当前课程知识点：大学物理2 (电磁学、光学和量子物理) > WEEK3 > 导体周围电场 > 有导体时静电场的计算（续）
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同学好
这节我们接着讲
有导体的时候静电场的计算
我们讲特殊方法就是电像法
假设有这么一个等势面
我现在在这个等势面上
放导体薄片 很薄的
放在那上面
而且让这个导体的电势
和原来等势面上的电势是一样的
这个时候
周围的电场不会有任何变化
你也觉察不了
你是放了导体薄片
还是没有放导体薄片
现在我们再看
假设有这么一个导体周围有一个电荷
当然可以有很多其它的电荷都可以
假设这种情况下呢
由于导体静电感应
这附近就会感应出一些电荷
然后这附近的电场会非常复杂
假如说
我现在恰好可以找到
在导体里边放置的一些像电荷
这些像电荷的位置和电荷
刚好什么呢
刚好是使得这些电荷
合起来产生的电势
在这个原来导体表面的那个面上
产生的是一个等势面
而且这个等势面
和原来那个导体的电势是一样的
这个时候呢
外边的电场不会有任何改变
和原来这个导体的情况
它是完全一样的
这个就是镜像法的意思
我们看一个例题
假设有一个无限大接地导体平板
附近有一个点电荷小q
这是导体平板了
它是接地的
离这个平板距离a的地方
有一个点电荷小q
这个时候
这附近的场强是怎么分布的呢
这个导体板上
感应的这些面电荷密度
又是什么样的呢
当然这个问题比较复杂
假如你对点电荷的场比较熟悉的话
在这个平面的另一侧
我们放一个负q的电荷
它距离这平面的距离
和这个正q的距离是一样的
这个时候呢
你很容易利用点电荷的
电势公式计算出来
这两个电荷在这平面上
产生的电势是等于0的
所以外边的空间
你很难觉察
这个平面是因为导体接地
才使得这个电势是等于0呢
还是本来这个地方
就是一个电势等于0的等势面
所以这个原电荷和像电荷
它们产生的场
满足同样的边界条件
也就是说它们俩的场在这个平面上
也是电势等于0的一个等势面
这样一来呢
这个空间的电场
你可以用这两个点电荷产生的
电场来计算了
这样呢这两个点电荷的场
当然比较容易计算
假设这两个点电荷的坐标是这样的
这个方向是z轴 这个方向是y轴
在任一点 p这个位置
p这个位置一定要在
电势等于0平面上边
也就是这个平面取为z等于0了
这时候p点的这个电势呢
当然很容易利用电势叠加原理
把它计算出来
就是这样
我们把p点的坐标
用xyz来代替的话
这个式子可以在直角坐标系里边
可以表示成这样的一个式子
利用电势梯度的公式
我们可以很容易计算出来
x方向的电场分量
它是等于这个
那么y方向的电场分量呢
同样我们可以把它整理成这样的形式
z分量也是一样的
我们简单看一下这个图示
假设我们研究的这个长点
是非常靠近这个导体板的
也就是说它的z坐标是等于0的
这个时候呢
r1和r2是一样的
从这个式子里边我们看到
它的电场x分量和y分量
这个时候是等于0的
所以靠近导体板的那些位置上
电场只有z分量
也就是垂直于导体板的这个方向
这当然我们早就知道
因为导体表面附近的这个电场
它是垂直于导体表面的
下面我们再看一看
平板上这个电荷面密度怎么计算
也就是z等于0的那个平面
上面的这个电荷面密度
导体表面的电场和面密度之间
我们知道有这样一个关系
把刚才我们计算的电场的z分量
在z等于0的时候取值带进去
我们就得到这样一个式子
我们先看一个简单的图式
如果我们从上面看
这是一个导体平板
点电荷在上面
我们从点电荷的上面往下看
这个时候我们再看这个式子
会发现什么呢
假如说这个电荷所在的位置
x和y坐标是等于0的话
那么以这个原点作为圆心画圆的话
在同一个圆上的电荷面密度是一样的
因为这里面密度是
跟x平方加上y平方有关系
而且由于x方加上y方它在分母上
所以说你的位置
离这个原点的距离越大
这个面密度就越小
无限远处的这个面密度呢
就接近于0了
再看下一个例子
这是一个接地导体球附近
有一个点电荷的情况
当然由于接地
这个导体球的电势是等于0的
这个问题是比较复杂的
由于这个点电荷
这个导体球会感应出来
比较复杂的电荷密度
可是假如我们利用镜像法的话
这个问题会比较简单
假设我们在这个球里边
有一个像电荷
它的电量是q一撇
它离球心的距离是a一撇
这个时候
