来说
流入的电流等于流出的电流
但是这还不够
稳恒电场还有另一个特性
就是它是保守场
它的环路积分是等于0的
那么我们把这个式子
用文字来叙述的话
它应该是在稳恒电路中
沿着任何闭合回路一周的
电势降落的代数和它是等于0的
这个就是回路电压定律
或者我们也把它叫做
基尔霍夫第二定律
那么电场沿着路径的积分
当然就是这个路径的电势降落
那么这个式子我们在电路里边
如何表示呢
电路里边我们有电阻和电动势
在那里边
这样的一个表达式
具体的表现形式应该是什么样的
我们看一下 假如说
你在这个电路里边遇到了这个电阻
那么从a到b的这个电场积分
我们应该怎么算呢
利用欧姆定律
我们把这个电场改写成
电流密度除以电导率
那么在这一段线路当中
电流密度和这个积分的线元
它们是同一个方向的
所以你这个点积也可以直接写成
代数乘积
然后我们再分子乘以
这个导线的截面积S
分母再乘以S
这样的话这个Sj
就是这个电路当中的电流
电流都是一样的
所以你可以把电流
从积分式子里边提出来
里边这个式子呢刚好是
因为这个电告率的倒数不是电阻率吗
除以这一段导线的截面积
再乘上长度dl的积分
刚好是这一段线路的
这个导线的电阻
所以这个式子就变成了
电流乘上电阻了
那么在这个积分过程当中
因为我们选择了积分的这个路径
和电流的方向是一致的
所以说
你得出来的结果是正的IR
假如你这个选择的方向a到b
和电流的方向相反的话
那个时候呢
因为这里边点积的时候
会出现一个负号
所以你积分的结果就应该是负的IR
那么遇到电源的情况怎么样呢
前面我们讲过
从负极到正极
里边的这个非静电场的积分
刚好就是这个电源的电动势
如果你按照相反的方向积分的话
那它就是负的电动势
现在我们看一个电源
电源里边一般都是有电阻的
那么为了方便呢
我们把这个电阻和电源分开写
由于这一段电路既有电阻又有电源
所以我们要用全电路欧姆定律
那这一段电路电场的积分
我们可以利用这个式子
把电场这个形式化成这个形式
那么前面我们刚刚积分过
这个电流密度除以电导率
这一段积分实际上是
电流乘上电阻
后边这个非静电场的积分
刚好是这个电源的电动势
因为前边有负号所以这里边也有负号
假如你现在这个
积分的这个路径
积分的这个方向
和电流的方向不一致的话
当然我们这个式子里边
还要写一个负号
那这样的话基尔霍夫第二定律
就是从稳恒电场的保守性出发
我们利用全电路欧姆定律
把这个式子对一个回路
做一下积分的话
它应该是这样一个式子
根据我们刚刚的讨论
电流密度除以电导率这一项的积分
刚好是所有这个回路里边
电阻乘上这个它上面的这个电流
而后边这一项呢
是这个回路里边
所有的电源电动势的和
可是它前边取正取负这一点
完全取决于你这个回路积分
如果方向是和电流一致的话
那这个前边的这个符号取正号
否则的话取负号
对后面这一项的积分
本来这个
非静电场的积分是从负极到正极是电动势
可是因为这里边有个负号
所以你这个式子里边
电动势前边的这个符号
应该是假如你这个积分是从
正极到负极
那前边这个符号应该是取正的
反过来的话
你这个符号就要取负
下面大家看到的这是
基尔霍夫的一个头像
基尔霍夫这个人非常了不起
因为他发现的这个第一定律和第二定律
是在 他在本科学习阶段发现的
就大学还没有毕业
他就做出了这样的研究工作
这是一个非常了不起的事情
以后基尔霍夫参加工作以后
继续他的物理研究
在黑体辐射等研究方面
也做出了杰出的贡献
下面关于基尔霍夫第二定律
我们看一个例题
这是一个回路
当然其它的地方的电流我们不管
只看这一个闭合的路径
这里边有电阻R1 R2 R3 R4
有两个电动势ε2和ε4
这上面的电流我们标记了
R1上面的电流是I1 R2上面就是I2
其它的也都是一样的
那么对这个闭合回路
如果我们利用基尔霍夫第二定律的话
那上面的转一圈的
电势降落应该是等于0
写出来应该是这样
在这里边简单说明一下
R1这个电阻上面
电流的方向
和我们这个回路的方向是一致的
所以这个式子里边它是正号
R2这个电阻上
电流的方向是你看这个方向
和回路的方向相反
所以我们需要加一个负号
R3电流的方向也跟回路的方向相反
所以有个负号
R4上面电流的方向和回路方向
也是不一样的
所以我们也需要加一个负号
关于电动势
你看这里边
回路的方向是从正极到负极
所以ε2应该是取正号的
ε4这个电源 回路是从负极到正极的
所以它前面应该有个负号
那么写出来就是这个式子等于0
就是基尔霍夫第二定律
