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安培环路定理及其应用

下一节:安培环路定理及其应用(续1)

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安培环路定理及其应用课程教案、知识点、字幕

同学好

这一节我们讲

安培环路定理及其应用

安培环路定理

就是恒定磁场的环路定理

我们先了解一下这个定理的内容

证明留到另一节

在真空恒定磁场中

磁场不随时间改变

磁感应强度B沿某个闭合曲线的积分

等于穿过该环路的

所有电流的代数和的μ0倍

这可以用数学式子表示出来

积分式子里面

闭合曲线L 的绕行方向是给定的

线积分就是沿着这个绕行方向进行

以L为边界可以做个曲面

这个曲面可以有很多

都是以L为边界的

计算积分的时候只考虑

其中一个曲面就可以了

曲面的法线都有两个方向

正方向怎么定呢

按右手螺旋规则

四指沿绕行方向

拇指指向为曲面的正方向

上面的积分式子

右边电流和项中

如果电流穿过L为边界的曲面

则这个电流强度对求和有贡献

否则没有贡献

电流穿过L为边界的曲面的时候

电流方向与曲面正方向是相同

则电流强度取正号

电流方向与曲面正方向相反则取负号

假设有个电流I1

在图上可以看到

穿过红虚线表示的曲面

根据右手螺旋规则

电流方向和曲面的正方向一致

所以取正号

另一个电流I2呢

根据这个规则就要取负号

电流I3因为不穿过红虚线表示的曲面

所以就没有贡献

对这个例子

电流和项就等于I1减去I2了

如果用蓝色虚线表示的曲面计算积分

结果会如何呢

电流I1 和 I2两项

与红虚线表示的曲面的情况没有两样

可是电流I3呢

它穿过蓝色虚线表示的曲面

但是穿进来以后又穿出去

一正一负抵消为零没有贡献

所以结果是一样的

我们通常说电流I1 和 I2

与环路L是套连的

而电流I3则不是套连

从几何角度看

套连和不套连 拓扑结构完全不同

套连的情况

如果不割断环路或电路的话

它们是不能分开的

但是不套连情况

不用割断环路或电路

它们就可以分离

所以只有当电流与环路套连时

才对这个环路积分有贡献

注意 环路积分中的磁感应强度是

所有套连和不套连电流共同产生的

总结一下就是

计算环路积分的时候

首先要规定闭合曲线绕行的方向

再以闭合曲线为边界选择任意一个曲面

这个曲面正方向按右手螺旋规则来定

那么这个闭合环路的积分

就等于μ0乘以穿过这个曲面的

电流的代数和

这里代数和的含义是

电流方向与曲面正方向一致取正号

否则取负号

因为磁感应强度的环路积分不为零

所以和静电场情况是不一样的

静磁场不能定义标量势

另一个与静电场不同的地方是

因为磁场的高斯积分总是为零

所以一般不能用磁场高斯定理

计算磁感应强度

而磁场环路定理与电流相关

对于一些对称分布的电流

我们就可以利用磁场的环路定理

比较方便地计算磁感应强度

道理在于

磁场是电流产生的

电流分布有对称性

相应的磁场分布也是有对称性的

假如根据对称性

沿着某个环路

磁场大小都一样

我们就可以把磁感应强度

从积分号中提出来

就可以方便地计算出

这个磁感应强度B了

常用的是磁场的镜像对称性

在大学物理1 角动量那一节

我们介绍过矢量的镜像对称性

有两类矢量

极矢量和轴矢量

它们的镜像对称性不一样

像速度和力等这些矢量是极矢量

而角动量 力矩这些是轴矢量

轴矢量一般是极矢量的差积给出来的

极矢量和轴矢量的镜像对称性

我们从如图中可以看出来

它们不一样

那么在电磁学当中

电场属于极矢量

磁场属于轴矢量

这可以从电荷和电流的镜像对称性

直接看出来

假设有一个对称面

左边是正电荷

很显然它的镜像还是正电荷

相应的电场当然我们可以表示出来

镜像电荷的电场也容易判断出来

与极矢量的镜像对称性比较一下

你就会发现

电场的镜像对称性与极矢量的相同

所以我们说电场是一个极矢量

再看一个小的电流元

它的镜像还是一个同向的电流元

相应的磁场当然可以表示出来

磁场线是轴对称的圆环

