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能带

下一节:week14

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能带课程教案、知识点、字幕

同学好 这节我们讲能带

能带理论

是固体物理里边的一个核心理论

前边我们还介绍过一个

自由电子气体这个模型

但是自由电子气体模型

它是近似程度不是很好

所以稍微准确一点的理论

应该是能带理论

我们来看一看

为了看清楚我们

以一维的这个晶格为例

讲一讲

这是一维晶体 对吧

我们前边讲过了

价电子就是能量比较高的这个电子

它在这个势垒当中

由于势垒贯穿效应

它可以跑来跑去

所以近似的呢

利用这个平均场近似

你可以说这些价电子

基本上跟自由电子差不多

那么既然跟自由电子差不多的话

你可以想象这些自由电子

是限制在这个金属里边的

它在里边就跟平面波一样

因为金属相对于电子的波长

要大很多

所以相当于

它有X方向的这个平面波

也有逆着X方向的这个平面波

它的能量呢

当然就是动能了

因为它是自由电子

可是呢

它毕竟是限制在这个金属里边的

所以说

假如说这个金属块大小是L的话

它应该满足驻波条件

就是在金属的这个表面呢

它的这个势垒是无限高的

所以在那个上面波函数等于零

所以这个驻波条件

当然非常简单了

就是两倍的这个长度

应该是等于

整数倍的这个电子的波长

那这个结果呢

我们也可以用波矢来表示

波矢就是等于波长分之2π

就是这个量

那很显然

由于它是用整数来表示的

所以这个值本身是离散化的

间隔是π/L这么大

它不能连续变化

实际上它应该是

这个离散的这个变化

可是相比这个π/a来说

这个a呢

就是刚才我们讲的那个晶格常数

它比起这个

金属块的大小来说要小很多

所以这个量

是比这个量要大的很多

所以假如我们把这个

能量跟这个波矢之间的关系

画到一个图上

可是它的标度呢

大概是用π/a

就是单位大概是π/a这样一个

这个空间大小里边画出来的话

由于这个是近似式子

实际上尽管这个波矢是离散的

可是因为它

远远小于π/a这个标度

所以说你可以近似地看作是

一个连续变化的

那么能量对这个波矢的这个

依赖关系呢

那就是这种形式

当然就是动能了

那么实际上呢

我们在这里边

是假设了这些价电子

因为可以在这个势垒当中

由于势垒贯穿

它可以跑来跑去

用了这么一个近似

可是这个近似

有一点过于简单

什么呢

我们忽略了

这个电子在这儿跑来跑去的时候

它跟这个晶格之间

散射你没有考虑

因为它跟晶格之间

要碰在一起的话

它是要作用的 对吧

那么这个呢

对电子的这个状态

是影响比较大的

可是在自由电子气体

这个模型里边没有考虑它

所以那个近似不是很好

那么考虑这个散射的话

当然电子在晶格里边散射

跟X射线在晶格里边散射

他们是差不多

因为都是波粒二象性

都有波的特性

都要满足

布拉格衍射极大的这个条件

那么这里边θ是掠射角

d是晶面之间的距离

对我们这个一维的情况来说

那么晶面之间距离

实际上就是晶格常数

就是离子之间的距离

那么掠射角

因为它是一维的

所以只能这样传播

只能这样反射

所以掠射角都是九十度

布拉格衍射极大条件

对这个一维的情况

实际上是这个

那么波矢满足的这个

反射极大条件就应该是这个

那么这里边它这个反射极大

这个物理上的含义是什么呢

就是电子这么传播的过程

遇到这个晶格的时候

满足这样条件的这个波矢的电子

它会反射极大

那么这么传播的电子呢

满足这个条件的

波矢的这个电子呢

也是反射极大

它这样过来的时候反射极大

这么过来的时候也是反射极大

也就是说

这个波矢对应的这个能量

这个能量当然是这个动能了

这个能量的这个电子