对这个回路的一个应用
再看下一个例子
这是一个无限长的梯型电路
这是很多都是一样的
一直下去每一个电阻都是R
现在问整个这个梯型电路的
等效电阻是什么
第二个问题是
第n个阶上
就是阶梯状的第n个阶梯上
电流应该是等于多少
那么这个问题我们怎么做呢
你看一看
由于这个是无限多的阶梯
我们从这个两端看
这两端和这两端其实是一回事
为什么呢
从这两端看这个阶梯是无限长的
从这两端看阶梯也是无限长的
所以说这两端的等效电阻
和这两端的等效电阻其实是一样的
我假设这个等效电阻是Rx的话
那么这个回路的等效电路应该是
这个R和这个R
以及剩下的这些等效电阻Rx并联
结果是什么呢
结果应该是总的等效电阻还是Rx
用数学表达式的话
这个R和这两个并联的电阻
加在一块还是Rx
那我把这里边的Rx求出来的话
这个就是
无限长这个阶梯线路的等效电阻
那在这个式子里边你可以看出来
这个等效电阻不到两倍的这个R
我们再看下一个问题
现在我们要知道第n阶上
或者我们在这里标着i阶
第i阶上电流应该是什么样子的
我们来看这个节点
在这个节点上
如果我应用基尔霍夫第一定律的话
当然流进来的电流应该等于流出去的
所以我们就很容易有这么一个式子
那么对这个回路来说呢
如果我想用基尔霍夫第二定律的话
这个回路从这一端
这两端往下这个等效电阻
仍然是Rx
所以你这个回路
其实你可以画成这样一种
等效电路这是有个R的
这上面是Rx
你这个回路是这样选取的
那么这个电流就是这个Ii'
这个上的电流是I(i+1)
实际上你要算的是 这么一个回路的
基尔霍夫第二定律
当然这个比较容易算出来
因为只有两项
它俩加起来当然是等于0了
因为你这个回路的方向
对这个Ii'这个电流来说
它是和电流的方向是相反的
所以你这里边要加一个负号
把这两个式子求解一下
我们就得到了这两个式子
那么我们现在要求的是
第n阶上的这个电流
第1阶上的电流怎么计算呢
第1阶上当然很容易计算
两端的电动势是ε
总的等效电阻是Rx
所以一开始的那个电流是这个式子
现在这个是递推关系
我们一个一个递推
递推出来第n个电流
应该是这么一个表达式
这个递推不难
稍微仔细一点就能做出来
那么把这个式子代入进去
就这么一个结果
I'这个电流也是一样的
这个式子里边你可以看出来
1加根号5是大于2的
所以这个是一个小于1的量
当你这个小于1的量
指数如果是很大的时候呢
这个数是要变小的
如果这个指数变得无限大
那么这个式子就变成0了
所以刚才我们研究的这个阶式电路
它这个每一个阶梯上的电流呢
它是逐步递减的
到无限远处的地方
电流就变成0了
我们再看最后一个例子
这个是一个平面网络
每一段上的这个电阻都是r
现在我有一个从这上面进入一个
流入一个电流
相邻的经过一个电阻r
以后的那个隔点上
把电流流出去了
这个电流多少呢是I
问你这个时候
这流入流出这两端的
等效电阻是等于多少
那么这个问题怎么做呢
我们利用叠加原理做
你想一想
我们不考虑流出电流这部分
先只考虑光有一个电流流入到
这个无限大的平面网络里边
那么因为根据对称性
电流流进来了
当然它向四面八方就流出去了
流出去的时候呢
根据对称性
这四段上的电流应该是平分的
所以每一段上只有1/4I这么多电流
比如说这上面电流有多少呢
这上面的电流只有1/4I
我们再考虑电流流出去的这一个过程
那么电流流进来的这部分过程
我们先不考虑
那么假如说电流是从
无限远处从网格过来流出去了
那么这个时候根据对称性
这个邻近的这几个电阻上
电流当然是一样的
所以这个时候从这流进来的
这个电阻上的电流应该是多少呢
根据对称性我们很容易算出来
它也是I/4
那现在我们把流入和流出
两件事情叠加一块考虑
刚才只考虑流入的时候
这段上有一个电流I/4
现在流出的时候呢
这上面也有一个I/4的电流
所以两个叠在一块考虑
中间这个电阻上电流是多少呢
合起来应该是I/4×2流入流出两个
那么这个电流再乘上这个电阻
刚好是这两端的电压
这个电压等于多少呢
其实就是电流乘上这两端的等效电阻
那么这个式子里边
你简单画一画我们就知道
等效电阻应该是r/2
好 这节内容就讲到这儿
谢谢
-电荷和库仑定律
--引言
--电荷
--库仑定律
-WEEK1--电荷和库仑定律
-电场及叠加原理,电偶极子
--电场和电场强度
-WEEK1--电场及叠加原理,电偶极子
-高斯定律
--电通量
--立体角*
--高斯定律的证明*
--高斯定律和电场线
--高斯定律的应用
