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自由电子气体模型在线视频

自由电子气体模型

下一节:量子统计

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自由电子气体模型课程教案、知识点、字幕

同学好

这节讲我们讲金属中

自由电子气体模型

在金属当中

离子是在晶格这些位置上

周期性排布的

那电子呢

就相当于在周期性的

库仑势场当中运动

为了看清这一点

我们举一个一维晶体的例子

这是一维晶体

离子在这些晶格位置上

它们之间的距离是a

就是晶格常数

我们来看一看

电子受到这个离子的电势能

那么很显然

受到它的这个电势能

我们可以用库仑定律计算出来

它是等于这个

这个曲线是这样的

那么电子受到

这个离子的库仑势能呢

它是这个 这条线

两个合起来就是这个势垒

因为它们是负值

所以它们合起来的结果是往下来

其他的这些晶格产生的势能呢

也都是一样

都是这样

所以这些势垒它是周期性的

电子在这个周期性的

库仑势场当中运动

因为电子的运动要

遵从量子力学规律

电子的能量是量子化的

这没问题

那么电子呢

在这个势垒当中 本来应该

可是在量子力学当中

我们还知道

电子可以通过势垒贯穿

从这个位置跑到这些位子

那么在量子力学前边

我们讲势垒贯穿的时候讲过

那么能量越高

越接近这个势垒的顶部的时候呢

它势垒贯穿的这个机率就大

所以顶部的这些电子

这些能量的电子

它比较容易在这个晶格当中

跑来跑去

归纳一下

有两个重要结论

一是由于周期性

库仑势场的作用

电子能量是量子化的

再一个就是

电子运动有隧道效应

能量低的在原子内层的电子叫蕊电子

能量高的

在原子外层的电子叫价电子

由于价电子的遂穿概率比较大

它在固体中可以跑来跑去

基本不固定属于哪个原子

也可以说这些电子轨道

互相重叠

所以叫共有化电子

研究发现

如果单考虑

金属中这些共有化电子

它们虽受到离子作用

和电子之间相互作用

但平均起来

可以近似认为是自由电子

金属表面对这些自由电子有约束

不让脱离

在数学上我们可以近似为

这些电子是在

无限深势阱中运动

金属表面是无限高势垒

这当然是理想化的简化模型

为了简便

考虑一个立方体形状金属

根据简化模型

共有化电子在金属中相当于在

势阱中运动

势作用为零

可以看做是自由电子

而金属表面的势垒

把电子约束在金属里面

因为金属中有很多价电子

假设有N个

都是限制在

立方体金属中的自由电子

我们也可以把它们看作是

装在立方体盒子里面的

自由电子气体

根据量子物理

无限深势阱中的

电子要满足边界上

波函数为零的条件

它等同于驻波条件

考虑x方向分量

电子波长的半整数倍

应该等于x方向势阱宽度

也可以用波矢x分量表示

这里的量都标上了x角标

同样的道理

对y和z分量有类似的结果

现在我们把这些波长都列出来

再根据动量与波长的关系

把动量的各个分量表示出来

电子在势阱中没有势能

只有动能

所以能量就是动能

把动量平方用上面式子计算出来

就得到能量公式

其中nx ny nz都是整数

我们把这些量称为量子数

括号内3个整数排列在一起

为一组量子数

代表这些量子数

所标记的电子状态

量子数给定

能量就给定

量子数是整数

能量也因此不连续变化

或者我们说

电子能量是量子化的

另外

不同的量子数有时对应相同的能量

比如 211 121和112状态

能量都相同

我们说它们是简并态

现在金属中有N个电子组成的气体

这些电子能量是怎么分布呢

这是N个电子按能量排布的问题

与原子内部电子排布问题类似

它应该满足能量最低

和泡利不相容原理

也就是

电子应该先填满能量最低的状态

或者说那些nx ny nz的平方和

最小的状态先被填充

如果不考虑自旋

每个状态只能填充一个电子

就这样一个一个往上填

在量子数空间

就是以nx ny nz

为坐标轴的空间

因为这些量子数是正的