我们把这个导体球去掉了
只剩下这一个像电荷
假设这个像电荷和这个电荷
在这个球面上产生的电势
刚好是等于0的话
这个像电荷其实是代替了
接地的导体球的作用
那么这两个电荷
在这个球面上的电势等于0
当然它的式子就是这个意思
这里边r1
就是这个电荷到球面上某一点的距离
r2是像电荷到球面上这一点的距离
那么我们来看一看
对一些特殊的点
比如说靠近这个点电荷的连线上
球面上的一点
在这一点上
刚才那个式子呢
应该写成这样的一个式子
这个时候因为r1就是等于
这个距离b减去球半径
r2就是这个距离
就是a减去a一撇
再看另一个特殊点
另一侧的这个连线上
球面上另一个点
它也要满足刚才那个式子
也就是说它那上面点的电势
也是要等于0的
在那一点上
把刚才式子写出来的话就是这个
r1这个时候是b加a
r2是a加a一撇
用这两个式子我们可以很容易求出来
q一撇和a一撇
当然这还不算
因为我们要的是
整个这个球面上电势等于0
现在我们把这两个
利用特殊点求出来的结果
带入到刚才这个式子里边
我们会发现
对于任意的θ角
这个式子总是成立的
也就是说这个式子其实就是这个式子
这里边这些东西
是用余弦定理计算出来的r1和r2
这说明我们计算出来的这两个
像电荷和像电荷的位置
是满足使得这个球面上的
电势是等于0这个条件的
也就是说这个球外边的电场
其实就可以利用
这个电荷和像电荷
产生的电场的叠加
就它计算出来
这当然很容易做
我们不在这儿做
下面我们讨论一个问题
假如刚才这个问题里边
这个导体球不是接地的会怎么样呢
那不接地的话这个导体球的电势当然是不等于0
而且假如我们做一个高斯面
对它做积分的话
因为这个导体球本身
原来是不带电的
所以高斯积分总是要等于0的
因为内部的净余电荷是要等于0的
所以现在你在这里边放像电荷的时候
不能仅仅有一个q一撇这样一个电荷
因为否则的话
你这个高斯积分它是不等于0的
为了让这高斯积分等于0
你在里边一定要放置另一个像电荷
它的电量是负的q一撇
也就是说这里边有两个像电荷
一正一负加起来总的电量是等于0
那么这个式子总是会被满足的
这个新加进来的像电荷这个时候
应该放在什么位置呢
因为我们刚才计算了
这个q一撇和q
在球面上产生的电势是等于0的
是等势的
现在如果你再加一个像电荷
这个像电荷放在球面内的任何一点
都不能使这个球面保持等势
只有把这个电荷放在球心
这个时候这个导体球面
才可以保持等势面
所以新的像电荷就要放在球心上
我们利用电像法计算场强
是不是比较模糊啊
好像你用这个像电荷代替了原来的导体
会不会有问题呀
其实不会
电像法其实有严格的理论依据
它是静电场的唯一性定理作为支撑的
我们知道静电场
是由静电场方程来决定的
这个方程就是高斯定理和环路定理
这个方程的解还具体依赖于边界条件
假如说空间上电荷分布
以及导体带电量或者电势是已经知道的
边界条件也给定了
那么静电场的唯一性定理告诉你
这个时候静电场是唯一的
这里边这个边界条件是指
边界上的电势是不是给定的
或者是边界上的电场的法线分量
是不是给定的
假如这个两个之间任意一个是给定的
我们说这边界条件就给定了
我们再回过头来看刚才的这个问题
假如说这个导体是接地的
外边有电荷分布
那么现在其实这个导体的表面
你可以看作是静电场的边界
现在这个导体接地了
意思是说导体表面
是一个电势为0的等势面
所以边界条件是给定的
在边界条件给定的条件下
如果外边的这些电荷分布
或者外边假如有一些导体
它的带电量或者电势给定的话
这外边的电场是唯一确定的
现在你通过猜
找到了一些镜像电荷
这些镜像电荷
刚好是在导体里边的
它们这些电荷和外边的电荷
合在一块
在原来导体表面那个面上
产生的电势呢
假如刚好是等于0的话
也就是说
外边的电场和导体的电场是一样的
因为静电场的唯一性定理告诉你
边界条件给定了
电荷分布给定了
电场是唯一的
所以你这样找出来的一个解
就是在导体存在的时候的那个解
这就是镜像法的理论依据
好 这节内容就讲到这儿
谢谢
-电荷和库仑定律
--引言
--电荷
--库仑定律
-WEEK1--电荷和库仑定律
-电场及叠加原理，电偶极子
--电场和电场强度
-WEEK1--电场及叠加原理，电偶极子
-高斯定律
--电通量
--立体角*
--高斯定律的证明*
--高斯定律和电场线