它既不能这么传播

也不能这么传播

因为这么传播的话反射极大

这么传播呢也是反射极大

是吧

所以这种能量的电子

它是不能在这个

一维晶格里边传播的

那么如果我们把这个能量

跟波矢之间的关系

画到图上的话

当然这是一个抛物线

根据我们刚才利用这个

布拉格衍射公式

给出来的结论是什么呢

注意 当然这里边波矢有负值

是因为我们这里边电子

沿着正方向也可以传播

沿着负方向也可以传播

那么当然这个波矢正负都有了

那么在这样一些位置上

满足布拉格反射

极大条件的这些电子呢

它是不能自由传播的

因为这么传播反射极大

这么传播反射也是极大

所以你也可以说

这种能量的电子

它不能存在

所以在这些位置上

所对应的那些电子的能量

它应该是不连续的 在这样位置上

那么定性的呢

我就可以在这个位置上

能量不连续

我就可以做一个画一个简单这样

这么画一个 有个变形

就是能量对波矢的这个依赖关系

由于电子跟这个晶格之间

散射的影响

它应该有一点变化

这个变化是要求在这些位置上

能量应该是不连续的 对吧

这个不连续的结果可以

这是定性画出来的

那么也就是说在这样一段

在这样一段

能量电子是不能存在的

所以这样的部分

我们把它叫做禁带

就是电子能量没有的这个区间

那其他电子能量可以出现的

这不形成了带状结构嘛

这就是电子的能带结构

实际上前边我们讨论过了

尽管在这里边我们是用的是

连续曲线

可是在那里边

这个波矢k呀

它也是离散化的

如果你放大看的话

这里边能量也是离散的

只是因为很密

所以看起来像连续的一个带一样

这就是金属里边

电子的能带结构

那么这个呢

实际上是考虑了电子和

晶格之间散射

这个因素以后

我们得到了这样能带结构

我们也可以从另一个角度

来考虑这个问题

假设这些原子呢

比如说有n个原子

它是排在一维的

就是在一条线上

周期性这么排的

它们之间的间距呢

假如说是r的话

那么你在不同的位置的时候

它们的能量是不一样的

你比如说

它们之间的间距比较大

那那个时候呢

原子和原子之间

相互作用基本上可以忽略

那么原子的能量呢

就是单个原子本身的能量 对吧

所以所有原子的能量怎么样呢

都是一样的

所以都在一条线上

它是简并的

可是随着它们之间距离的减少

假如说距离减少到a了

那么这个时候呢

原子之间的相互作用

就比较强 对吧

比较强的结果

它们的能量会稍微有些改变

于是原来简并的这些能量

因为这是n个原子

所以有n个这样的能级态 能级

他们就分裂了

开始慢慢一点点变化

由于相互作用

劈裂成n个能级

分裂成这么宽的这么一个

带状的结构

可是实际上这里边也是

能量是一条一条的

只是很密而已

其他的能量也是一样的

那么相互作用的结果

是越靠近外层的话

这能带的宽度就越宽

那么根据计算呢我们还发现

你这个原子之间的间距越小

那么它这个能带就会越宽

就会变得越宽

你看它越来越宽

间距越小能带越宽

两个能带有的时候

因为宽到一定程度

上边那个能级和下边的能级

有的时候会重叠的

会出现重叠

那么当这个

这个情况下

它们间距是a的时候

当然这两个能带是没有重叠

可是如果这个原子之间的间距

再小一点到这个位置的时候

这两个能量引起的这个能带

可能就叠在一起了

会出现这种情况

那么我们利用这个原子之间相互作用

因为它们靠近了

相互作用就越强

从这个角度我们也得到了

这个电子的能带结构 对吧

所以你用不同的近似模型

都能给出能带结构

后来我们发现金属以外的

其他的晶体也都有能带结构

你比如说绝缘体 半导体

都有能带结构

即便有的那些非晶体

也有能带结构

那么非晶体实际上跟那个液体

性质是比较接近的

所以你也可以推测

液体可能也有能带结构

事实上 能带结构是

固体的典型特征

你也可以说它是

凝聚体的一个典型特征

