当前课程知识点：大学物理2 (电磁学、光学和量子物理) > WEEK13 > 氢原子能级和角动量 > 氢原子的量子力学处理
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同学们好
从这一节开始我们正式进入
利用量子力学的方法
也就是利用薛定谔方程
来求解氢原子的结构
得到电子的运动状态
那么实际上呢
我们要做的事情就是解什么呀
关于氢原子的定态薛定谔方程
那么首先呢
我们要提到角动量的问题
因为什么呢
因为氢原子里边的电子是有心力
那么有心力显然
电子的角动量是守恒的
那这儿必然就会在这个
计算结果里边有所体现
我们看到角动量的信息
因此我们要先处理角动量
那么我们说
角动量是什么样的呢
假设这个电子
在这儿绕这个原子核在这儿绕圈
那么这是角动量的方向
这呢 这是它的方向
那么我们现在先来看
不看总的角动量
先来看这个角动量在
z轴上边的投影 这个分量Lz
我们先把Lz的问题先搞清楚
然后再管总的角动量
也就是我们先求Lz的本征值问题
这也是一个算符
那么角动量算符
怎么去得到呢
我们知道在经典物理上呢
角动量等于r×p
同时我们又知道
动量的算符是这个
那我们把它组合一下
就获得了角动量的算法
比如说在直角坐标系里边
这个Lz的写法就是这个样子
但这个呢不是我们要的
因为要解这个氢原子的话
我们呢最好是在球坐标里边去求解
因为它具有一个球对称性
用直角坐标解不方便
在球坐标系下我们可以得到
Lz的这个算符的形式
是这样一个算符
它很像那个动量算符
只不过把这个x
换成了方位角φ
下边我们就来求解它的
本征值问题
那它的本征函数我假设是大φ
当然自变量是这个方位角
然后把它作用上去
这就是本征方程
这个Lz是一个待定的常数
也就是将来要算的本征值
那么把这Lz形式往里一代
就得到这么一个常微分方程
这个方程其实
我们已经见过很多次了
就是一个一阶的
常系数的常微分方程
它的解呢就是这么一个
指数的形式
A是一个待定的常数
好了 那么这个φ它要满足
波函数应该有的一些条件
比如说应该单值
这个单值在这里边
有个很重要的体现
什么体现呢
这个方位角φ
虽然是我们对它没有限制
但是实际上
它真正有意义的范围就是从0到2π
从0转到2π的时候
那么超过2π
它实际上就
又回到了0到2π之间
它是一个周期性的东西
什么意思呢
如果给一个某一个角π值
那么如果在这上边再加一个2π
它应该是和原来相等的
如果不等呢
就不再有单值性了
因为它对应的同一个方位角
那我把这个指数函数拆开
拆成这个部分
那么这两个式子相等的意思是
我把这个都约掉
就是这个东西等于1
那么这个要等于1的话
对指数函数上边的要求是什么呀
实际上就是要求Lz乘以2π除以h
必须等于2π的整数倍
那么也就是什么呀
把这2π约掉
也就是Lz这个本征值
必须等于h的整数倍
这里边这个整数
我把它定义成ml
有个下标l 这l是有用的
那么这个ml呢
可以取任意的整数
正的也行 负的也行 零也行
这没有要求
对应的本征函数也可以写出来
这个ml 它也是一个量子数
有一个名字叫什么呢 叫磁量子数
为什么叫磁量子数呢
因为对于氢原子而言
Lz是角动量沿着z轴的分量
但实际上z轴是任意取的
所以对于氢原子而言
这个东西是感受不到
这个Lz是多少的
那怎么才能获得这个Lz呢
外加一个磁场
外加一个磁场之后
我可以把磁场的方向叫做什么呀
叫做z方向
那这个时候z方向特殊了
我们通过实验就可以测量到
这个磁量子数引起的物理效应
所以它叫做磁量子数
因为它总是跟磁场有关系
这是第一步
第二步呢我就要研究
总的角动量
总的角动量我们方便起见
要研究这个角动量的平方
这也是一个算符
那么在球坐标当中
如果你要计算的话可以得到
三个角动量的分量
分别是这样一个式子
这个式子还是有点复杂的
它的推导过程
如果感兴趣也可以去看
曾谨言写的量子力学
上边也都有这些推导过程
那么模方一下呢
也就是把每一个分量分别平方
然后可以算出这个结果
这个结果是什么样呢 是这样的
