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立体角*

下一节:高斯定律的证明*

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立体角*课程教案、知识点、字幕

同学好 这一节我们讲立体角

我们先回顾一下平面角

假设有一个圆

圆心在O

上面有一段长度dl

这个dl所对应的平面角

我们怎么计算呢

很简单它就是dl比上r

假设现在有这么一个线段

dl这么长的

它对于某一点O

所张的平面角dθ应该怎么计算呢

我们这样做

取O到这个线段之间的距离r

作为半径

做一个圆弧

那么dl对这个O点射线

两个射线截下来这么一段圆弧的长度

这个平面角等于多少呢

就是这一段圆弧的长度

比上这个距离r

可是原来我们考察的这个dl这个线段

和这段圆弧之间的夹角是φ

所以说dl对某个O点所张的平面角

是dlcosφ除以r

我们再来看一看立体角

立体角其实是这样

假设有这么一个球

O是球心

那么如果我在球面上

选这么一小块面积dS

那么以这个dS小面的边缘开始

向着这个球心O引射线

这些射线围成的这个角度

就是立体角dΩ

那么这个锥形的立体角dΩ

等于多少呢

它是等于

这个面积除以这个球的半径的平方

那么我们现在考察

任意一个小块面元

它的面积大小是dS

它这个面元的法线方向是n帽

那么这个小面元对某一个O点

所张的立体角应该等于多少呢

也就是以这个面元的边线开始

向着O点引射线

那么这个锥形的射线

所张的这个角度就是这个立体角

它应该怎么计算呢

我们这样做

以这个O到这个面元之间的距离r为半径

做一个球面

它在这个锥形的射线里面就截掉了

一小段球面

就是这个蓝线所标记的小球面

那么这块小球面和这个面元之间

夹角是φ的话

那么它们之间有关系就是

这个面元dS乘上cosφ就是

这个小球面的面积

那么刚才我们说了

这个立体角呢

就是这一小块球面除以这个距离r平方

可是这一小块球面不是说dS乘上cosφ吗

所以它的立体角就可以表示成这个样子

考虑到刚才这个角φ

其实也是这个面元的法线方向

和径向之间的夹角

所以这个式子呢

你可以把它表示成

径向和面元的法向之间的点积

这个刚好是cosφ

然后乘上dS除以r平方

当然你也可以把这个

法向单位矢量和dS的乘积

用面元矢量来表示

这就是小块面元对某个O点所张的立体角

现在我们考察

一个闭合曲面对某一点所张的立体角

假设有一个闭合曲面

当然它对某一点所张的立体角呢

就是等于这个

这个刚才我们给出来的表达式

假设

我们考察的那一点

是在这个闭合曲面里边

那么我们在这个考察的这一点附近

我们做一个球面

这个球面当然也在这个闭合曲面里边的

现在我们从这个球心

开始向外引锥形的射线

这个锥形射线比如说角度很小

那么它在这个球面上

就截取了一小块面积

比如说是dS0

它在外面那个闭合曲面上

也同时要截取一个小面元dS

那么这个小面积和这个小球面

对这一点所张的立体角

其实是同一个立体角

因为它是同一个射线

所围成的立体角

那么这样闭合曲面上任何一小块面积

总可以和里边球面上一小块面积所对应

那么我们现在可以在个闭合曲面上

可以找到无数个小面积

那么每一个小面积

都可以对应一个球面上的一个小面积

这两个小面积对应的立体角都是一样的

那么整个这个闭合曲面

对某一点所张的立体角

其实是每一块小面积

对这一点所张的立体角的和

那也就是

闭合曲面对某一点所张的立体角

其实就是这里边的球面

对这一点所张的立体角

这个球面对这一点

所张的立体角等于多少呢

根据这个公式

对闭合曲面内一点

里面总有一个小球面对应

这个球面对这一点所张的立体角

就应该是

球面的小面积

和球的半径的平方的比值的求和

当然我们知道

这个球面积是等于4πr平方

所以如果你把这个小面积都加起来

就是球面面积 也就是4πr0平方

把r0平方约掉的话

一个球面对球心所张的立体角

其实是等于4π的

这个其实也是这个闭合曲面

对它内部某一点所张的立体角

那么对于闭合曲面外一点呢

我们从这一点开始引锥形的射线

那么它在这个闭合曲面上

一定会截取出来对应的两个小面元

这两个小面元对这一点所张的立体角

是同一个立体角

可是根据我们前面讲过的

闭合曲面上面元的方向

是以向外为正的

那么这两个小面元的方向

在这一侧如果是向外的话

在这一侧是向外为正

所以虽然他们所对应的立体角是同一个

可是你用这个公式计算出来的结果呢

是这个小面元和这个小面元

对这一点所张的立体角是大小相等

符号相反

所以和在一块它是等于0的

现在我们考察整个一个闭合曲面

对这一点所张的立体角

应该是每块小面元

对这点所张立体角的和

可是这样求和的时候

你总是两两求和

而这两两总是互相抵消的

所以一个闭合曲面

对它闭合曲面外一点所张的立体角

它是等于0的

好,这节内容就讲到这儿

谢谢

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WEEK1

-电荷和库仑定律

--引言

--电荷

--库仑定律

-WEEK1--电荷和库仑定律

-电场及叠加原理,电偶极子

--电场和电场强度

--点电荷电场及叠加原理

--点电荷电场及叠加原理(续1)

