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下面给大家讨论一个例子
就是均匀带电无限长直线的电场
现在有个无限长的直线均匀带电
上面的线电荷密度是λ
那么根据对称性
我们可以分析它周围的电场情况
假设我们考察的是某个P点的电场
离这个无限长直线距离r
我们在P点对称的位置上
选取两个小线元
这两个小线元在P点产生的场强
它是这样的互相对称
所以在这个方向的分量抵消掉了
所以只有沿着径向的方向电场
因为你在这个直线上
总可以找到两两对称的线元
那它们两产生电场
总是沿着径向的
所以整个无限长的均匀带电线的电场
都是径向的
我们也可以利用
其它的对称性分析的方法
来分析这个
无限长带电线周围电场的特性
假设我们考察这个P点
它离这个无限长带电线距离是r
假设P点上有这样一个电场的分量
那么我们考虑这样一个对称面
这个无限长带电线对这个对称面
显然是镜像对称的
那么这个电场的镜像呢
在这点当然是沿着这个方向
因为电场是极矢量
由于这个系统对这个对称面
是镜像对称的
所以在这点
既要有这样的电场方向
这个电场方向又要这个方向的
所以这是不可能的
唯一的情况就是
沿着这个方向的分量是等于0的
再考察比如说
我们看会不会有这样方向的
电场分量呢
根据轴对称性
你绕着这个无限长的直线
做一个转动
转到这边来的时候
那结果肯定是变成这个对不对
就是这样的电场
转过来以后当然变成这个了
可是这个系统对于这个面
就是这个无限长带电线所在的这个面
也是镜像对称的
因为电场是极矢量
所以这样电场的镜像
在这侧实际上应该是
也是这个方向
那么根据镜像对称性
这边的电场应该是这个方向
根据轴对称性
这点的电场应该是这样的
要想同时满足这个对称性
很显然不能存在这样的电场分量
否则在这里边就矛盾了
方向相反的电场要存在
这是不可能的
一个矢量总可以用
(三个)互相垂直的分量来表示
刚才我们分析
这个分量和这样的分量
是不能存在的
只有一种可能的方向
也就是无限长带电线的电场方向
只能是沿着径向方向
这跟我们前边分析的结果是一致的
那么一旦我们知道了
这个无限长带电线周围
电场的性质的话
我们当然就可以选取合适的高斯面
比如说我们选取
和这个无限长带电线
同一个对称轴的柱面
作为高斯面
假设这个圆柱的边长是l
半径是r
那么通过这个柱面的电通量呢
当然就是这个积分
刚才我们分析了
无限长均匀带电线周围的电场
它是径向的
从上面看的话
电场是这种分布
这个积分
我们可以把它分成两部分
一个是通过侧面的通量
一个是通过两个底面的通量
侧面的法线方向
是和电场的方向是一致的
而底面的法线方向
是沿着这个方向
它是和电场的方向是互相垂直的
所以通过两个底面的电通量
是等于0的
所以通过这个圆柱面的电通量
就等于通过侧面的电通量
而侧面上这个电通量呢
因为这个电场和面元的方向是一致的
所以这个矢量点积
你可以表示成代数乘积
另外由于轴对称性
这个侧面上的电场大小
都是一样的
所以这个积分结果就应该是
侧面的电场乘上侧面积
而这个侧面积
当然很容易计算出来
它就是2πr乘上这个高度l
根据高斯定律
这个电通量又是等于
它所包围的电荷除以ε0
它包围的电荷等于多少呢
就是l乘上线电荷密度λ
所以线电荷密度λ乘上l除以ε0
从这个式子里边我们很容易得到
电场大小就是等于这个式子
这个就是
无限长均匀带电线附近的
电场强度大小的公式
它的方向当然是沿着径向的
再看一个例子
这是无限大均匀带电平板的电场
这个平板的面电荷密度是σ
假设这是无限大的平板
我们可以利用对称性可以分析
它的电场的性质
假设有电场平行于这个平面的分量
那么我们可以做一个对称面
这个对称面是垂直于这个平面的
那么很显然
对这个面
这个电荷分布是镜像对称的
那显然这个电场也要满足镜像对称性
对于这个对称面来说
这个电场的镜像是什么方向呢
是这个方向对吧
为了满足这个对称性
这样的分量不能存在
否则在这一点
你不知道这个电场应该
是这个方向还是这个方向
根据刚才的对称性分析我们知道了
在这个无限大均匀带电平板附近电场
不能有平行于这个平面的电场分量
那也就只有垂直于这个平面的分量
而且对这个平面来说
应该是上下对称的
这样我们就可以选取
一个圆柱形的高斯面
来计算电场
这高斯面怎么取的呢
从侧面看的话
这是两个底面
这是侧面
这两个底面
离这个带电平面距离是一样的
根据对称性
这两个底面上的电场强度
应该是一样的
由于这个电场
只有垂直于这个平面的分量
所以在这个高斯面的侧面
没有电通量
电通量只在这两个底面上
这底面上的电通量等于多少呢
因为上下是对称的所以我们算出来
两倍的当地的电场
乘上底面积
根据高斯定律
这个又是等于
这高斯面所包围的电荷量除以ε0
高斯面包围的电荷量有多少呢
就是这个面积乘上面密度
整理一下我们就得出来
无限大均匀带电平面周围的电场是
面电荷密度除以二倍的ε0
方向是垂直于这个平面的
这个结果
我们利用点电荷和叠加原理推导过
结论是一致的
好 这节内容就讲到这儿
谢谢
-电荷和库仑定律
--引言
--电荷
--库仑定律
-WEEK1--电荷和库仑定律
-电场及叠加原理，电偶极子
--电场和电场强度
-WEEK1--电场及叠加原理，电偶极子
-高斯定律
--电通量
--立体角*
--高斯定律的证明*
--高斯定律和电场线
--高斯定律的应用
-WEEK1--高斯定律
-WEEK1--本周作业
-静电场环路定理、电势和叠加原理
--环路定理
--电势和叠加原理
--电势梯度
--等势面
-WEEK2--静电场环路定理、电势和叠加原理
-静电能
--电荷系静电能
-WEEK2--静电能
-导体静电平衡
--物质中电场
--导体静电平衡
-WEEK2--导体静电平衡
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--导体壳与静电屏蔽
-WEEK3--静电屏蔽
-电容及电容器
--电容及电容器
-WEEK3--电容及电容器
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--介质对电场的影响
-WEEK3--电介质
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--极化强度
--极化电荷
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--电介质的极化规律
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-电流密度、稳恒电流和稳恒电场
--电流密度
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-电动势、欧姆定律的微分形式及基尔霍夫定律
--电动势
--欧姆定律
--欧姆定律（续）
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