镜像电流元的磁场线

还是轴对称的圆环

与轴矢量的镜像对称性比较一下

就会发现磁场的镜像对称性

与轴矢量的是相同的

所以我们说磁场是轴矢量

下面我们根据对称性

不用毕-萨-拉定律

也可以直接判断

某些特殊电路的磁场分布

我们看一个例子

长直导线电流周围的磁感应强度

因为这个很长我们假设这是一个

无限长的电流

那么通过这个电流做一个平面

那么这个系统显然对这个平面来说

是镜像对称的

那么由于磁场它是轴矢量

所以我们现在从上面看

这个从上面看当然电流是这样的对吧

那么对称面这就是镜像的对称面

由于它是轴矢量

所以假如说这一侧

磁场的方向是这个方向的话

那么它的镜像是这个方向的对吧

同样的假如说这一侧有

这样方向的磁场分量的话

那么它的镜像应该是这样的

那么可是这个面是对称面

也就是说这上下应该是镜像对称的

所以假如说你上面有这样的分量的话

下边就应该有这样的分量

假如我们研究的这个场点

是很靠近这个对称面的

那个时候呢

对称性就意味着

这个位置上既要有这个方向的分量

又要有这个方向的分量

很显然只有一种情况

它才满足这种对称性条件

就是这个分量要等于0才行

同样的道理这样的分量

在这个对称面上也是不能存在的

所以我们得到一个普遍的结果

是什么呢

镜像对称面上是不能有

平行于对称面的磁场分量的

那么对于极矢量

这个结论是刚好相反的

也就是说对电场来说

在镜像对称面上

它不能有垂直于镜像对称面的电场分量

它是刚好相反的

那这样的镜像对称面有很多

你通过这个电流的平面

当然有无数个对吧

你对所有的这些对称面

都要满足对称性的话

你这个磁场的方向必须是这样的

就是比如我画一个圆的话

它的圆心当然在这个电流上

这个时候磁场的方向

都是沿着切线方向

只有这样才能满足这个条件

那么同时这个系统又是轴对称的

你绕着这个电流的轴

旋转的话这个系统应该不变

所以磁场也具有这样的轴对称性

所以假设你这个磁场是这种圆形的话

那么离这个电流距离

相同的那个圆上的磁场的大小

应该是一样的

那假设我们这个圆环上

做一个环路积分

因为你这个不是圆形磁场吗

那么绕着这个环路的积分

你就可以很容易把它算出来 为什么呢

你这个每一点上磁场的方向

和你环路的那个切线方向不是一致的吗

所以你这个矢量点积就可以简单变成了

代数乘积

然后这个环上的磁场大小都是一样的

你可以把它提到积分号外边

这个长度的积分是这个圆环的周长

2πR

那么根据磁场的环路定理我们知道

它刚好是根据μ0I

根据右手螺旋

你这个环路方向是这样的

所以你这个电流的方向

跟环路所规定的那个

面的方向是一致的所以这是正的μ0i

那根据这个式子我很容易计算出来

环上的磁场大小是这样的

当然方向都是沿着切线方向

我们再看一个例子

假如说有密绕螺旋环

密绕螺旋环是什么呢

就是这个电路它是这样的

螺旋 螺旋状

环 都是一个环

密绕的这么转圈

但是整个是一个环 可是这个是螺旋

是这样一个电路

那么因为它是密绕的

我在这里边就可以做近似

怎么说呢

我可以把这个密绕的螺旋环

看作是一个个的圆环电流

一个个的圆环电流放在一起的

密密的叠在一起

形成了这个密绕螺旋环

当然每个环上的电流大小都是一样的

如果是这样的话

我对某一个面

这个面当然是通过这个

圆环 圆心的

那么垂直于这个密绕螺绕环对吧

那么这个平面

系统对它是镜像对称的

为什么呢

假如说这上面有一个圆环电流的话

这个上面也有

对称位上有个这样的圆环电流

这有一个圆环电流的话

那边呢也有一个这样的圆环电流

所以这是镜像对称面

根据刚刚讨论的结论

在镜像对称面上

磁场不能有平行于对称面的分量

所以只能是垂直于这个平面的分量

那么这个密绕的螺绕环

它其实有好多这样的对称面

所有通过圆心垂直于螺绕环的平面

都是它的镜像对称面

那么磁场哪个地方都不能有

平行于这些对称面的分量

那么只有一种

就是磁场只能是环形的

它是和螺绕环

它是同心环的这么一种磁场

假设某一处的半径是r的话

通过这个以这个r作半径

画一个圆环

那么这个密绕螺绕环

