当前课程知识点:大学物理2 (电磁学、光学和量子物理) > WEEK14 > 固体电子气模型和量子统计 > 量子统计
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同学好
这节我们讲量子统计
我们以这个
电子气体为例 开始讲
电子当然它不是经典粒子
它是属于微观粒子
它要服从量子力学的规律
所以 这个统计
也得用量子统计
前边我们讲过
在金属里边
近似的
那些这个价电子可以当做是
自由电子处理
那么相当于这些电子
就是关在这个金属里边的
电子气体
那么由于泡利不相容原理
这个电子它是
从能量最低的态
一直排到费米能量 对吧
小于费米能量的地方
电子数就等于状态数
这个 我们也可以用
另一种语言来说
就是小于费米能量的那些状态上
电子平均占据数是1
大于费米能量的那些状态
没有电子
你也可以说
大于费米能量的那些状态上
电子平均占据数是0
把这个结果
如果我画成图的话
看得比较清楚
这个 是每个状态上的
电子平均占据数
那么小于费米能量的时候
它是1
大于费米能量的时候
它是等于0 就是这样
因为 这样排列的结果
系统的能量是最低的
没有比这个排法能量更低的
所以我们也可以说 这个时候的
温度它是等于0的
那么温度如果大于0怎么样呢
温度大于0的时候
我们得用费米-狄拉克分布
那么这个
费米-狄拉克分布的形式是这样
我们在这里边
不给出推导这些结果
不过在这个式子里边 你可以看出来
这个能量为E的
这个电子平均占据数
很显然它是小于1的
那泡利不相容原理
它就告诉你
它是不能大于1 对吧
那这里边
μ 它是化学势
它是跟温度有关系的一个量
当温度等于0的时候
化学势就是等于费米能量
那么这个费米-狄拉克分布
不仅仅是对电子气体 它是适用的
对于其他的费米子气体都适用
那什么是费米子呢
那些自旋角动量量子数
是半整数的那些粒子
它都是费米子
除了电子 我们还有
质子和中子等等
那么它们这个组成的系统
都满足这个费米-狄拉克分布
我们可以看出来
在这个式子里边
假如有这样的条件的话
那么这个式子
就可以简化成这个形式
这个是我们熟悉的
玻耳兹曼因子
所以说在这样的条件下
这个量子气体
或者说费米子气体
它是可以近似到
玻耳兹曼分布来
就是变成了经典气体
前边我们刚刚讲了
温度等于0的时候
电子的平均占据数是
这样一种形式 对吧
那么这个图呢
应该是从这个式子里边
可以给出来才是合理的 对吧
那么在这个式子里边
你假如说 让温度趋于0的话
你看一看
当能量小于这个化学式 当
温度等于0的时候是费米能量
所以小于费米能量的时候
那么温度趋于0的话
那么这个是变成0了
所以呢
平均占据数就变成了1 对吧
当能量大于这个
费米能量的时候
那么这个式子呢
趋于无限大
所以这个结果是等于0
所以看出来温度趋于0的时候
它的极限就给出来这个
刚才我们
前边给出来的这么一个结果
温度大于0的时候
那么这个时候 温度如果是
比0大的不是很多的时候
它实际上只在费米能量附近
这个平均占据数有一点改变
那么常温下
常温下这个kT大概多大呢
这个是一个很重要的量
你可以计算一下
很容易得出来
它大概是1/40eV
那么费米能量
在铜里边我们估算过
它是7个eV
那比起它来说要大的多得多
所以常温的情况
它基本上是和温度等于0的情况
是差不多的
所以它只在这个费米能量附近
平均占据数有一点改变
你温度变的很高的时候
它的变化才比较明显
就是偏离这个温度等于0的情况
比较大
那温度大于0的时候
能量在E到E+dE这个区间的
电子数密度我们怎么计算呢
那它当然跟这个状态数密度
是有联系的
前面给过态密度的概念
那么单位体积内
能量在这个区间的
这个状态数啊
我们可以用态密度来表示
可是刚才我们已经知道了
每个状态上电子平均占据数呢
它是这个 f(E)
那很显然
在这个区间的电子密度
就应该是
状态数密度再乘上这个
平均占据数就可以了
就是这样一个结果
那其实这个 就是
自由电子气体数密度按能量的分布
你把这个费米-狄拉克分布
代到刚才那个式子里边
我们就得出来这么一个式子 对吧
那么在常温下
因为我们刚才说了
它基本上和温度等于0的时候
差不多
所以那个时候的化学式
基本是等于这个费米能量
很显然
当这种条件下
这个结果就会化成
麦克斯韦-玻耳兹曼分布
就回到了经典气体的那个分布了
把这个结果 画到图上
我们看的更清楚一些
那么这条线呢
就是态密度的那个曲线
那费米能量是在这儿
温度等于0的时候
电子就占据了
所有小于费米能量的
这些状态
那么温度大于0的时候
当然常温的时候比如说
它基本上和温度等于0的时候
差不多
稍微有一点变化
就是在费米能量附近
稍微有点变化
所以电子数密度的分布
大概是这样的
就在费米能附近有一点改变
它的形式就是态密度乘上
费米-狄拉克分布
温度再大的话
那它当然就是
有比较大的改变
就是这样
那么刚才我们讲的是费米子的这个
量子统计
那既然讲到费米子了
我们顺便也把
玻色子的这个量子统计
也给讲一讲
