当前课程知识点:大学物理2 (电磁学、光学和量子物理) > WEEK14 > 能带模型 > 能带
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同学好 这节我们讲能带
能带理论
是固体物理里边的一个核心理论
前边我们还介绍过一个
自由电子气体这个模型
但是自由电子气体模型
它是近似程度不是很好
所以稍微准确一点的理论
应该是能带理论
我们来看一看
为了看清楚我们
以一维的这个晶格为例
讲一讲
这是一维晶体 对吧
我们前边讲过了
价电子就是能量比较高的这个电子
它在这个势垒当中
由于势垒贯穿效应
它可以跑来跑去
所以近似的呢
利用这个平均场近似
你可以说这些价电子
基本上跟自由电子差不多
那么既然跟自由电子差不多的话
你可以想象这些自由电子
是限制在这个金属里边的
它在里边就跟平面波一样
因为金属相对于电子的波长
要大很多
所以相当于
它有X方向的这个平面波
也有逆着X方向的这个平面波
它的能量呢
当然就是动能了
因为它是自由电子
可是呢
它毕竟是限制在这个金属里边的
所以说
假如说这个金属块大小是L的话
它应该满足驻波条件
就是在金属的这个表面呢
它的这个势垒是无限高的
所以在那个上面波函数等于零
所以这个驻波条件
当然非常简单了
就是两倍的这个长度
应该是等于
整数倍的这个电子的波长
那这个结果呢
我们也可以用波矢来表示
波矢就是等于波长分之2π
就是这个量
那很显然
由于它是用整数来表示的
所以这个值本身是离散化的
间隔是π/L这么大
它不能连续变化
实际上它应该是
这个离散的这个变化
可是相比这个π/a来说
这个a呢
就是刚才我们讲的那个晶格常数
它比起这个
金属块的大小来说要小很多
所以这个量
是比这个量要大的很多
所以假如我们把这个
能量跟这个波矢之间的关系
画到一个图上
可是它的标度呢
大概是用π/a
就是单位大概是π/a这样一个
这个空间大小里边画出来的话
由于这个是近似式子
实际上尽管这个波矢是离散的
可是因为它
远远小于π/a这个标度
所以说你可以近似地看作是
一个连续变化的
那么能量对这个波矢的这个
依赖关系呢
那就是这种形式
当然就是动能了
那么实际上呢
我们在这里边
是假设了这些价电子
因为可以在这个势垒当中
由于势垒贯穿
它可以跑来跑去
用了这么一个近似
可是这个近似
有一点过于简单
什么呢
我们忽略了
这个电子在这儿跑来跑去的时候
它跟这个晶格之间
散射你没有考虑
因为它跟晶格之间
要碰在一起的话
它是要作用的 对吧
那么这个呢
对电子的这个状态
是影响比较大的
可是在自由电子气体
这个模型里边没有考虑它
所以那个近似不是很好
那么考虑这个散射的话
当然电子在晶格里边散射
跟X射线在晶格里边散射
他们是差不多
因为都是波粒二象性
都有波的特性
都要满足
布拉格衍射极大的这个条件
那么这里边θ是掠射角
d是晶面之间的距离
对我们这个一维的情况来说
那么晶面之间距离
实际上就是晶格常数
就是离子之间的距离
那么掠射角
因为它是一维的
所以只能这样传播
只能这样反射
所以掠射角都是九十度
布拉格衍射极大条件
对这个一维的情况
实际上是这个
那么波矢满足的这个
反射极大条件就应该是这个
那么这里边它这个反射极大
这个物理上的含义是什么呢
就是电子这么传播的过程
遇到这个晶格的时候
满足这样条件的这个波矢的电子
它会反射极大
那么这么传播的电子呢
满足这个条件的
波矢的这个电子呢
也是反射极大
它这样过来的时候反射极大
这么过来的时候也是反射极大
也就是说
这个波矢对应的这个能量
这个能量当然是这个动能了
这个能量的这个电子
它既不能这么传播
也不能这么传播
因为这么传播的话反射极大
这么传播呢也是反射极大
是吧
所以这种能量的电子
它是不能在这个
一维晶格里边传播的
那么如果我们把这个能量
跟波矢之间的关系
画到图上的话
当然这是一个抛物线
根据我们刚才利用这个
布拉格衍射公式
给出来的结论是什么呢
注意 当然这里边波矢有负值
是因为我们这里边电子
沿着正方向也可以传播
沿着负方向也可以传播
那么当然这个波矢正负都有了
那么在这样一些位置上
满足布拉格反射
极大条件的这些电子呢
它是不能自由传播的
因为这么传播反射极大
这么传播反射也是极大
所以你也可以说
这种能量的电子
它不能存在
所以在这些位置上
所对应的那些电子的能量
它应该是不连续的 在这样位置上
那么定性的呢
我就可以在这个位置上
能量不连续
我就可以做一个画一个简单这样
这么画一个 有个变形
就是能量对波矢的这个依赖关系
由于电子跟这个晶格之间
散射的影响
它应该有一点变化
