当前课程知识点：大学物理2 (电磁学、光学和量子物理) > WEEK4 > 极化规律、电位移矢量 > 电位移矢量及其应用（续）
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同学好 这一节我们接着讲
电位移矢量D
讨论边值关系
假设有介质1和介质2
中间当然是界面了
那么在介质1里边的这个
电场和电位移矢量
我们用E1和D1这两个矢量表示
介质2用2作为脚标
我在这个界面上 选择一个正方向
这个n冒是单位矢量
现在 我在这个界面上
用一个很薄的
圆柱面作为高斯面
那么两个底面
分别是在介质1和在介质2上
而这个柱体的高度是非常非常小
所以侧面的通量是可以忽略的
所以对这个高斯面 D的高斯定理
实际上只有
两个底面上的通量的贡献
那么这个底面1上
我们当然要用
介质1的这个电位移矢量
底面2上的当然要用介质2上的
电位移矢量
那么和这个方向相对照
这个高斯面
上面这个底面上的这个法线方向
当然是和n 是同向的
可是在介质2上的那个
底面上的法线方向
和n的方向刚好相反
所以这里面2界面上
电位移矢量法线分量用负号
那么根据D的高斯定理
它就应该是等于
这个高斯面所包围的
里面的自由电荷
那么这个自由电荷假设有q0的话
现在如果我把这个
底面的面积除过来
正好是 这个界面上自由电荷面密度
所以 这两个界面上法线分量的差值
是等于这界面上 自由电荷面密度
假如 这个分界面上
没有自由电荷的话
电位移矢量沿着法线方向的分量
当然就要连续了
假如 我在这个界面上
做一个矩形的小环路
环路是这样取的
假设这个矩形长的这个方向上的
长度叫做Δl
横跨这个界面的这个长度
我们取的很小很小
所以 沿着这个线段上
电场的积分完全可以忽略
假设 这个切向方向
规定为这个是正方向
那么 电场沿着这个闭合路径的积分
实际上有两部分贡献
一部分是沿着介质1 这个Δl长度
另一部分是沿着介质2
和这个切线方向相反的方向乘上Δl
所以这个环路积分
两部分当中 2介质上的这个积分
它要取负值
因为它的方向和切线方向是相反的
那么 根据静电场的环路定理
它是等于0
那么这个Δl虽然小 但是它不等于0
所以 从这个式子里边我们很容易得到
介质界面两侧
电场沿着切线方向的分量
它是连续的
我们再看一看
这是法线方向 这是切线方向
那么 电场和这个法线方向的夹角
假如是θ的话
当然介质1里面是θ1
介质2里面是θ2
那么假设 我们在这个分界面上
没有自由电荷
那么这个情况我刚才说了
电位移矢量沿着法线分量
应该是连续的
根据介质方程
这个式子 你也可以推得
电场法线分量的这种关系式子
那么这里边 这个tanθ
其实是
电场法线分量分之电场切线分量
或者你也可以用电位移矢量
来表示这个tanθ
这是一样的
如果我们分别对θ1和θ2计算tan
然后 算它们的比值的话
利用这个式子 我们可以化简
因为切线分量是连续的
法向分量之间比值是这个
所以我们得到
这两个角度tan的比值
是等于 这两个介质介电常数的比值
这个和光学里边折射定律相比较
我们有时候把它叫做电位移线
或者是电场的折射定理
下面 我们进一步讨论
和界面有关的一些问题
假设 现在有两个电介质
这是各向同性的 而且均匀的
现在在它们分界面上
我放了一个电荷q
这时候问
周围的这个电场应该是什么样子的
你可能想 由于D的高斯定理里面
只出现自由电荷
那这里面自由电荷
只在这 别的地方没有
所以你可能想 这个问题
D会不会是球对称分布的
但其实这个问题
你得从另一个角度考虑
由于这个电荷刚好在分界面上
所以它产生的电场
在分界面上
只有沿着分界面的这个分量
没有垂直于分界面的这个分量
那前面我们讨论过了
介质表面面电荷密度
它是等于这个介质面上
极化强度法线分量
如果你这上面没有
法线分量的电场的话
它在法线方向上
也不会有极化强度
所以 在这个界面上
就不会有极化电荷出现
所以 电荷只能集中在这个位置上
即使有极化电荷
它也只能在这个点电荷附近出现
所以满空间有电荷的地方