还有一个轴对称性

通过这个圆心

垂直于这个螺绕环的一个轴

你绕着它转动的话

这个系统是不变的

所以磁场也得有轴对称性

也就是说你在这个半径r的环上

磁场的大小也得是处处一样的

那么比如说我对这个环

作一个环路积分

那么这个时候呢很简单

因为这是沿着环路

磁场大小一样

方向都是沿着切线方向

所以环路积分就是

磁场大小乘上周长2πr

根据环路定理

它是里边套连的电流乘上μ0

套连了多少呢

假如说这里面缠了N匝的电流的话

那当然是N倍的电流了

那么我很容易计算出来

这个磁场就应该是这个

那么螺绕环外边的磁场呢

外边也好这里边也好

只要不是在这个环里边的话

你刚才这个讨论呢仍然是对的

只不过什么呢

你计算这个环路定理的时候

你如果是绕着这外边的一个环

做积分的话

它没有套连电流所以右侧是等于0

所以那个时候外边的磁场是等于0的

里边也是一样

所以磁场是集中在这个螺绕环里边的

是这个表达式

我们再看一看

无限大均匀载流平面这个电流

它产生的磁场是什么样子的

这是一个大的平面 无限大的平面

上面有电流 电流密度

这里边电流密度实际上是

单位长度上的电流的意思

那么这个电流密度呢是均匀的

沿着某个方向流

这个时候我做一个平面

这个平面怎么做呢

垂直于这个载流平面

同时平行于这个电流密度的方向

那么对这个平面

其实这个系统是镜像对称的

你想一想 对吧

你这个面两侧都是镜像对称的

这边电流那边有电流都是一样的

那么根据前边讨论

磁场不能有平行于这个对称面的分量

所以磁场的方向只能是垂直于这个平面

假设上面这个磁场的方向是向外的

反正是要垂直于这个平面

不是向外就是向里

我假设是向外的

那么其实这个系统对载流平面本身

载流平面本身也是一个镜像对称面

那么磁场是轴矢量

所以以这个载流平面作为对称面的话

你假设这上面的磁场是这样的话

下边的磁场就应该是向里的这个方向

下面我在这里边做一个环路

那我这个环路怎么做呢

这是一个小的矩形

假如说这是载流平面

这上面就是矩形的一条边

是平行于这个载流面

同时又垂直于这个电流的方向

然后呢直下来

在下边又有一个矩形的一条边

然后在另一条边

那么对于这个环路来说

因为磁场只有这种方向的

所以只有在上下两条边上

这个环路积分才有贡献

侧面的这个

由于路径和磁场的方向是垂直的

所以环路积分贡献是0

同样的因为你这个载流面本身是

镜像对称面

所以你上面的这个磁场和下面这个

同一个离这个平面

同样距离的那个地方的磁场的大小

是一样的

所以你这个环路积分

很简单可以写出来它就是两倍的Bl

l就是这个环路这个矩形边的长度

那么这个环路积分应该等于什么呢

就是它套连的电流乘上μ0

套连多少电流呢

因为通过这个长度的

l这个长度的电流

就等于l乘上它的电流密度j

所以说这个式子你很容易推出来

磁场大小是μ0j/2

方向呢

上面是这个

下面是这个方向

因为刚才我们在这个假设下

算出来的结果

你这个取电流的时候

你看环路方向是这个方向

和电流的方向是一致的

所以你是正的

结果是正的和你原来的方向

当然是吻合的

所以磁场方向这样 大小这样

好 这节内容就讲到这儿

谢谢

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WEEK1

-电荷和库仑定律

--引言

--电荷

--库仑定律

-WEEK1--电荷和库仑定律

-电场及叠加原理,电偶极子

--电场和电场强度

--点电荷电场及叠加原理

--点电荷电场及叠加原理(续1)

--点电荷电场及叠加原理(续2)

--点电荷电场及叠加原理(续3)

-WEEK1--电场及叠加原理,电偶极子

-高斯定律

--电通量

--立体角*

--高斯定律的证明*

--高斯定律和电场线

--高斯定律的应用

--高斯定律的应用(续)

-WEEK1--高斯定律

-WEEK1--本周作业

-week1课件

WEEK2

-静电场环路定理、电势和叠加原理

--环路定理

--电势和叠加原理

--电势和叠加原理(续)