所以我们只考虑第一象限

因为nx ny nz的平方和

相当于量子数空间

某个状态离原点的距离平方

它与能量成正比

所以在量子数空间

能量相同的状态

是在同一个球面上

电子最先填充能量最低状态

相当于在量子数空间

最先填充离原点最近的那些点

也就是电子是从

原点附近开始

一个球面接着一个向外填充

在量子数空间

当然是一个整数坐标点

对应一个电子状态

而某个体积内

整数坐标点的个数

与体积数其实是相当的

举个例子

边长为n个单位的立方体体积

当n很大的时候

基本等于n的立方

所以在量子数空间内

体积就等于状态数目

量子数空间有时也叫状态空间

考虑电子自旋的话

由于电子自旋1/2

可以有自旋向上

和自旋向下两个状态

所以在nx ny nz 状态上

可以占据

自旋向上和向下的两个电子

这样

小于某个能量E的状态数目

或者说

电子可以占据的数目应该是

量子数空间

第一象限上1/8球体积乘以2

这里这个2就是因为电子自旋有两个态

而半径R是量子数空间上

和能量E对应的半径

前面已经给出来过

假如电子从低到高

按能量占据可能的状态

电子填充的最高能量叫费米能量

假设电子总数是N的话

可以容易得到

N与费米能量之间的关系

也可以把费米能量直接表示出来

其中n是金属内电子数密度

如果把铜内电子数密度代进去

可以估算出

铜的费米能量大概是7电子伏特

下面呢我们讨论

能量在E到E+dE这个区间

电子的数目占

总电子数目的百分比

怎么计算

我们先看一看

能量在E到E+dE这个区间的

状态数应该有多少

前边我们给出过一个公式

计算什么呢

能量小于某个值的

那个状态数我们知道的

那么这个之间的这个状态数呢

就算它们俩的差值就行了

就是能量小于E+dE的状态数目

减去能量小于

E的这个状态数目不就是

处在这个之间的这个状态数嘛

可是这个刚好就是什么呢

是微分 对吧

因为电子是按能量规则的

从低向高排列的

因为泡利不相容原理

一个状态只能有一个电子

所以呢

当能量小于费米能量的时候

这个费米能量

当然前边我们提到过

小于这个费米能量的时候呢

每个状态都有电子

大于费米能量呢

没有电子

那些状态是没有电子的

那么小于费米能量的时候啊

状态数目就等于

电子的数目 对吧

那么前边呢

已经给过了状态数目

所以这个时候这个就是

小于能量E的电子数目

它跟总电子数目的百分比

因为总的电子数目当然是

它是小于费米能量的

那个状态的状态数

所以我们拿这两个式子

前边给出来两个式子

比一下我们得到这么一个结果

对这个式子做一下微分

我们就给出了

能量在E到E+dE这个区间的

电子数目

当然这个有条件的

它是能量小于

费米能量的时候的这么一个结果

能量大于费米能量的时候呢

那个时候没有电子

所以它是等于零的

那么利用这个式子呢

我们还可以计算

速率在

v到v+dv这个区间的电子数

占总电子数目的百分比

怎么做呢

因为在这个金属里边

这个电子是自由电子

所以它的能量就是动能

相应的我们还会给出这个

费米速率

它是对应于这个费米能量的

那么速率在这个区间的

电子数目我们怎么计算呢

我们可以利用这个式子来计算

只要把这个里边的能量

用这个速率代进去就行了

那么你把这个结果代到这里边

化一化

我们就得出这么一个结果

当然这是

速率小于费米速率的这个情况

速率大于费米速率的情况

当然是没有电子的

所以它是等于零

那么这个其实可以用

速率分布函数来表示

那么根据

刚才我们导出来的结果

这里边的所谓的速率分布函数

其实是这么一个东西 对吧

那么这个呢

和我们在热学里边讲过的

麦克斯韦速率分布函数

那个意义是差不多

虽然形式不一样

另外 那里边有温度参量

这里边没有温度参量

有温度参量的情况呢

我们后边在量子统计里边

会给简单的介绍

那么有了这个速率分布函数

当然我们就可以计算

比如说平均速率 对吧

平均速率当然很容易计算

用这个式子

计算并不复杂

得出来结果呢

大致是3/4的费米速率

前边呢我们估算过