--点电荷电场及叠加原理(续2)

--点电荷电场及叠加原理(续3)

-WEEK1--电场及叠加原理,电偶极子

-高斯定律

--电通量

--立体角*

--高斯定律的证明*

--高斯定律和电场线

--高斯定律的应用

--高斯定律的应用(续)

-WEEK1--高斯定律

-WEEK1--本周作业

-week1课件

WEEK2

-静电场环路定理、电势和叠加原理

--环路定理

--电势和叠加原理

--电势和叠加原理(续)

--电势梯度

--等势面

-WEEK2--静电场环路定理、电势和叠加原理

-静电能

--电荷系静电能

--电荷系静电能(续1)

--电荷系静电能(续2)

-WEEK2--静电能

-导体静电平衡

--物质中电场

--导体静电平衡

--导体静电平衡条件(续1)

--导体静电平衡条件(续2)

-WEEK2--导体静电平衡

-WEEK2--本周作业

-week2课件

WEEK3

-导体周围电场

--有导体时静电场的计算

--有导体时静电场的计算(续)

-WEEK3--导体周围电场

-静电屏蔽

--导体壳与静电屏蔽

-WEEK3--静电屏蔽

-电容及电容器

--电容及电容器

--电容及电容器(续)

-WEEK3--电容及电容器

-电介质

--介质对电场的影响

-WEEK3--电介质

-极化强度矢量,极化电荷

--极化强度

--极化电荷

-WEEK3--极化强度矢量,极化电荷

-WEEK3--本周作业

-week3课件

WEEK4

-极化规律、电位移矢量

--电介质的极化规律

--电介质的极化规律(续)

--电位移矢量及其应用

--电位移矢量及其应用(续)

-WEEK4--极化规律、电位移矢量

-有介质时静电场能量

--有介质时静电场能量

-WEEK4--有介质时静电场能量

-电流密度、稳恒电流和稳恒电场

--电流密度

--稳恒电流和稳恒电场

-WEEK4--电流密度、稳恒电流和稳恒电场

-电动势、欧姆定律的微分形式及基尔霍夫定律

--电动势

--欧姆定律

--欧姆定律(续)

-WEEK4--电动势、欧姆定律的微分形式及基尔霍夫定律

-电流微观图像和暂态过程

--电流微观图像

--电容器的充放电(暂态过程)*

-WEEK4--电流微观图像和暂态过程

-本周作业

--week4--本周作业

-week4课件

WEEK5

-洛仑兹力、磁感应强度

--电流磁效应

--磁场和磁感应强度

-WEEK5--洛仑兹力、磁感应强度

-毕-萨-拉定律、磁场叠加原理和磁场高斯定理

--毕-萨-拉定律

--毕-萨-拉定律(续)

--磁场高斯定律

-WEEK5--毕-萨-拉定律、磁场叠加原理和磁场高斯定理

-静磁场环路定理

--安培环路定理及其应用

--安培环路定理及其应用(续1)

--安培环路定理及其应用(续2)