--电势梯度

--等势面

-WEEK2--静电场环路定理、电势和叠加原理

-静电能

--电荷系静电能

--电荷系静电能(续1)

--电荷系静电能(续2)

-WEEK2--静电能

-导体静电平衡

--物质中电场

--导体静电平衡

--导体静电平衡条件(续1)

--导体静电平衡条件(续2)

-WEEK2--导体静电平衡

-WEEK2--本周作业

-week2课件

WEEK3

-导体周围电场

--有导体时静电场的计算

--有导体时静电场的计算(续)

-WEEK3--导体周围电场

-静电屏蔽

--导体壳与静电屏蔽

-WEEK3--静电屏蔽

-电容及电容器

--电容及电容器

--电容及电容器(续)

-WEEK3--电容及电容器

-电介质

--介质对电场的影响

-WEEK3--电介质

-极化强度矢量,极化电荷

--极化强度

--极化电荷

-WEEK3--极化强度矢量,极化电荷

-WEEK3--本周作业

-week3课件

WEEK4

-极化规律、电位移矢量

--电介质的极化规律

--电介质的极化规律(续)

--电位移矢量及其应用

--电位移矢量及其应用(续)

-WEEK4--极化规律、电位移矢量

-有介质时静电场能量

--有介质时静电场能量

-WEEK4--有介质时静电场能量

-电流密度、稳恒电流和稳恒电场

--电流密度

--稳恒电流和稳恒电场

-WEEK4--电流密度、稳恒电流和稳恒电场

-电动势、欧姆定律的微分形式及基尔霍夫定律

--电动势

--欧姆定律

--欧姆定律(续)

-WEEK4--电动势、欧姆定律的微分形式及基尔霍夫定律

-电流微观图像和暂态过程

--电流微观图像

--电容器的充放电(暂态过程)*

-WEEK4--电流微观图像和暂态过程

-本周作业

--week4--本周作业

-week4课件

WEEK5

-洛仑兹力、磁感应强度

--电流磁效应

--磁场和磁感应强度

-WEEK5--洛仑兹力、磁感应强度

-毕-萨-拉定律、磁场叠加原理和磁场高斯定理

--毕-萨-拉定律

--毕-萨-拉定律(续)

--磁场高斯定律

-WEEK5--毕-萨-拉定律、磁场叠加原理和磁场高斯定理

-静磁场环路定理

--安培环路定理及其应用

--安培环路定理及其应用(续1)

--安培环路定理及其应用(续2)

-WEEK5--静磁场环路定理

-安培力和霍尔效应

--带电粒子在磁场中的运动

--霍尔效应

--安培力

-WEEK5--安培力和霍尔效应

-WEEK5--本周作业

-week5课件

WEEK6

-载流线圈在均匀磁场中受的磁力矩、磁矩

--载流线圈在均匀磁场中受的磁力矩

-WEEK6--载流线圈在均匀磁场中受的磁力矩、磁矩

-磁介质对磁场的影响和原子磁矩

--磁场中的磁介质

--原子的磁矩

-WEEK6--磁介质对磁场的影响和原子磁矩

-磁化强度矢量、磁化电流和磁场强度H及其环路定理

--磁介质的磁化

--磁化电流

--有磁介质时磁化的规律

-WEEK6--磁化强度矢量、磁化电流和磁场强度H及其环路定理

-WEEK6--本周作业

-week6课件

WEEK7

-铁磁介质和简单磁路

--磁场的界面关系

--铁磁性材料

-WEEK7--铁磁介质和简单磁路

-法拉第电磁感应定律

--法拉第电磁感应定律

--电磁感应定律和磁通连续定理的普适性

-WEEK7--法拉第电磁感应定律

-动生电动势和感生电动势、感生电场和涡流

--动生电动势

--感生电动势和感生电场

--涡电流

-WEEK7--动生电动势和感生电动势、感生电场和涡流

-自感和互感

--自感

--互感

-WEEK7--自感和互感

-WEEK7--本周作业

-week7课件

WEEK8

-暂态过程和磁场能量

--RL电路的暂态过程

--磁场的能量

-磁场和电场的相对性

--电场和磁场的相对性

-位移电流和麦克斯韦方程组

--麦克斯韦方程组和电磁波

--麦克斯韦方程组

-WEEK8--位移电流和麦克斯韦方程组

-电磁波、坡因廷矢量和光压

--电磁波

--坡印廷矢量

--电磁波的动量

--光压——辐射压强

-本周作业

--week8--本周作业

-week8课件

WEEK9

-波动光学—引言

--波动光学——引言

-WEEK9--波动光学—引言

-杨氏双缝干涉、相干光

--光的干涉

--双缝干涉

-WEEK9--杨氏双缝干涉、相干光

-光源及发光性质

--光源的发光特性

--时间相干性

--空间相干性

-WEEK9--光源及发光性质

-光程、等倾和等厚干涉

--光程

--薄膜干涉(一)