这个变化是要求在这些位置上
能量应该是不连续的 对吧
这个不连续的结果可以
这是定性画出来的
那么也就是说在这样一段
在这样一段
能量电子是不能存在的
所以这样的部分
我们把它叫做禁带
就是电子能量没有的这个区间
那其他电子能量可以出现的
这不形成了带状结构嘛
这就是电子的能带结构
实际上前边我们讨论过了
尽管在这里边我们是用的是
连续曲线
可是在那里边
这个波矢k呀
它也是离散化的
如果你放大看的话
这里边能量也是离散的
只是因为很密
所以看起来像连续的一个带一样
这就是金属里边
电子的能带结构
那么这个呢
实际上是考虑了电子和
晶格之间散射
这个因素以后
我们得到了这样能带结构
我们也可以从另一个角度
来考虑这个问题
假设这些原子呢
比如说有n个原子
它是排在一维的
就是在一条线上
周期性这么排的
它们之间的间距呢
假如说是r的话
那么你在不同的位置的时候
它们的能量是不一样的
你比如说
它们之间的间距比较大
那那个时候呢
原子和原子之间
相互作用基本上可以忽略
那么原子的能量呢
就是单个原子本身的能量 对吧
所以所有原子的能量怎么样呢
都是一样的
所以都在一条线上
它是简并的
可是随着它们之间距离的减少
假如说距离减少到a了
那么这个时候呢
原子之间的相互作用
就比较强 对吧
比较强的结果
它们的能量会稍微有些改变
于是原来简并的这些能量
因为这是n个原子
所以有n个这样的能级态 能级
他们就分裂了
开始慢慢一点点变化
由于相互作用
劈裂成n个能级
分裂成这么宽的这么一个
带状的结构
可是实际上这里边也是
能量是一条一条的
只是很密而已
其他的能量也是一样的
那么相互作用的结果
是越靠近外层的话
这能带的宽度就越宽
那么根据计算呢我们还发现
你这个原子之间的间距越小
那么它这个能带就会越宽
就会变得越宽
你看它越来越宽
间距越小能带越宽
两个能带有的时候
因为宽到一定程度
上边那个能级和下边的能级
有的时候会重叠的
会出现重叠
那么当这个
这个情况下
它们间距是a的时候
当然这两个能带是没有重叠
可是如果这个原子之间的间距
再小一点到这个位置的时候
这两个能量引起的这个能带
可能就叠在一起了
会出现这种情况
那么我们利用这个原子之间相互作用
因为它们靠近了
相互作用就越强
从这个角度我们也得到了
这个电子的能带结构 对吧
所以你用不同的近似模型
都能给出能带结构
后来我们发现金属以外的
其他的晶体也都有能带结构
你比如说绝缘体 半导体
都有能带结构
即便有的那些非晶体
也有能带结构
那么非晶体实际上跟那个液体
性质是比较接近的
所以你也可以推测
液体可能也有能带结构
事实上 能带结构是
固体的典型特征
你也可以说它是
凝聚体的一个典型特征
能带中电子是怎么排布呢
固体中的电子只能处于
某个能带中的某个能级上
而且满足能量最低
和泡利不相容原理
假设孤立原子的一个能级Enl
最多能容纳 2(2l+1)个电子
N个原子组成固体后
由于相互作用
这个能级分裂成N条能级
组成一个能带
这个能带可以容纳
2N(2l+1)个电子
比如 1s 或2s能带
因为角动量l = 0
所以最多能容纳2N个电子
而2p或者3p能带
l = 1, 所以可以最多容纳6N个电子
根据能带被电子占据的情况
我们把能带分为
满带 空带 不满带和禁带
假如能带被电子占满了
就叫满带
电子没有占满
就叫不满带
没有电子填充的是空带
能带之间叫禁带
电子不能在禁带出现
对于金属
不满带有时也叫导带
因为只有这种能带中的电子
才对电流有贡献
金属中的电子受到电场作用
获得漂移速度
定向移动
就形成电流
电子获得漂移速度
其实是能量提高了
也就是电子到了较高能级
这只有当较高能级上有
空位时才会发生
满带情况
里面某个电子
想要获得小的能量
就必须跃迁到较高能级上去
但那里电子已经占满
没有空位
所以 即使有电场作用
电子也不能获得漂移速度
不满带情况
上面部分是空的
所以最上面的电子受到电场作用
可以跃迁到
上面那些空的较高能级
也就是可以获得漂移速度
从而导电
根据这些能带理论
对于导电机理的认识
我们说
导体其实就是有不满带的固体
不满带里面的电子
可以从外电场获得
定向移动的动能
形成电流
对于导体
不满带也叫价带或导带
绝缘体是那些没有不满带的固体
在外电场不太强时
电子不能获得能量
因为上面高能级都被占满
对于绝缘体
禁带宽度大致是5电子伏特
外电场还不足以使电子获得
足够多的能量
越过禁带
进入上面的空带发生导电
一般在绝缘体最高的满带叫价带
而价带上面的空带叫导带
半导体在绝对温度零度是绝缘体
相比绝缘体半导体禁带较窄
常温下
少量的价带电子由于热运动
可以越过禁带