那么其中有一部分
可以变成Lz的算符
它的本征函数是什么样呢
我们假设这样一个Y
它关于θ和φ
是L方的本征函数
θ是z角 φ是方位角
那么这个本征方程就是这样的
注意本征值我写成L的平方
和这个东西去比 看的比较对称
这个L同样也是一个常量
那么这个求解过程
咱们就不给大家演示了
因为也是一个非常麻烦的数学问题
感兴趣也去看相关的书籍
我们只给出它的结论
首先这个L方等于这么一个结果
h的平方乘以l 再乘以l+1
这个l呢是非负整数
也就是0 1 2 3这样的数
l呢叫做角量子数
因为它是标志总角动量的
同时呢
这个结果还告诉我们什么呢
磁量子数跟这个l有关系
磁量子数只能取-l
-l加1一直到0到1到2 一直到正l
也就是磁量子数的绝对值
是小于等于l的
这就是为什么我们磁量子数
下边标了这么一个下标叫做l
因为它跟这个l有关
本征函数呢
它的下标有两个
一个是l 一个是ml
也就是角量子数和磁量子数
那么它的样子是这个样子的
它呢又有个名字叫球谐函数
注意 这里边呢
这个东西
叫做连带勒让德函数
也是一个特殊函数
而这一部分呢也很有意思
它告诉我们什么呀
我们可以看到
这个本征函数不只是L方的本征态
同时也是Lz的本征态
因此它是L方和Lz的共同的本征态
从这儿就可以看出来
这里边这个常数
是一个归一化的系数
将来可以用
对方位角的积分等于1
来把它确定出来 是这样一个结果
好了 那么球谐函数
到底什么样子呢
我们举一些简单的例子
比如说Y00
也就是角量子数等于0
总角动量是0
磁量子数当然也是0
那么这样一个波函数
其实就是个常函数
根号4π分之1
那么Y10什么样呢
是这样一个东西
那么当l=1的时候
m还可以等于正负1
所以有一个Y正负1
结果是这样的
那也当然可以照这个接着往下写
重要的是什么呢
重要的是角动量
它确实是量子化的
并且总角动量
它也具有空间量子化的一个特征
什么意思呢
总角动量L平方
是由这么一个式子给出
L如果一旦给定
总角动量的大小就已经给定了
它完全取决于这个l
这个大小呢
把这个东西开根号就行了
那么这个时候
在z轴分量
它的取法就不再是任意的了
因为这个磁量子数
跟这个角量子数l之间有这么一个关系
换句话说什么呢
整个角动量它的空间取向
不是任意取的
因为它在z轴上的分量已经定了
它只有多少种取法呢
负l一直到正l这么多种
多少种啊 2l+1种
因此 总角动量在空间中
它是有离散化的这样的取向的
这些取向总的取法
就只有2l+1种取法
举一个具体的例子
比如说l=2
那么这个时候磁量子数就只能等于
0 正负1 正负2 五种
总的这个角动量是根号六乘以h
这个很容易算
那么我把它画到图里边就是这样的
我们也看到
角动量的方向只能是这样 这样
这样 这样 这样这五种情况
不能取别的
取别的话就不对了
不能满足这个条件
而且我们还能看到一个
有意思的性质是什么呢
这个角动量不可能完全靠到z轴上
它总是歪的 向上最大到这儿
向下最大到这儿 总是歪的
不可能靠到z轴上
因为一旦靠到z轴上
就意味着
X和Y方向角动量为零
这是做不到的
为什么做不到呢
原因是一旦Lz确定
那么Lx和Ly就完全不确定
道理在哪呢 道理在这儿
我们说根据这Lz的这个算符
有一个对φ的偏导数
说明什么呢
它跟φ是一对共厄的量
这个共厄的量就相当于
坐标跟动量之间的关系
坐标x 动量是关于x一个偏导数
它们俩也是共厄的量
我们前面讲过不确定关系
这种共厄的量之间
要满足一个不确定关系
同理呢 Lz跟φ之间
也满足不确定关系
那么当Lz取定的时候
也就是Lz的涨落为零
那么这个时候就意味着φ
是完全不确定的
它涨落非常大
那么一旦φ完全不确定
我们知道所谓的Lx Ly
是角动量在x轴和y轴的
投影的这个分量
那么这个φ角一旦完全不确定的话
那个投影当然就不确定
这就是为什么Lx和Ly是不能确定的
因此角动量不可能取到z轴上
虽然说Lx Ly它是不能确定的
但是它们俩的和
也就是这个投影总量
Lx的平方加Ly平方
其实是可以确定的
这个感兴趣同学呢