在铜里边电子的费米能量

大概是七个电子伏特

那么根据这个结果呢

我们也可以估算出来

在铜里边电子的费米速率

费米速率大概是160万米每秒

这是非常非常快的

我们通常说

金属里边电子运动速度的时候

我们说这是电子的热运动速度

其实这个并不正确

你看这里边并不涉及温度

并不涉及热运动

那么这么高的运动速度哪来的呢

你回想一下

我们推导的这个过程你就会知道

实际上它是因为泡利不相容原理

电子是从能量最低的状态

往上排布 对吧

电子数目很多呀

在铜里边电子数目很多

所以你排到上边的时候

那个电子的能量

就已经非常非常高了

它所对应的速度当然就非常快

是这么一个结果

下面我们再讨论一个

非常重要的一个概念就是态密度

那么什么是态密度呢

就是单位体积内

能量在E到E+dE这个区间的

单位能量间隔的状态数

那么根据这个定义呢

我们可以用数学式子表示出来

那么这个呢

能量小于E的这个状态数

我们是知道的

所以它对能量的导数

我们可以计算出来

那么除以它的体积的话

就是这个态密度

把前面我们已经

给出来的结果代进来

你稍微耐心一点

你就可以推导出来这么一个结果

那么能量在

E到E+dE这个区间的

电子数密度我们怎么计算呢

很显然

能量小于费米能量的时候

每个状态有一个电子

所以状态数就等于电子数

所以呢

我们有这样的一个结果

就是当能量小于

费米能量的时候呢

电子数密度

就等于态密度乘上dE

这个能量间隔

大于这个能量的时候呢

当然那个时候没有电子

所以它是等于零的

好 这节内容就讲到这儿

谢谢

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WEEK1

-电荷和库仑定律

--引言

--电荷

--库仑定律

-WEEK1--电荷和库仑定律

-电场及叠加原理,电偶极子

--电场和电场强度

--点电荷电场及叠加原理

--点电荷电场及叠加原理(续1)

--点电荷电场及叠加原理(续2)

--点电荷电场及叠加原理(续3)

-WEEK1--电场及叠加原理,电偶极子

-高斯定律

--电通量

--立体角*

--高斯定律的证明*

--高斯定律和电场线

--高斯定律的应用

--高斯定律的应用(续)

-WEEK1--高斯定律

-WEEK1--本周作业

-week1课件

WEEK2

-静电场环路定理、电势和叠加原理

--环路定理

--电势和叠加原理

--电势和叠加原理(续)

--电势梯度

--等势面

-WEEK2--静电场环路定理、电势和叠加原理

-静电能

--电荷系静电能

--电荷系静电能(续1)

--电荷系静电能(续2)

-WEEK2--静电能

-导体静电平衡

--物质中电场

--导体静电平衡

--导体静电平衡条件(续1)

--导体静电平衡条件(续2)

-WEEK2--导体静电平衡

-WEEK2--本周作业

-week2课件

WEEK3

-导体周围电场

--有导体时静电场的计算

--有导体时静电场的计算(续)

-WEEK3--导体周围电场

-静电屏蔽

--导体壳与静电屏蔽

-WEEK3--静电屏蔽

-电容及电容器

--电容及电容器

--电容及电容器(续)

-WEEK3--电容及电容器

-电介质

--介质对电场的影响

-WEEK3--电介质

-极化强度矢量,极化电荷

--极化强度

--极化电荷

-WEEK3--极化强度矢量,极化电荷

-WEEK3--本周作业

-week3课件

WEEK4

-极化规律、电位移矢量

--电介质的极化规律

--电介质的极化规律(续)

--电位移矢量及其应用

--电位移矢量及其应用(续)

-WEEK4--极化规律、电位移矢量

-有介质时静电场能量

--有介质时静电场能量

-WEEK4--有介质时静电场能量

-电流密度、稳恒电流和稳恒电场

--电流密度

--稳恒电流和稳恒电场

-WEEK4--电流密度、稳恒电流和稳恒电场

-电动势、欧姆定律的微分形式及基尔霍夫定律

--电动势

--欧姆定律

--欧姆定律(续)