激发到上面的导带
所以可以导电
但载流子数目较少
假如外电场足够强时
半导体和绝缘体
可以发生击穿现象
因为价带中的电子
此时可以获得足够多的能量
足以越过禁带到导带中
从而形成击穿电流
好 这节内容就讲到这儿
谢谢
-电荷和库仑定律
--引言
--电荷
--库仑定律
-WEEK1--电荷和库仑定律
-电场及叠加原理,电偶极子
--电场和电场强度
-WEEK1--电场及叠加原理,电偶极子
-高斯定律
--电通量
--立体角*
--高斯定律的证明*
--高斯定律和电场线
--高斯定律的应用
-WEEK1--高斯定律
-WEEK1--本周作业
-静电场环路定理、电势和叠加原理
--环路定理
--电势和叠加原理
--电势梯度
--等势面
-WEEK2--静电场环路定理、电势和叠加原理
-静电能
--电荷系静电能
-WEEK2--静电能
-导体静电平衡
--物质中电场
--导体静电平衡
-WEEK2--导体静电平衡
-WEEK2--本周作业
-导体周围电场
-WEEK3--导体周围电场
-静电屏蔽
--导体壳与静电屏蔽
-WEEK3--静电屏蔽
-电容及电容器
--电容及电容器
-WEEK3--电容及电容器
-电介质
--介质对电场的影响
-WEEK3--电介质
-极化强度矢量,极化电荷
--极化强度
--极化电荷
-WEEK3--极化强度矢量,极化电荷
-WEEK3--本周作业
-极化规律、电位移矢量
--电介质的极化规律
-WEEK4--极化规律、电位移矢量
-有介质时静电场能量
-WEEK4--有介质时静电场能量
-电流密度、稳恒电流和稳恒电场
--电流密度
-WEEK4--电流密度、稳恒电流和稳恒电场
-电动势、欧姆定律的微分形式及基尔霍夫定律
--电动势
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--欧姆定律(续)
-WEEK4--电动势、欧姆定律的微分形式及基尔霍夫定律
-电流微观图像和暂态过程
--电流微观图像
-WEEK4--电流微观图像和暂态过程
-本周作业
--week4--本周作业
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--电流磁效应
--磁场和磁感应强度
-WEEK5--洛仑兹力、磁感应强度
-毕-萨-拉定律、磁场叠加原理和磁场高斯定理
--毕-萨-拉定律
--磁场高斯定律
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-WEEK5--静磁场环路定理
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--霍尔效应
--安培力
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-WEEK6--载流线圈在均匀磁场中受的磁力矩、磁矩
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--磁介质的磁化
--磁化电流
-WEEK6--磁化强度矢量、磁化电流和磁场强度H及其环路定理
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-WEEK7--铁磁介质和简单磁路
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-WEEK7--法拉第电磁感应定律
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--动生电动势
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--自感
--互感
-WEEK7--自感和互感
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--磁场的能量
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--麦克斯韦方程组
-WEEK8--位移电流和麦克斯韦方程组
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--坡印廷矢量
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--week8--本周作业
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