能带中电子是怎么排布呢

固体中的电子只能处于

某个能带中的某个能级上

而且满足能量最低

和泡利不相容原理

假设孤立原子的一个能级Enl

最多能容纳 2(2l+1)个电子

N个原子组成固体后

由于相互作用

这个能级分裂成N条能级

组成一个能带

这个能带可以容纳

2N(2l+1)个电子

比如 1s 或2s能带

因为角动量l = 0

所以最多能容纳2N个电子

而2p或者3p能带

l = 1, 所以可以最多容纳6N个电子

根据能带被电子占据的情况

我们把能带分为

满带 空带 不满带和禁带

假如能带被电子占满了

就叫满带

电子没有占满

就叫不满带

没有电子填充的是空带

能带之间叫禁带

电子不能在禁带出现

对于金属

不满带有时也叫导带

因为只有这种能带中的电子

才对电流有贡献

金属中的电子受到电场作用

获得漂移速度

定向移动

就形成电流

电子获得漂移速度

其实是能量提高了

也就是电子到了较高能级

这只有当较高能级上有

空位时才会发生

满带情况

里面某个电子

想要获得小的能量

就必须跃迁到较高能级上去

但那里电子已经占满

没有空位

所以 即使有电场作用

电子也不能获得漂移速度

不满带情况

上面部分是空的

所以最上面的电子受到电场作用

可以跃迁到

上面那些空的较高能级

也就是可以获得漂移速度

从而导电

根据这些能带理论

对于导电机理的认识

我们说

导体其实就是有不满带的固体

不满带里面的电子

可以从外电场获得

定向移动的动能

形成电流

对于导体

不满带也叫价带或导带

绝缘体是那些没有不满带的固体

在外电场不太强时

电子不能获得能量

因为上面高能级都被占满

对于绝缘体

禁带宽度大致是5电子伏特

外电场还不足以使电子获得

足够多的能量

越过禁带

进入上面的空带发生导电

一般在绝缘体最高的满带叫价带

而价带上面的空带叫导带

半导体在绝对温度零度是绝缘体

相比绝缘体半导体禁带较窄

常温下

少量的价带电子由于热运动

可以越过禁带

激发到上面的导带

所以可以导电

但载流子数目较少

假如外电场足够强时

半导体和绝缘体

可以发生击穿现象

因为价带中的电子

此时可以获得足够多的能量

足以越过禁带到导带中

从而形成击穿电流

好 这节内容就讲到这儿

谢谢

大学物理2 (电磁学、光学和量子物理)课程列表:

WEEK1

-电荷和库仑定律

--引言

--电荷

--库仑定律

-WEEK1--电荷和库仑定律

-电场及叠加原理,电偶极子

--电场和电场强度

--点电荷电场及叠加原理

--点电荷电场及叠加原理(续1)

--点电荷电场及叠加原理(续2)

--点电荷电场及叠加原理(续3)

-WEEK1--电场及叠加原理,电偶极子

-高斯定律

--电通量

--立体角*

--高斯定律的证明*

--高斯定律和电场线

--高斯定律的应用

--高斯定律的应用(续)

-WEEK1--高斯定律

-WEEK1--本周作业

-week1课件

WEEK2

-静电场环路定理、电势和叠加原理

--环路定理

--电势和叠加原理

--电势和叠加原理(续)

--电势梯度

--等势面

-WEEK2--静电场环路定理、电势和叠加原理

-静电能

--电荷系静电能

--电荷系静电能(续1)

--电荷系静电能(续2)

-WEEK2--静电能

-导体静电平衡

--物质中电场

--导体静电平衡

--导体静电平衡条件(续1)

--导体静电平衡条件(续2)

-WEEK2--导体静电平衡

-WEEK2--本周作业

-week2课件

WEEK3

-导体周围电场

--有导体时静电场的计算

--有导体时静电场的计算(续)

-WEEK3--导体周围电场

-静电屏蔽

--导体壳与静电屏蔽

-WEEK3--静电屏蔽

-电容及电容器

--电容及电容器

--电容及电容器(续)

