当前课程知识点：大学物理2 (电磁学、光学和量子物理) > WEEK2 > 静电场环路定理、电势和叠加原理 > 电势和叠加原理（续）
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同学好
这节我们接着讲电势和叠加原理
我们讨论电势的叠加原理
考虑某一个点的电势
用这个积分来表示
当然这时候P0的电势选为0了
现在这个电场
不是单个点电荷产生的
是多个点电荷产生的
所以这里边的电场
是多个点电荷电场的叠加
由于这个积分其实本质上是求和
所以我们可以跟这个求和号
换次序
这样的话我们就得到了这么一个式子
那么求和号里边这个式子
其实就是第i个点电荷的
产生的电势
求和的结果呢
就是每个点电荷产生电势的叠加
这就是电势叠加原理
前边一个点电荷的电势公式
我们给出来过
所以多个点电荷的电势
就可以用这个求和式子来简单表示了
假如我们讨论的这个带电体
电荷是连续分布的
比如说有一个大块的电荷
那么它在周围产生的电势
应该怎么计算呢
我们在这里边选一个小块电荷
对于远处来说这一小块电荷
你可以把它当作是点电荷
所以这一小块电荷
在某一点产生的电势
我们可以利用点电荷的
电势公式给计算出来
根据电势叠加原理
这个大块电荷在某一点的电势
是所有这些小块产生电势的叠加
因为它是连续分布的
所以我们可以用积分式子来表示
这个积分其实也是求和的意思
这里边这个大块电荷
可以是体电荷分布
也可以是面电荷分布
也可以是线电荷分布
这个时候这一小块电荷dq呢
对于体电荷分布来说就是
体电荷密度乘上小块的体积
对于面电荷分布来说
就是面电荷密度乘上小块的面积
对于线电荷分布来说
就是线电荷密度
乘上这个小线元的长度
下面我们看一个例子
第一个是电偶极子势
这里边电偶极子我们前边讲过
它就是等量异号电荷
它们距离是l
在某一点P的电势怎么计算呢
假设正电荷到场点的距离是r＋
负电荷到场点的距离是r－
根据电势叠加原理
P点的电势其实就是
这两个点电荷产生的电势的叠加
那么这个点电荷电势
公式我们已经知道
把它代进来的话
就得到了这个式子
偶极子呢有个条件就是
场点距离这两个电荷很远
也就是说这r是大于大于这个l的
这个时候我们可以引两个垂线
我们就可以得到
简单的这样一个近似式子
就是r＋和r－跟r之间的关系
这个式子我们也可以得到
简单的这么一个式子
你在做这件事情的时候
有一个原则
就是假设r分之l是小量
所以我们只保留r分之l的一次项
把这些结果代入到前边我们得到的
电势的叠加公式里边
我们就得到了
偶极子在某一点的电势是这个量
根据我们前边得到的
电偶极矩是这个量
在这个里边我们也很容易看出来
lrcosθ就是l和r的点积
把这两个结果
代到这里边我们就可以得到
电偶极子的电势公式
这是用电偶极矩这个量表示出来的
我们可以看出来
这个是跟r平方分之一成正比的
点电荷的这个电势呢
是r分之一成正比
它们差一个阶
下一个例子
是均匀带电圆环轴线上的电势
假设这个圆环是均匀带电的
它的半径是R
这个电势我们怎么计算呢
我们在这个圆环上取一小段线元
这线元所带的电量就是
线电荷密度乘上这一小段的长度
这个线元当然是很小的
所以从远处看来
你可以把它当作点电荷来处理
它产生的电势
我们可以利用点电荷电势公式得到
整个圆环上这些电荷
对这一点的电势的贡献
当然是每一小段
在这一点电势贡献的叠加了
因为它是连续分布
这个叠加我们可以用一个
积分式子来表示
这里边这个r是圆环上某一点
到轴线上的距离
这个距离都是一样的
所以它可以从积分号提到外边来
唯一的积分就是对这个dq积分
dq积分的结果
就是整个圆环所带的
总的电量大Q
所以我们就得到了这么一个式子
利用三角形勾股定理
r平方等于x平方加上大R的平方
我们可以把它化成这样一个结果
我们可以看到
利用电势叠加原理
比利用电场叠加原理要简单
为什么呢
因为电场叠加原理是关于矢量的叠加
可是在这里边电势叠加
是标量的叠加
当然要容易一些了
下面我们再看一个例子
计算均匀带电球面的电势
前边我们曾经计算过
均匀带电球面在周围产生的电场
它是什么样的呢
在球壳里边电场是等于0
球壳外它的电场相当于所有球壳的电荷
集中于球心的时候的那个电场
是球对称的
利用这个公式
我们就可以求
它周围任何一点的电势
假设我们选择距离这个球
无限远的地方的电势为0
那么我们先考察球内的一点
球内距离球心r这个地方的电势
是什么样子呢
很显然假设我们选择了无限远处
作为势能零点的话
这一点的电势应该是这个积分
是从这一点到无限远处的积分
或者你可以说它是负的
从无限远处到P点的积分
我们把电场这个值
代到这里边积分就行了
可是电场这个值呢
球内有个式子 球外有个式子
所以这个积分要分两段
球内电场等于0
球外相当于这些电荷集中于球心一样
这个积分是比较容易的
前边这积分当然是等于0了
我们算出来它就等于这个
我们可以看到
球内的这个电势
它和小r没有关系
也就是说球内这个电势是一个常量
所以球内是一个等势体