那玻色气体当然就是
由玻色子组成的这个气体
那么这些玻色子
跟费米子不一样
它是什么呢
就是自旋角动量量子数
都是整数的那样的粒子
你比如说光子 它就是玻色子
那么玻色统计统计
是玻色这个人最先发现的
其实他的发现过程
比较有戏剧性
是自由错误导致的
什么样的错误呢
你比如说
我们知道扔一个硬币
它有正反面
那么正面或者反面
出现的概率我们都知道
它是各一半 对吧
那么假如说你扔两个硬币
有人问你
一个硬币出现正面
另一个硬币出现反面的
概率等于多少呢
初中生都会去算
这等于百分之五十 就这样
可是呢 玻色不这么想
玻色他认为
这个是正面 这个是反面
和这个是正面 这个是反面
这应该是一种状态
所以他统计的时候呢
算出来的结果是1/3
当然看起来是错误的
可是呢
玻色用这样的统计方法
计算光子气体
结果推出了
普朗克的那个黑体辐射公式
当然他觉得
这不是很偶然的事情啊
所以他就把这个结果啊
写成论文
可是呢 没有人给他发表
很显然你想
大家都认为你这种做法
肯定是错的 对吧
玻色并不气馁
把自己的论文
就发给爱因斯坦了
爱因斯坦呢
一看这个论文 他看懂了
他觉得这是非常重要的一个结果
于是呢
他把这个玻色的论文
翻译成德语 在德文刊上发表
同时呢
爱因斯坦也做了一些相应的工作
后来呢
我们把这个
玻色子遵从的这个统计
我们把它叫做
玻色-爱因斯坦统计
那么利用刚才玻色
给出来的这种统计方法呢
你就可以计算出来
玻色子在某个能量
状态的这个平均占据数
它就遵从玻色-爱因斯坦分布
玻色这个人后来
没有得诺贝尔奖
但是他的这个发现
非常了不起
所以我觉得 得不得诺贝尔奖
并不影响他这个发现的伟大
你给他诺贝尔奖 按我的观点
应该是诺贝尔奖的荣誉
应该是这样
好 那么这里边呢
我们也有一个化学式
这个化学式也是跟温度有关系的
同样的
在这种条件下
你可以把这个式子
化成这种形式
这个是玻耳兹曼因子
所以说玻色子气体
在满足这种条件下
它也会变成经典气体
也满足经典的
玻耳兹曼统计分布
那么玻色气体
它也有态密度这个概念
这个态密度概念跟
费米子气体的态密度概念
是一样的
假设 这个玻色子
气体的态密度已经知道了
那我们就可以计算
能量在E到E+d这个区间的
玻色子数密度
因为每个状态上的
平均占据数 我们是知道的
所以很容易计算出来
它就是平均占据数
再乘上状态数密度 对吧
总的玻色子数密度当然
你积分就行了 对吧
那么这里边呢
假如说态密度你已经知道
当然 玻色-爱因斯坦分布
我们也是知道的
那这样的话呢
你把能量从0到无限大一积分
这个当然你总可以
得出一个结果 对吧
它是温度的函数
它是化学式的函数
假如 当这个化学式
等于0的时候
化学式等于0的时候
通过这个式子
我们可以给出来一个温度值
这个温度值
它是一个临界温度
这是一个相变的临界温度
那么在这个温度开始
会发生一件事情
就是动量为零的
玻色子数目会明显的上升
那么所有的玻色子
动量都变成0了
我们就说 它是变成了
玻色-爱因斯坦凝聚了
那玻色-爱因斯坦凝聚这个方向
是物理学里边的一个前沿
现在是一个研究热点
那么利用这些结果呢
我们当然可以做个例子
计算光子气体
就是玻色一开始做的那件事情
光子气体有些特别
因为什么呢
因为光子数不守恒
那么因为光子数不守恒
在统计里边会给出一个结果
就是 光子的化学式是等于0的
那我怎么知道光子数是不守恒的呢
你比如说在这个屋子里边
现在有灯 对吧
那么实际上就是说
这个屋子里边充满了光子
可是当你把这个电一关闭
光瞬间就消失了
光子都被墙壁呀
或者这些东西都被吸收了
光子是装在一个腔体里边的时候
光子数目是不守恒的
经常和器壁之间有相互作用
经常被器壁分子吸收
器壁分子也可以发出光子
它是这样一个系统
所以 由于化学势等于0
玻色-爱因斯坦分布
就简单写成了这样一个形式
里边没有化学势
下面我们讨论的情况呢
是一个简单的一种情形
就是边长为L的这个盒子里边
充满了光子
这些光子当然
有可能被器壁吸收
而器壁呢也可能发出光子
可以这个气体的平均数目
它是不变的
是这么一种情况
因为它跑不到器壁外边
也相当于这个器壁
是一个无限高的势垒
那么它当然在这个
无限高的势垒上
要满足驻波条件
那么根据驻波条件
我们可以给出来
跟那个电子的驻波条件
是一样的
就是x方向的动量
y方向的动量 z方向的动量
它都满足这样一个式子
那这里边nx ny nz
这是量子数
它是整数 对吧
那么光子的那个能量
跟那电子能量不一样
因为光子是相对论气体
所以它的能量是pc
它没有静止质量
那么把刚才那个动量
代到这里边
我们就得出了这么一个结果
那很明显
在状态数空间
就是nx ny nz
作为坐标轴的那个空间里边
很显然这个是一个半径 对吧
所以能量相同的态是在
一个球面上
这是在状态空间的一个球面上
它的半径 比如说r跟能量
是一一对应的
半径相同 那能量就相同
就是这个意思
那么小于能量E的状态数目
怎么计算呢
跟电子气体的情况差不多
是在这个球面内的 球的体积
因为在状态数空间
体积就等于状态数 对吧