-WEEK3--电容及电容器

-电介质

--介质对电场的影响

-WEEK3--电介质

-极化强度矢量,极化电荷

--极化强度

--极化电荷

-WEEK3--极化强度矢量,极化电荷

-WEEK3--本周作业

-week3课件

WEEK4

-极化规律、电位移矢量

--电介质的极化规律

--电介质的极化规律(续)

--电位移矢量及其应用

--电位移矢量及其应用(续)

-WEEK4--极化规律、电位移矢量

-有介质时静电场能量

--有介质时静电场能量

-WEEK4--有介质时静电场能量

-电流密度、稳恒电流和稳恒电场

--电流密度

--稳恒电流和稳恒电场

-WEEK4--电流密度、稳恒电流和稳恒电场

-电动势、欧姆定律的微分形式及基尔霍夫定律

--电动势

--欧姆定律

--欧姆定律(续)

-WEEK4--电动势、欧姆定律的微分形式及基尔霍夫定律

-电流微观图像和暂态过程

--电流微观图像

--电容器的充放电(暂态过程)*

-WEEK4--电流微观图像和暂态过程

-本周作业

--week4--本周作业

-week4课件

WEEK5

-洛仑兹力、磁感应强度

--电流磁效应

--磁场和磁感应强度

-WEEK5--洛仑兹力、磁感应强度

-毕-萨-拉定律、磁场叠加原理和磁场高斯定理

--毕-萨-拉定律

--毕-萨-拉定律(续)

--磁场高斯定律

-WEEK5--毕-萨-拉定律、磁场叠加原理和磁场高斯定理

-静磁场环路定理

--安培环路定理及其应用

--安培环路定理及其应用(续1)

--安培环路定理及其应用(续2)

-WEEK5--静磁场环路定理

-安培力和霍尔效应

--带电粒子在磁场中的运动

--霍尔效应

--安培力

-WEEK5--安培力和霍尔效应

-WEEK5--本周作业

-week5课件

WEEK6

-载流线圈在均匀磁场中受的磁力矩、磁矩

--载流线圈在均匀磁场中受的磁力矩

-WEEK6--载流线圈在均匀磁场中受的磁力矩、磁矩

-磁介质对磁场的影响和原子磁矩

--磁场中的磁介质

--原子的磁矩

-WEEK6--磁介质对磁场的影响和原子磁矩

-磁化强度矢量、磁化电流和磁场强度H及其环路定理

--磁介质的磁化

--磁化电流

--有磁介质时磁化的规律

-WEEK6--磁化强度矢量、磁化电流和磁场强度H及其环路定理

-WEEK6--本周作业

-week6课件

WEEK7

-铁磁介质和简单磁路

--磁场的界面关系

--铁磁性材料

-WEEK7--铁磁介质和简单磁路

-法拉第电磁感应定律

--法拉第电磁感应定律

--电磁感应定律和磁通连续定理的普适性

-WEEK7--法拉第电磁感应定律

-动生电动势和感生电动势、感生电场和涡流

--动生电动势

--感生电动势和感生电场

--涡电流

-WEEK7--动生电动势和感生电动势、感生电场和涡流

-自感和互感

--自感

--互感

-WEEK7--自感和互感

-WEEK7--本周作业

-week7课件

WEEK8

-暂态过程和磁场能量

--RL电路的暂态过程

--磁场的能量

-磁场和电场的相对性

--电场和磁场的相对性

-位移电流和麦克斯韦方程组

--麦克斯韦方程组和电磁波

--麦克斯韦方程组

-WEEK8--位移电流和麦克斯韦方程组

-电磁波、坡因廷矢量和光压

--电磁波

--坡印廷矢量

--电磁波的动量

--光压——辐射压强

-本周作业

--week8--本周作业

-week8课件

WEEK9

-波动光学—引言

--波动光学——引言

-WEEK9--波动光学—引言

-杨氏双缝干涉、相干光

--光的干涉

--双缝干涉

-WEEK9--杨氏双缝干涉、相干光

-光源及发光性质

--光源的发光特性

--时间相干性

--空间相干性

-WEEK9--光源及发光性质

-光程、等倾和等厚干涉

--光程

--薄膜干涉(一)