球外点的电势怎么计算呢
某一点比如说距离球心是r
根据电势的定义
我们算这一点的电势
应该是算这个电场的积分
这个电场当然是相当于
这些电荷全在球心的时候的情况了
这个积分比较容易算
算出来是这么一个结果
这个式子你仔细一看你就会发现
它是相当于
这球壳的电荷全部集中于
球心的时候的球外的那一点的电势
我们把前边和后边这个结果
都合在一起
画上一个图 它是这样的
在球内这个电势它是一个等势的
在球外它是r分之一衰减的
我们再看一个例子
计算平行板电容器两板间的电势差
假设这两个平行板
一个是带正电的 一个是带负电的
它们之间的距离是d
这个时候我们很容易计算
两板之间的电场
它实际上就是ε0分之σ
怎么知道的呢
因为这个面
在这里边贡献电场是2ε0分之σ
这我们是知道的
这个板也同样贡献2ε0分之σ
方向它两是一致的
合在一块当然就是ε0分之σ了
而且电场是平行的
假如我们不考虑边缘效应的话
在这里边电场都是均匀的
根据电势差的计算公式
两板之间的电势差
就是这个电场的积分
这个积分我们可以最简单的
沿着这个电场线做
沿着这个电场线位移的方向
是和电场的方向是一致的
所以很容易积分出来
里边的电场又是常量
所以它就等于Ed
这就是平行板电容器
两板之间的电势差的公式结果
好 这节内容就讲到这儿
谢谢
-电荷和库仑定律
--引言
--电荷
--库仑定律
-WEEK1--电荷和库仑定律
-电场及叠加原理，电偶极子
--电场和电场强度
-WEEK1--电场及叠加原理，电偶极子
-高斯定律
--电通量
--立体角*
--高斯定律的证明*
--高斯定律和电场线
--高斯定律的应用
-WEEK1--高斯定律
-WEEK1--本周作业
-静电场环路定理、电势和叠加原理
--环路定理
--电势和叠加原理
--电势梯度
--等势面
-WEEK2--静电场环路定理、电势和叠加原理
-静电能
--电荷系静电能
-WEEK2--静电能
-导体静电平衡
--物质中电场
--导体静电平衡
-WEEK2--导体静电平衡
-WEEK2--本周作业
-导体周围电场
-WEEK3--导体周围电场
-静电屏蔽
--导体壳与静电屏蔽
-WEEK3--静电屏蔽
-电容及电容器
--电容及电容器
-WEEK3--电容及电容器
-电介质
--介质对电场的影响
-WEEK3--电介质
-极化强度矢量，极化电荷
--极化强度
--极化电荷
-WEEK3--极化强度矢量，极化电荷
-WEEK3--本周作业
-极化规律、电位移矢量
--电介质的极化规律
-WEEK4--极化规律、电位移矢量
-有介质时静电场能量
-WEEK4--有介质时静电场能量
-电流密度、稳恒电流和稳恒电场
--电流密度
-WEEK4--电流密度、稳恒电流和稳恒电场
-电动势、欧姆定律的微分形式及基尔霍夫定律
--电动势
--欧姆定律
--欧姆定律（续）
-WEEK4--电动势、欧姆定律的微分形式及基尔霍夫定律
-电流微观图像和暂态过程
--电流微观图像
-WEEK4--电流微观图像和暂态过程
-本周作业
--week4--本周作业
-洛仑兹力、磁感应强度
--电流磁效应
--磁场和磁感应强度
-WEEK5--洛仑兹力、磁感应强度
-毕-萨-拉定律、磁场叠加原理和磁场高斯定理
--毕-萨-拉定律
--磁场高斯定律
-WEEK5--毕-萨-拉定律、磁场叠加原理和磁场高斯定理
-静磁场环路定理
-WEEK5--静磁场环路定理
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--霍尔效应
--安培力
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-WEEK6--载流线圈在均匀磁场中受的磁力矩、磁矩
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--磁场中的磁介质
--原子的磁矩
-WEEK6--磁介质对磁场的影响和原子磁矩
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--磁介质的磁化
--磁化电流
-WEEK6--磁化强度矢量、磁化电流和磁场强度H及其环路定理
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--铁磁性材料
-WEEK7--铁磁介质和简单磁路
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-WEEK7--法拉第电磁感应定律
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--动生电动势
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--互感
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