当前课程知识点：大学物理2 (电磁学、光学和量子物理) > WEEK5 > 毕-萨-拉定律、磁场叠加原理和磁场高斯定理 > 毕-萨-拉定律（续）
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同学好
我们接着讲毕萨拉定律及其应用
这节我们讲
载流线圈的磁矩及其磁场
假设有一个平面载流线圈
这个线圈它是在一个平面上的
那么这个时候呢
它当然有一个面积 平面上的面积
然后它上面的电流是I
这个平面当然有个方向了
因为法线方向有两个
我们用右手螺旋电流的
指向是四指然后右手螺旋来定义
这个小面积的法线方向
那么这个东西呢
我们就说线圈有了一个磁矩
这个磁矩大小呢就是这个小面积
带方向的
方向是刚才我们用右手螺旋定义的方向
再乘上导线上的这个电流
假如有些线圈它可能不是平面线圈
你比如说线圈这样的时候
它可能空间上有个弯曲
那么这个时候我们也可以定义这个
那个线圈的磁矩
不过那个定义方法稍微复杂一点
我们不在这讲
那么一般来说我们讲
一个载流线圈的磁矩的时候
通常是因为这个载流线圈比较小
比较小的时候我们才说这是磁矩
大的时候一般不说它是磁矩
那么什么叫小什么叫大呢
那相对谁讲的呢
它是这样
它是相对于你所研究的场点
那个距离和你这个线圈的线度比较
这个大小是这么规定的
假如你这个线圈的线度
远远小于你所研究的
那个场点的距离的话
我们说这个时候呢
这个小线圈
可以当做是一个磁矩
有的时候呢也把它叫做磁偶极子
那么这种磁偶极子产生的磁场
我们怎么计算呢
那么假设这个小线圈
磁矩是pm这个矢量
有的时候用m这个矢量来表示磁矩
那么它在这个场点产生的磁场
我们怎么计算呢
没有其它的方法对吧
因为我们只有毕萨拉定律可以应用
所以我们现在也是利用毕萨拉定律
来估算这个磁矩
在这个远处的磁场
不过这个时候呢
因为你这个线圈不是有一个
这个近似吗
就是场点的距离很远
那么利用这个条件
我们可以把这个磁场的公式
可以化简成比较简洁好看的形式
我们怎么做呢
我们为了方便呢
我们选择一个矩形的线圈
就是它是四条小边
这个长边是a 这个边是b
方向是电流的方向
所以这个电流是这样转的
然后这个平面是放置在这个
xy这个平面上
也就是说它的z坐标是等于0
它的磁矩呢
当然是等于是电流乘上它的面积
以及这个方向对吧
那么面积当然是a乘上b
可是这个方向是指向z的
那有时候用叉积来表示面积
会更简洁一些
这样的话这个磁矩你可以把它写成
电流然后这两个矢量的叉积
因为叉积的结果是a叉b
它的方向不也是指向z吗
它的大小也是a乘上b就是这样
那么考虑到你场点是很远的
所以这几个边是一个很小的量
所以你可以把这个每个边
都当做一个电流元
那么这个电流元产生的磁场叠加就行了
现在我们有几个电流元呢
在这里边有四个电流元
把它们利用毕萨拉定律写出来的话
就是这种形式
那这里边这个负号呢
它是这么来的
比如说1这个线段
它这个方向是这个方向
那规定a的矢量是这个方向的
可是到了3这个时候呢
它的电流元的方向是这个方向
注意 电流元的方向是这个方向
你仍然要用a来表示这个电流元的话
你不得用一个负号吗
所以这个负号是这么来的
那么这里面这个负号也是同样的道理
那现在呢我们可以利用这个条件
来化简这个式子
那么这个式子怎么化简呢
我们这样
1这一段电流元到这个场点的矢径
我们把它叫做r1这个矢量
那么3这条呢叫做r3这个矢量
那么它们之间呢
两个电流元中点联线
有个方向那当然是和b的方向一致
所以我们把这个就叫做也是b对不对
那这样的话呢根据这个三角形
这个一半当然是b/2
那么你可以看到
从原点到场点的矢径是r
所以我们可以很容易
在三角形这个矢量关系中得出来
r1这个矢量它是这个矢量加上b/2的
而r3呢这个矢量它跟这个r比
它是减去b/2
同样的道理
这个2和4也有这样的关系
那么利用这个关系
比如说r1这个关系我把它平方
平方结果
我们当然是这个是标量式子了
我就可以利用这么一个近似式子
比如说x很小的时候
它也可以这样做展开对吧
那么利用这个式子以及这种近似
我可以把r1 3次方倒数
可以展成这种形式
其它的比如说r2 r3 r4
你都可以得到类似的这种式子