--薄膜干涉(二)

-WEEK9--光程、等倾和等厚干涉

-迈克耳逊干涉仪

--迈克耳逊干涉仪

-WEEK9--本周作业

-week9课件

WEEK10

-衍射现象、单缝夫琅禾费衍射

--惠更斯原理

--单缝夫琅禾费衍射

--单缝夫琅禾费衍射(续)

-WEEK10--衍射现象、单缝夫琅禾费衍射

-光栅衍射

--光栅衍射

--光栅衍射(续)

-WEEK10--光栅衍射

-光学仪器分辨本领

--光学仪器的分辨本领

--光学仪器的分辨本领(续)

-WEEK10--光学仪器分辨本领

-X射线晶体衍射

--X射线的衍射

-WEEK10--X射线晶体衍射

-WEEK10--本周作业

-week10课件

WEEK11

-光的偏振状态和偏振片

--光的偏振状态

--光的偏振状态(续)

--起偏和检偏

-WEEK11--光的偏振状态和偏振片

-反射和折射光偏振

--反射和折射及散射光的偏振

-WEEK11--反射和折射光偏振

-晶体双折射、波片

--双折射

--双折射(续)

--波片

-WEEK11--晶体双折射、波片

-偏振光干涉、人工双折射和旋光

--偏振光的干涉

--人工双折射

--旋光现象

-WEEK11--偏振光干涉、人工双折射和旋光

-量子物理诞生和黑体辐射

--量子物理

--黑体辐射

-WEEK11--量子物理诞生和黑体辐射

-WEEK11--本周作业

-week11课件

WEEK12

-光电效应、光子和康普顿效应

--光电效应

--光子

--光子(续)

--光子(续2)

--康普顿效应

-WEEK12--光电效应、光子和康普顿效应

-物质波、波函数和概率密度

--物质波

--波函数

--波函数(续)

-WEEK12--物质波、波函数和概率密度

-不确定性关系

--不确定关系

-WEEK12--不确定性关系

-薛定谔方程

--薛定谔方程

-WEEK12--薛定谔方程

-一维无限深势阱

--一维无限深势阱

-WEEK12--一维无限深势阱

-WEEK12--本周作业

-week12课件

WEEK13

-一维问题

--一维谐振子

--势垒穿透

--扫描隧道显微镜

-WEEK13--一维问题

-氢原子能级和角动量

--原子中的电子

--玻尔理论发展的基础

--氢原子的量子力学处理

--能量量子化

-WEEK13--氢原子能级和角动量

-电子自旋、费米子和泡利不相容原理

--电子自旋与自旋轨道耦合

--碱金属原子光谱的双线

--微观粒子的不可分辨性

--各种原子核外电子排布

-WEEK13--电子自旋、费米子和泡利不相容原理

-WEEK13--本周作业

-week13

WEEK14

-X射线、激光、分子光谱简介

--video

--Video

--分子光谱简介

--激光

--光学谐振腔

-WEEK14--X射线、激光、分子光谱简介

-固体电子气模型和量子统计

--固体

--自由电子气体模型

--量子统计

-WEEK14--固体电子气模型和量子统计

-能带模型

--能带

-能带模型--作业

-本周作业

--WEEK14--本周作业

-week14

WEEK15

-半导体和PN结

--Video

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-WEEK15--半导体和PN结

-原子核性质、核磁共振

--Video

--Video

--Video

-WEEK15--原子核性质、核磁共振

-放射性和衰变规律

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--α衰变

--穆斯堡尔效应

--β衰变

-WEEK15--放射性和衰变规律

-结合能、核力

--核的结合能

--核力

-WEEK15--结合能、核力

-粒子物理简介

--基本粒子

-WEEK15--粒子物理简介

-本周作业

--WEEK15--本周作业

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期末考试

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