就这个点附近
很显然它的电场应该是球对称的
因为电场是电荷直接产生的
那如果我在这里面画一个球面
球心就在这个电荷上
那么这个时候 在球面上
电场 根据球对称性
应该大小是相等的
可是 这两个地方
介电常数是不一样的
所以这两个半球面上
电位移矢量D就不会一样
所以D不可能是球对称的
既然电场是球对称的
很显然 它的电场
大小应该用这个来表示
这里边q就是这个电荷
q'就是这个q附近的那些极化电荷
但是这个极化电荷现在暂时不知道
那么我们怎么计算呢
或者我们怎么计算这个电场呢
根据D的高斯定理
那么通过这个球面D的通量
应该是等于里边包围的这个电荷q
那这个通量怎么计算呢
我们说了 这个球面上D
和这个球面上的D是不一样的
但是在这半个球面上 D都是一个值
所以我们假设这上面的D是D2
这下面的D是D1的话
那么根据介质方程
相应的D和这个电场之间
有这么个关系
那么 我现在计算这个通量
两个半球的叠加
半个球面积乘上 一个是D1一个是D2
那么它是等于q的
那么我们把这个i等于1和2的情况
分别代到这里边
我们就得到
关于电场的这么一个式子
很容易求出来 电场就等于这个
那么和它比较
你当然可以算出
点电荷附近的极化电荷q'
把这个式子用到这上面
你也可以分别计算
上下两个介质里边的电极化矢量D
我们再看一个问题
假如说 在这两个介质的边界上
有两个点电荷
那这个时候
周围的电场怎么计算呢
有一个点电荷的时候
我们会计算了是吧
有两个的时候无非你利用一下
电场的叠加原理就可以了
我们再看一个下面这个问题
假设有一个导体球它是带电Q的
它刚好放在两个介质的界面上
那么这个界面在什么位置呢
刚好平分这个导体球
那么这个时候请问
这个导体球上这些电荷是怎么分布的
周围的电场是什么样子的
当然这个问题是比较复杂的
但是我们可以利用
我们刚才已经知道的这些知识
我们可以分析它
并可以猜出一个解来
你比如说
因为它刚好在这个界面上
界面是平分这个导体球的
假设 没有这些介质的时候
那么导体球上的电荷当然是均匀分布
那么它在这个这些位置上
就在平分导体球的平面位置上
电场是什么样子的呢
很显然 它只有沿着这个平面的分量
没有垂直于这个平面的分量
另外 由于这个导体球上
电荷是均匀分布的
所以导致了这个导体球里边
电场是等于0
那么现在假设你有了这些介质
假如说有了这些介质以后
如果导体球上的这些自由电荷
和这些介质上的极化电荷合在一起
它们在这个球面上的电荷分布
如果是均匀的
合在一块是均匀的时候
那么我们知道
它们在这个导体球里边
共同产生的电场当然也是等于0
它们在这两个电介质的界面上
产生的电场
也只有 沿着这个平面的分量
没有垂直于这个的分量
由于没有垂直的分量
这个分界面上
不会有极化的电荷出现
那现在呢
我们就知道了 在这种情况下
电场就会是球对称的
而且
你回过头来再分析的时候 你会发现
如果自由电荷和极化电荷
在这个球表面上的分布是均匀的话
那么导体球里边电场等于0
介质的这个分界面上
也没有极化电荷
所以 你所知道的
这里面的静电平衡条件它都是满足的
也就是说 你已经找到了一个自洽解
根据静电场的唯一性定理
你找到了一个解
那么它就是这个问题的解
一旦我们知道了
这个电场具有球对称分布的话
我们就可以知道
对外边的这个空间
电场应该是什么样子呢
电场就相当于
所有的表面上的电荷
集中于球心的时候的那个电场
那个就相当于在界面上放了一个
点电荷的情况是一样的
那个问题我们刚刚 前一页讲过
所以这个结果
跟前一页的那个点电荷的情况结果
是一样的
唯有不同的是
在导体球这个区域里边
当然电场要等于0了
那么有关电介质界面存在的时候
静电场的计算问题
在这个书上 有稍微详细的讨论
那么这本书是科大的
胡友秋 程福臻 叶邦角他们合著的
有兴趣的同学可以自行去查阅
好 这节内容就讲到这儿
谢谢
-电荷和库仑定律
--引言
--电荷
--库仑定律
-WEEK1--电荷和库仑定律
-电场及叠加原理，电偶极子
--电场和电场强度