然后把它代入到刚才我们前边
就是四段电流元叠加的那个式子里边
化简就行了
不过化简的时候
我们要利用到这样的一个矢量运算式子
化简的时候稍微有点麻烦
那么利用这个磁矩
是这样的一个表达式
我们就可以把一个矩形线圈
在远处产生的磁场的公式给推出来
我们看到这里边呢
是用磁矩来表示的
那物理学里边
经常有这样的一个情况发生
假如你这个公式
虽然是从特殊的情况
比如说像我们这个情况是
矩形的线圈出发推出来的
可是最后结果看不出来
这是矩形的
还是圆形的 还是椭圆形的
那么这个时候一般这个式子
具有普遍的性质
什么意思呢
就是你这个公式
适用于任何一种磁矩
你这个磁矩可以是方的
可以是圆的 可以是椭圆的
甚至你这个磁矩可以不是平面磁矩
都一样
它在远处产生的磁场都是这个公式
那么这个呢
你可以和我们前面讲的
电偶极子在远处产生电场的那个公式
可以比较一下
你会发现它们的形式
非常非常相像
好 这节内容就讲到这儿
谢谢
-电荷和库仑定律
--引言
--电荷
--库仑定律
-WEEK1--电荷和库仑定律
-电场及叠加原理，电偶极子
--电场和电场强度
-WEEK1--电场及叠加原理，电偶极子
-高斯定律
--电通量
--立体角*
--高斯定律的证明*
--高斯定律和电场线
--高斯定律的应用
-WEEK1--高斯定律
-WEEK1--本周作业
-静电场环路定理、电势和叠加原理
--环路定理
--电势和叠加原理
--电势梯度
--等势面
-WEEK2--静电场环路定理、电势和叠加原理
-静电能
--电荷系静电能
-WEEK2--静电能
-导体静电平衡
--物质中电场
--导体静电平衡
-WEEK2--导体静电平衡
-WEEK2--本周作业
-导体周围电场
-WEEK3--导体周围电场
-静电屏蔽
--导体壳与静电屏蔽
-WEEK3--静电屏蔽
-电容及电容器
--电容及电容器
-WEEK3--电容及电容器
-电介质
--介质对电场的影响
-WEEK3--电介质
-极化强度矢量，极化电荷
--极化强度
--极化电荷
-WEEK3--极化强度矢量，极化电荷
-WEEK3--本周作业
-极化规律、电位移矢量
--电介质的极化规律
-WEEK4--极化规律、电位移矢量
-有介质时静电场能量
-WEEK4--有介质时静电场能量
-电流密度、稳恒电流和稳恒电场
--电流密度
-WEEK4--电流密度、稳恒电流和稳恒电场
-电动势、欧姆定律的微分形式及基尔霍夫定律
--电动势
--欧姆定律
--欧姆定律（续）
-WEEK4--电动势、欧姆定律的微分形式及基尔霍夫定律
-电流微观图像和暂态过程
--电流微观图像
-WEEK4--电流微观图像和暂态过程
-本周作业
--week4--本周作业
-洛仑兹力、磁感应强度
--电流磁效应
--磁场和磁感应强度
-WEEK5--洛仑兹力、磁感应强度
-毕-萨-拉定律、磁场叠加原理和磁场高斯定理
--毕-萨-拉定律
--磁场高斯定律
-WEEK5--毕-萨-拉定律、磁场叠加原理和磁场高斯定理
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-WEEK5--静磁场环路定理
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--霍尔效应
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-WEEK6--载流线圈在均匀磁场中受的磁力矩、磁矩
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--原子的磁矩
-WEEK6--磁介质对磁场的影响和原子磁矩
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--磁化电流
-WEEK6--磁化强度矢量、磁化电流和磁场强度H及其环路定理
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-WEEK7--法拉第电磁感应定律
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