-WEEK5--静磁场环路定理

-安培力和霍尔效应

--带电粒子在磁场中的运动

--霍尔效应

--安培力

-WEEK5--安培力和霍尔效应

-WEEK5--本周作业

-week5课件

WEEK6

-载流线圈在均匀磁场中受的磁力矩、磁矩

--载流线圈在均匀磁场中受的磁力矩

-WEEK6--载流线圈在均匀磁场中受的磁力矩、磁矩

-磁介质对磁场的影响和原子磁矩

--磁场中的磁介质

--原子的磁矩

-WEEK6--磁介质对磁场的影响和原子磁矩

-磁化强度矢量、磁化电流和磁场强度H及其环路定理

--磁介质的磁化

--磁化电流

--有磁介质时磁化的规律

-WEEK6--磁化强度矢量、磁化电流和磁场强度H及其环路定理

-WEEK6--本周作业

-week6课件

WEEK7

-铁磁介质和简单磁路

--磁场的界面关系

--铁磁性材料

-WEEK7--铁磁介质和简单磁路

-法拉第电磁感应定律

--法拉第电磁感应定律

--电磁感应定律和磁通连续定理的普适性

-WEEK7--法拉第电磁感应定律

-动生电动势和感生电动势、感生电场和涡流

--动生电动势

--感生电动势和感生电场

--涡电流

-WEEK7--动生电动势和感生电动势、感生电场和涡流

-自感和互感

--自感

--互感

-WEEK7--自感和互感

-WEEK7--本周作业

-week7课件

WEEK8

-暂态过程和磁场能量

--RL电路的暂态过程

--磁场的能量

-磁场和电场的相对性

--电场和磁场的相对性

-位移电流和麦克斯韦方程组

--麦克斯韦方程组和电磁波

--麦克斯韦方程组

-WEEK8--位移电流和麦克斯韦方程组

-电磁波、坡因廷矢量和光压

--电磁波

--坡印廷矢量

--电磁波的动量

--光压——辐射压强

-本周作业

--week8--本周作业

-week8课件

WEEK9

-波动光学—引言

--波动光学——引言

-WEEK9--波动光学—引言

-杨氏双缝干涉、相干光

--光的干涉

--双缝干涉

-WEEK9--杨氏双缝干涉、相干光

-光源及发光性质

--光源的发光特性

--时间相干性

--空间相干性

-WEEK9--光源及发光性质

-光程、等倾和等厚干涉

--光程

--薄膜干涉(一)

--薄膜干涉(二)

-WEEK9--光程、等倾和等厚干涉

-迈克耳逊干涉仪

--迈克耳逊干涉仪

-WEEK9--本周作业

-week9课件

WEEK10

-衍射现象、单缝夫琅禾费衍射

--惠更斯原理

--单缝夫琅禾费衍射

--单缝夫琅禾费衍射(续)

-WEEK10--衍射现象、单缝夫琅禾费衍射

-光栅衍射

--光栅衍射

--光栅衍射(续)

-WEEK10--光栅衍射

-光学仪器分辨本领

--光学仪器的分辨本领

--光学仪器的分辨本领(续)

-WEEK10--光学仪器分辨本领

-X射线晶体衍射

--X射线的衍射

-WEEK10--X射线晶体衍射

-WEEK10--本周作业

-week10课件

WEEK11

-光的偏振状态和偏振片

--光的偏振状态

--光的偏振状态(续)

--起偏和检偏

-WEEK11--光的偏振状态和偏振片

-反射和折射光偏振

--反射和折射及散射光的偏振

-WEEK11--反射和折射光偏振

-晶体双折射、波片

--双折射

--双折射(续)

--波片

-WEEK11--晶体双折射、波片

-偏振光干涉、人工双折射和旋光

--偏振光的干涉

--人工双折射

--旋光现象

-WEEK11--偏振光干涉、人工双折射和旋光

-量子物理诞生和黑体辐射

--量子物理

--黑体辐射

-WEEK11--量子物理诞生和黑体辐射

-WEEK11--本周作业

-week11课件

WEEK12

-光电效应、光子和康普顿效应

--光电效应

--光子

--光子(续)

--光子(续2)

--康普顿效应

-WEEK12--光电效应、光子和康普顿效应

-物质波、波函数和概率密度

--物质波

--波函数

--波函数(续)

-WEEK12--物质波、波函数和概率密度

-不确定性关系

--不确定关系

-WEEK12--不确定性关系

-薛定谔方程

--薛定谔方程

-WEEK12--薛定谔方程

-一维无限深势阱

--一维无限深势阱

-WEEK12--一维无限深势阱

-WEEK12--本周作业

-week12课件

WEEK13

-一维问题

--一维谐振子

--势垒穿透

--扫描隧道显微镜

-WEEK13--一维问题

-氢原子能级和角动量

--原子中的电子

--玻尔理论发展的基础

--氢原子的量子力学处理

--能量量子化

-WEEK13--氢原子能级和角动量

-电子自旋、费米子和泡利不相容原理

--电子自旋与自旋轨道耦合

--碱金属原子光谱的双线

--微观粒子的不可分辨性

--各种原子核外电子排布

-WEEK13--电子自旋、费米子和泡利不相容原理

-WEEK13--本周作业

-week13

WEEK14

-X射线、激光、分子光谱简介

--video

--Video

--分子光谱简介

--激光

--光学谐振腔

-WEEK14--X射线、激光、分子光谱简介

-固体电子气模型和量子统计

--固体

--自由电子气体模型

--量子统计

-WEEK14--固体电子气模型和量子统计

-能带模型

--能带

-能带模型--作业

-本周作业

--WEEK14--本周作业

-week14

WEEK15

-半导体和PN结

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-WEEK15--半导体和PN结

-原子核性质、核磁共振

--Video

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--Video

-WEEK15--原子核性质、核磁共振

-放射性和衰变规律

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--α衰变

--穆斯堡尔效应

--β衰变

-WEEK15--放射性和衰变规律

-结合能、核力

--核的结合能

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