--高斯定律的应用
-WEEK1--高斯定律
-WEEK1--本周作业
-静电场环路定理、电势和叠加原理
--环路定理
--电势和叠加原理
--电势梯度
--等势面
-WEEK2--静电场环路定理、电势和叠加原理
-静电能
--电荷系静电能
-WEEK2--静电能
-导体静电平衡
--物质中电场
--导体静电平衡
-WEEK2--导体静电平衡
-WEEK2--本周作业
-导体周围电场
-WEEK3--导体周围电场
-静电屏蔽
--导体壳与静电屏蔽
-WEEK3--静电屏蔽
-电容及电容器
--电容及电容器
-WEEK3--电容及电容器
-电介质
--介质对电场的影响
-WEEK3--电介质
-极化强度矢量，极化电荷
--极化强度
--极化电荷
-WEEK3--极化强度矢量，极化电荷
-WEEK3--本周作业
-极化规律、电位移矢量
--电介质的极化规律
-WEEK4--极化规律、电位移矢量
-有介质时静电场能量
-WEEK4--有介质时静电场能量
-电流密度、稳恒电流和稳恒电场
--电流密度
-WEEK4--电流密度、稳恒电流和稳恒电场
-电动势、欧姆定律的微分形式及基尔霍夫定律
--电动势
--欧姆定律
--欧姆定律（续）
-WEEK4--电动势、欧姆定律的微分形式及基尔霍夫定律
-电流微观图像和暂态过程
--电流微观图像
-WEEK4--电流微观图像和暂态过程
-本周作业
--week4--本周作业
-洛仑兹力、磁感应强度
--电流磁效应
--磁场和磁感应强度
-WEEK5--洛仑兹力、磁感应强度
-毕-萨-拉定律、磁场叠加原理和磁场高斯定理
--毕-萨-拉定律
--磁场高斯定律
-WEEK5--毕-萨-拉定律、磁场叠加原理和磁场高斯定理
-静磁场环路定理
-WEEK5--静磁场环路定理
-安培力和霍尔效应
--霍尔效应
--安培力
-WEEK5--安培力和霍尔效应
-WEEK5--本周作业
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-WEEK6--载流线圈在均匀磁场中受的磁力矩、磁矩
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--磁场中的磁介质
--原子的磁矩
-WEEK6--磁介质对磁场的影响和原子磁矩
-磁化强度矢量、磁化电流和磁场强度H及其环路定理
--磁介质的磁化
--磁化电流
-WEEK6--磁化强度矢量、磁化电流和磁场强度H及其环路定理
-WEEK6--本周作业
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--磁场的界面关系
--铁磁性材料
-WEEK7--铁磁介质和简单磁路
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-WEEK7--法拉第电磁感应定律
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--动生电动势
--涡电流
-WEEK7--动生电动势和感生电动势、感生电场和涡流
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--自感
--互感
-WEEK7--自感和互感
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--磁场的能量
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--麦克斯韦方程组
-WEEK8--位移电流和麦克斯韦方程组
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--week8--本周作业
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--波动光学——引言
-WEEK9--波动光学—引言
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--迈克耳逊干涉仪
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