可以课下自己去
查一查相关的资料来看一下
好了 这节我们就讲到这儿
同学们再见
-电荷和库仑定律
--引言
--电荷
--库仑定律
-WEEK1--电荷和库仑定律
-电场及叠加原理，电偶极子
--电场和电场强度
-WEEK1--电场及叠加原理，电偶极子
-高斯定律
--电通量
--立体角*
--高斯定律的证明*
--高斯定律和电场线
--高斯定律的应用
-WEEK1--高斯定律
-WEEK1--本周作业
-静电场环路定理、电势和叠加原理
--环路定理
--电势和叠加原理
--电势梯度
--等势面
-WEEK2--静电场环路定理、电势和叠加原理
-静电能
--电荷系静电能
-WEEK2--静电能
-导体静电平衡
--物质中电场
--导体静电平衡
-WEEK2--导体静电平衡
-WEEK2--本周作业
-导体周围电场
-WEEK3--导体周围电场
-静电屏蔽
--导体壳与静电屏蔽
-WEEK3--静电屏蔽
-电容及电容器
--电容及电容器
-WEEK3--电容及电容器
-电介质
--介质对电场的影响
-WEEK3--电介质
-极化强度矢量，极化电荷
--极化强度
--极化电荷
-WEEK3--极化强度矢量，极化电荷
-WEEK3--本周作业
-极化规律、电位移矢量
--电介质的极化规律
-WEEK4--极化规律、电位移矢量
-有介质时静电场能量
-WEEK4--有介质时静电场能量
-电流密度、稳恒电流和稳恒电场
--电流密度
-WEEK4--电流密度、稳恒电流和稳恒电场
-电动势、欧姆定律的微分形式及基尔霍夫定律
--电动势
--欧姆定律
--欧姆定律（续）
-WEEK4--电动势、欧姆定律的微分形式及基尔霍夫定律
-电流微观图像和暂态过程
--电流微观图像
-WEEK4--电流微观图像和暂态过程
-本周作业
--week4--本周作业
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--电流磁效应
--磁场和磁感应强度
-WEEK5--洛仑兹力、磁感应强度
-毕-萨-拉定律、磁场叠加原理和磁场高斯定理
--毕-萨-拉定律
--磁场高斯定律
-WEEK5--毕-萨-拉定律、磁场叠加原理和磁场高斯定理
-静磁场环路定理
-WEEK5--静磁场环路定理
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--霍尔效应
--安培力
-WEEK5--安培力和霍尔效应
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-WEEK6--载流线圈在均匀磁场中受的磁力矩、磁矩
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--磁场中的磁介质
--原子的磁矩
-WEEK6--磁介质对磁场的影响和原子磁矩
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--磁介质的磁化
--磁化电流
-WEEK6--磁化强度矢量、磁化电流和磁场强度H及其环路定理
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-WEEK7--铁磁介质和简单磁路
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-WEEK7--法拉第电磁感应定律
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--动生电动势
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--波动光学——引言
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--迈克耳逊干涉仪
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