-WEEK1--电场及叠加原理，电偶极子
-高斯定律
--电通量
--立体角*
--高斯定律的证明*
--高斯定律和电场线
--高斯定律的应用
-WEEK1--高斯定律
-WEEK1--本周作业
-静电场环路定理、电势和叠加原理
--环路定理
--电势和叠加原理
--电势梯度
--等势面
-WEEK2--静电场环路定理、电势和叠加原理
-静电能
--电荷系静电能
-WEEK2--静电能
-导体静电平衡
--物质中电场
--导体静电平衡
-WEEK2--导体静电平衡
-WEEK2--本周作业
-导体周围电场
-WEEK3--导体周围电场
-静电屏蔽
--导体壳与静电屏蔽
-WEEK3--静电屏蔽
-电容及电容器
--电容及电容器
-WEEK3--电容及电容器
-电介质
--介质对电场的影响
-WEEK3--电介质
-极化强度矢量，极化电荷
--极化强度
--极化电荷
-WEEK3--极化强度矢量，极化电荷
-WEEK3--本周作业
-极化规律、电位移矢量
--电介质的极化规律
-WEEK4--极化规律、电位移矢量
-有介质时静电场能量
-WEEK4--有介质时静电场能量
-电流密度、稳恒电流和稳恒电场
--电流密度
-WEEK4--电流密度、稳恒电流和稳恒电场
-电动势、欧姆定律的微分形式及基尔霍夫定律
--电动势
--欧姆定律
--欧姆定律（续）
-WEEK4--电动势、欧姆定律的微分形式及基尔霍夫定律
-电流微观图像和暂态过程
--电流微观图像
-WEEK4--电流微观图像和暂态过程
-本周作业
--week4--本周作业
-洛仑兹力、磁感应强度
--电流磁效应
--磁场和磁感应强度
-WEEK5--洛仑兹力、磁感应强度
-毕-萨-拉定律、磁场叠加原理和磁场高斯定理
--毕-萨-拉定律
--磁场高斯定律
-WEEK5--毕-萨-拉定律、磁场叠加原理和磁场高斯定理
-静磁场环路定理
-WEEK5--静磁场环路定理
-安培力和霍尔效应
--霍尔效应
--安培力
-WEEK5--安培力和霍尔效应
-WEEK5--本周作业
-载流线圈在均匀磁场中受的磁力矩、磁矩
-WEEK6--载流线圈在均匀磁场中受的磁力矩、磁矩
-磁介质对磁场的影响和原子磁矩
--磁场中的磁介质
--原子的磁矩
-WEEK6--磁介质对磁场的影响和原子磁矩
-磁化强度矢量、磁化电流和磁场强度H及其环路定理
--磁介质的磁化
--磁化电流
-WEEK6--磁化强度矢量、磁化电流和磁场强度H及其环路定理
-WEEK6--本周作业
-铁磁介质和简单磁路
--磁场的界面关系
--铁磁性材料
-WEEK7--铁磁介质和简单磁路
-法拉第电磁感应定律
-WEEK7--法拉第电磁感应定律
-动生电动势和感生电动势、感生电场和涡流
--动生电动势
--涡电流
-WEEK7--动生电动势和感生电动势、感生电场和涡流
-自感和互感
--自感
--互感
-WEEK7--自感和互感
-WEEK7--本周作业
-暂态过程和磁场能量
--磁场的能量
-磁场和电场的相对性
-位移电流和麦克斯韦方程组
--麦克斯韦方程组
-WEEK8--位移电流和麦克斯韦方程组
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--电磁波
--坡印廷矢量
--电磁波的动量
--光压——辐射压强
-本周作业
--week8--本周作业
-波动光学—引言
--波动光学——引言
-WEEK9--波动光学—引言
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--光的干涉
--双缝干涉
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--迈克耳逊干涉仪
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--薛定谔方程
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