--薄膜干涉(二)

-WEEK9--光程、等倾和等厚干涉

-迈克耳逊干涉仪

--迈克耳逊干涉仪

-WEEK9--本周作业

-week9课件

WEEK10

-衍射现象、单缝夫琅禾费衍射

--惠更斯原理

--单缝夫琅禾费衍射

--单缝夫琅禾费衍射(续)

-WEEK10--衍射现象、单缝夫琅禾费衍射

-光栅衍射

--光栅衍射

--光栅衍射(续)

-WEEK10--光栅衍射

-光学仪器分辨本领

--光学仪器的分辨本领

--光学仪器的分辨本领(续)

-WEEK10--光学仪器分辨本领

-X射线晶体衍射

--X射线的衍射

-WEEK10--X射线晶体衍射

-WEEK10--本周作业

-week10课件

WEEK11

-光的偏振状态和偏振片

--光的偏振状态

--光的偏振状态(续)

--起偏和检偏

-WEEK11--光的偏振状态和偏振片

-反射和折射光偏振

--反射和折射及散射光的偏振

-WEEK11--反射和折射光偏振

-晶体双折射、波片

--双折射

--双折射(续)

--波片

-WEEK11--晶体双折射、波片

-偏振光干涉、人工双折射和旋光

--偏振光的干涉

--人工双折射

--旋光现象

-WEEK11--偏振光干涉、人工双折射和旋光

-量子物理诞生和黑体辐射

--量子物理

--黑体辐射

-WEEK11--量子物理诞生和黑体辐射

-WEEK11--本周作业

-week11课件

WEEK12

-光电效应、光子和康普顿效应

--光电效应

--光子

--光子(续)

--光子(续2)

--康普顿效应

-WEEK12--光电效应、光子和康普顿效应

-物质波、波函数和概率密度

--物质波

--波函数

--波函数(续)

-WEEK12--物质波、波函数和概率密度

-不确定性关系

--不确定关系

-WEEK12--不确定性关系

-薛定谔方程

--薛定谔方程

-WEEK12--薛定谔方程

-一维无限深势阱

--一维无限深势阱

-WEEK12--一维无限深势阱

-WEEK12--本周作业

-week12课件

WEEK13

-一维问题

--一维谐振子

--势垒穿透

--扫描隧道显微镜

-WEEK13--一维问题

-氢原子能级和角动量

--原子中的电子

--玻尔理论发展的基础

--氢原子的量子力学处理

--能量量子化

-WEEK13--氢原子能级和角动量

-电子自旋、费米子和泡利不相容原理

--电子自旋与自旋轨道耦合

--碱金属原子光谱的双线

--微观粒子的不可分辨性

--各种原子核外电子排布

-WEEK13--电子自旋、费米子和泡利不相容原理

-WEEK13--本周作业

-week13

WEEK14

-X射线、激光、分子光谱简介

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--分子光谱简介

--激光

--光学谐振腔

-WEEK14--X射线、激光、分子光谱简介

-固体电子气模型和量子统计

--固体

--自由电子气体模型

--量子统计

-WEEK14--固体电子气模型和量子统计

-能带模型

--能带

-能带模型--作业

-本周作业

--WEEK14--本周作业

-week14

WEEK15

-半导体和PN结

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-WEEK15--半导体和PN结

-原子核性质、核磁共振

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-WEEK15--原子核性质、核磁共振

-放射性和衰变规律

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--α衰变

--穆斯堡尔效应

--β衰变

-WEEK15--放射性和衰变规律

-结合能、核力

--核的结合能

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-WEEK15--结合能、核力

-粒子物理简介

--基本粒子

-WEEK15--粒子物理简介

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期末考试

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安培环路定理及其应用笔记与讨论

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