那么我们就可以计算出来了
能量小于E的
实际上是小于某个半径的那个体积
可是这个状态数呢
都是正数
所以我们得只计算
第一象限的那个体积
这1/8的球体积
在考虑到光子 它有两个偏振
两个偏振状态
所以你还要乘2
那么这个结果呢就变成了这个
你也可以把这个L三次方
写成体积
这样的话
这个式子不光是方盒子对
甚至不同形状的体积为V的
都是这样一个形式
那么有了这个结果
我们当然就可以计算
态密度 对吧
那么这个态密度 根据定义
你既然已经知道了这个
对能量求导数
再除以这个体积的话
我们就得到了这个
那么能量E附近
单位能量区间 光子数密度
当然就是这个平均占据数
再乘上这个态密度了
这个态密度是已知的
刚才我们给出来过
那么这个呢
是玻色-爱因斯坦分布
那个化学势等于0的那个结果
那么有了这个结果啊
我们就可以计算下面的这个
这个量
就是单位时间内
能量E附近
单位能量区间的这个光子
打在单位面积器壁上的数目
我们可以计算出来
在热学里边
我们给出来过
它是1/4粒子数密度再乘上
这个粒子的平均速率
那么这里边光子的平均速率
当然是光数c啊
所以它是这么一个结果
那么假如说这个器壁上有个小孔的话
那么这个光子就可以通过那
小孔辐射出来 对吧
那么通过这个小孔辐射出来的
单位时间内
从单位面积E附近
单位能量区间上
辐射出来的那个能量
我们就可以计算出来
这个 当然就是
刚才的那个结果
就是单位时间
从单位面积上
辐射出来的
能量E附近单位能量区间上的
那个光子数目再乘上
每个光子的能量
不就可以了吗
那么考虑到光子的能量呢
它是等于hν 对吧
这个h当然普朗克常量了
那把这个结果代到这里边
把我们刚才知道的那个态密度
也都把它代进来
那么整理一下
你就可以得到这么一个式子
当然两侧都乘了一个dν
这个v这回当了频率了
那么这个是什么呢
这个实际上是单位时间内
从单位面积
频率在ν到ν+dν这个区间的
辐射出来的能量 对吧
那么这个不正是
前边讲过的那个
单色辐射本领嘛
就是这个Mν是单色辐射本领 对吧
这就是黑体辐射的那单色辐射本领
你对比一下你就发现
它跟普朗克的黑体辐射公式是
完全一样的
这样的话 我们利用
玻色统计
对于光子气体
推导出了
普朗克的黑体辐射公式
这也就是玻色当时
做过的事情
好 这节内容就讲到这儿
谢谢
-电荷和库仑定律
--引言
--电荷
--库仑定律
-WEEK1--电荷和库仑定律
-电场及叠加原理,电偶极子
--电场和电场强度
-WEEK1--电场及叠加原理,电偶极子
-高斯定律
--电通量
--立体角*
--高斯定律的证明*
--高斯定律和电场线
--高斯定律的应用
-WEEK1--高斯定律
-WEEK1--本周作业
-静电场环路定理、电势和叠加原理
--环路定理
--电势和叠加原理
--电势梯度
--等势面
-WEEK2--静电场环路定理、电势和叠加原理
-静电能
--电荷系静电能
-WEEK2--静电能
-导体静电平衡
--物质中电场
--导体静电平衡
-WEEK2--导体静电平衡
-WEEK2--本周作业
-导体周围电场
-WEEK3--导体周围电场
-静电屏蔽
--导体壳与静电屏蔽
-WEEK3--静电屏蔽
-电容及电容器
--电容及电容器
-WEEK3--电容及电容器
-电介质
--介质对电场的影响
-WEEK3--电介质
-极化强度矢量,极化电荷
--极化强度
--极化电荷
-WEEK3--极化强度矢量,极化电荷
-WEEK3--本周作业
-极化规律、电位移矢量
--电介质的极化规律
-WEEK4--极化规律、电位移矢量
-有介质时静电场能量
-WEEK4--有介质时静电场能量
-电流密度、稳恒电流和稳恒电场
--电流密度
-WEEK4--电流密度、稳恒电流和稳恒电场
-电动势、欧姆定律的微分形式及基尔霍夫定律
--电动势
--欧姆定律
--欧姆定律(续)
-WEEK4--电动势、欧姆定律的微分形式及基尔霍夫定律
-电流微观图像和暂态过程
--电流微观图像
-WEEK4--电流微观图像和暂态过程
-本周作业
--week4--本周作业
-洛仑兹力、磁感应强度
--电流磁效应
--磁场和磁感应强度
-WEEK5--洛仑兹力、磁感应强度
-毕-萨-拉定律、磁场叠加原理和磁场高斯定理
--毕-萨-拉定律
--磁场高斯定律
-WEEK5--毕-萨-拉定律、磁场叠加原理和磁场高斯定理
-静磁场环路定理
-WEEK5--静磁场环路定理
-安培力和霍尔效应
--霍尔效应
--安培力
-WEEK5--安培力和霍尔效应
-WEEK5--本周作业
-载流线圈在均匀磁场中受的磁力矩、磁矩
-WEEK6--载流线圈在均匀磁场中受的磁力矩、磁矩
-磁介质对磁场的影响和原子磁矩
--磁场中的磁介质
--原子的磁矩
-WEEK6--磁介质对磁场的影响和原子磁矩
-磁化强度矢量、磁化电流和磁场强度H及其环路定理
--磁介质的磁化
--磁化电流
-WEEK6--磁化强度矢量、磁化电流和磁场强度H及其环路定理
-WEEK6--本周作业