-WEEK1--高斯定律
-WEEK1--本周作业
-静电场环路定理、电势和叠加原理
--环路定理
--电势和叠加原理
--电势梯度
--等势面
-WEEK2--静电场环路定理、电势和叠加原理
-静电能
--电荷系静电能
-WEEK2--静电能
-导体静电平衡
--物质中电场
--导体静电平衡
-WEEK2--导体静电平衡
-WEEK2--本周作业
-导体周围电场
-WEEK3--导体周围电场
-静电屏蔽
--导体壳与静电屏蔽
-WEEK3--静电屏蔽
-电容及电容器
--电容及电容器
-WEEK3--电容及电容器
-电介质
--介质对电场的影响
-WEEK3--电介质
-极化强度矢量,极化电荷
--极化强度
--极化电荷
-WEEK3--极化强度矢量,极化电荷
-WEEK3--本周作业
-极化规律、电位移矢量
--电介质的极化规律
-WEEK4--极化规律、电位移矢量
-有介质时静电场能量
-WEEK4--有介质时静电场能量
-电流密度、稳恒电流和稳恒电场
--电流密度
-WEEK4--电流密度、稳恒电流和稳恒电场
-电动势、欧姆定律的微分形式及基尔霍夫定律
--电动势
--欧姆定律
--欧姆定律(续)
-WEEK4--电动势、欧姆定律的微分形式及基尔霍夫定律
-电流微观图像和暂态过程
--电流微观图像
-WEEK4--电流微观图像和暂态过程
-本周作业
--week4--本周作业
-洛仑兹力、磁感应强度
--电流磁效应
--磁场和磁感应强度
-WEEK5--洛仑兹力、磁感应强度
-毕-萨-拉定律、磁场叠加原理和磁场高斯定理
--毕-萨-拉定律
--磁场高斯定律
-WEEK5--毕-萨-拉定律、磁场叠加原理和磁场高斯定理
-静磁场环路定理
-WEEK5--静磁场环路定理
-安培力和霍尔效应
--霍尔效应
--安培力
-WEEK5--安培力和霍尔效应
-WEEK5--本周作业
-载流线圈在均匀磁场中受的磁力矩、磁矩
-WEEK6--载流线圈在均匀磁场中受的磁力矩、磁矩
-磁介质对磁场的影响和原子磁矩
--磁场中的磁介质
--原子的磁矩
-WEEK6--磁介质对磁场的影响和原子磁矩
-磁化强度矢量、磁化电流和磁场强度H及其环路定理
--磁介质的磁化
--磁化电流
-WEEK6--磁化强度矢量、磁化电流和磁场强度H及其环路定理
-WEEK6--本周作业
-铁磁介质和简单磁路
--磁场的界面关系
--铁磁性材料
-WEEK7--铁磁介质和简单磁路
-法拉第电磁感应定律
-WEEK7--法拉第电磁感应定律
-动生电动势和感生电动势、感生电场和涡流
--动生电动势
--涡电流
-WEEK7--动生电动势和感生电动势、感生电场和涡流
-自感和互感
--自感
--互感
-WEEK7--自感和互感
-WEEK7--本周作业
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--磁场的能量
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-位移电流和麦克斯韦方程组
--麦克斯韦方程组
-WEEK8--位移电流和麦克斯韦方程组
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--电磁波
--坡印廷矢量
--电磁波的动量
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-本周作业
--week8--本周作业
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--波动光学——引言
-WEEK9--波动光学—引言
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--双缝干涉
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-WEEK9--光程、等倾和等厚干涉
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--迈克耳逊干涉仪
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-WEEK14--X射线、激光、分子光谱简介
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