-铁磁介质和简单磁路
--磁场的界面关系
--铁磁性材料
-WEEK7--铁磁介质和简单磁路
-法拉第电磁感应定律
-WEEK7--法拉第电磁感应定律
-动生电动势和感生电动势、感生电场和涡流
--动生电动势
--涡电流
-WEEK7--动生电动势和感生电动势、感生电场和涡流
-自感和互感
--自感
--互感
-WEEK7--自感和互感
-WEEK7--本周作业
-暂态过程和磁场能量
--磁场的能量
-磁场和电场的相对性
-位移电流和麦克斯韦方程组
--麦克斯韦方程组
-WEEK8--位移电流和麦克斯韦方程组
-电磁波、坡因廷矢量和光压
--电磁波
--坡印廷矢量
--电磁波的动量
--光压——辐射压强
-本周作业
--week8--本周作业
-波动光学—引言
--波动光学——引言
-WEEK9--波动光学—引言
-杨氏双缝干涉、相干光
--光的干涉
--双缝干涉
-WEEK9--杨氏双缝干涉、相干光
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--光源的发光特性
--时间相干性
--空间相干性
-WEEK9--光源及发光性质
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--光程
--薄膜干涉(一)
--薄膜干涉(二)
-WEEK9--光程、等倾和等厚干涉
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--迈克耳逊干涉仪
-WEEK9--本周作业
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--惠更斯原理
--单缝夫琅禾费衍射
-WEEK10--衍射现象、单缝夫琅禾费衍射
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--光栅衍射
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-WEEK10--光栅衍射
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-WEEK10--光学仪器分辨本领
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--X射线的衍射
-WEEK10--X射线晶体衍射
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--光的偏振状态
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--波片
-WEEK11--晶体双折射、波片
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--偏振光的干涉
--人工双折射
--旋光现象
-WEEK11--偏振光干涉、人工双折射和旋光
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--光子(续)
--光子(续2)
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-WEEK12--光电效应、光子和康普顿效应
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--物质波
--波函数
--波函数(续)
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--不确定关系
-WEEK12--不确定性关系
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--薛定谔方程
-WEEK12--薛定谔方程
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--一维无限深势阱
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-WEEK14--X射线、激光、分子光谱简介
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-WEEK14--固体电子气模型和量子统计
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-本周作业
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--Video
-WEEK15--半导体和PN结
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--Video
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