-WEEK4--电动势、欧姆定律的微分形式及基尔霍夫定律

-电流微观图像和暂态过程

--电流微观图像

--电容器的充放电(暂态过程)*

-WEEK4--电流微观图像和暂态过程

-本周作业

--week4--本周作业

-week4课件

WEEK5

-洛仑兹力、磁感应强度

--电流磁效应

--磁场和磁感应强度

-WEEK5--洛仑兹力、磁感应强度

-毕-萨-拉定律、磁场叠加原理和磁场高斯定理

--毕-萨-拉定律

--毕-萨-拉定律(续)

--磁场高斯定律

-WEEK5--毕-萨-拉定律、磁场叠加原理和磁场高斯定理

-静磁场环路定理

--安培环路定理及其应用

--安培环路定理及其应用(续1)

--安培环路定理及其应用(续2)

-WEEK5--静磁场环路定理

-安培力和霍尔效应

--带电粒子在磁场中的运动

--霍尔效应

--安培力

-WEEK5--安培力和霍尔效应

-WEEK5--本周作业

-week5课件

WEEK6

-载流线圈在均匀磁场中受的磁力矩、磁矩

--载流线圈在均匀磁场中受的磁力矩

-WEEK6--载流线圈在均匀磁场中受的磁力矩、磁矩

-磁介质对磁场的影响和原子磁矩

--磁场中的磁介质

--原子的磁矩

-WEEK6--磁介质对磁场的影响和原子磁矩

-磁化强度矢量、磁化电流和磁场强度H及其环路定理

--磁介质的磁化

--磁化电流

--有磁介质时磁化的规律

-WEEK6--磁化强度矢量、磁化电流和磁场强度H及其环路定理

-WEEK6--本周作业

-week6课件

WEEK7

-铁磁介质和简单磁路

--磁场的界面关系

--铁磁性材料

-WEEK7--铁磁介质和简单磁路

-法拉第电磁感应定律

--法拉第电磁感应定律

--电磁感应定律和磁通连续定理的普适性

-WEEK7--法拉第电磁感应定律

-动生电动势和感生电动势、感生电场和涡流

--动生电动势

--感生电动势和感生电场

--涡电流

-WEEK7--动生电动势和感生电动势、感生电场和涡流

-自感和互感

--自感

--互感

-WEEK7--自感和互感

-WEEK7--本周作业

-week7课件

WEEK8

-暂态过程和磁场能量

--RL电路的暂态过程

--磁场的能量

-磁场和电场的相对性

--电场和磁场的相对性

-位移电流和麦克斯韦方程组

--麦克斯韦方程组和电磁波

--麦克斯韦方程组

-WEEK8--位移电流和麦克斯韦方程组

-电磁波、坡因廷矢量和光压

--电磁波

--坡印廷矢量

--电磁波的动量

--光压——辐射压强

-本周作业

--week8--本周作业

-week8课件

WEEK9

-波动光学—引言

--波动光学——引言

-WEEK9--波动光学—引言

-杨氏双缝干涉、相干光

--光的干涉

--双缝干涉

-WEEK9--杨氏双缝干涉、相干光

-光源及发光性质

--光源的发光特性

--时间相干性

--空间相干性

-WEEK9--光源及发光性质

-光程、等倾和等厚干涉

--光程

--薄膜干涉(一)

--薄膜干涉(二)

-WEEK9--光程、等倾和等厚干涉

-迈克耳逊干涉仪

--迈克耳逊干涉仪

-WEEK9--本周作业

-week9课件

WEEK10

-衍射现象、单缝夫琅禾费衍射

--惠更斯原理

--单缝夫琅禾费衍射

--单缝夫琅禾费衍射(续)

-WEEK10--衍射现象、单缝夫琅禾费衍射

-光栅衍射

--光栅衍射

--光栅衍射(续)

-WEEK10--光栅衍射

-光学仪器分辨本领

--光学仪器的分辨本领

--光学仪器的分辨本领(续)

-WEEK10--光学仪器分辨本领

-X射线晶体衍射

--X射线的衍射

-WEEK10--X射线晶体衍射

-WEEK10--本周作业

-week10课件

WEEK11

-光的偏振状态和偏振片

--光的偏振状态

--光的偏振状态(续)

--起偏和检偏

-WEEK11--光的偏振状态和偏振片

-反射和折射光偏振

--反射和折射及散射光的偏振

-WEEK11--反射和折射光偏振

-晶体双折射、波片

--双折射

--双折射(续)

--波片

-WEEK11--晶体双折射、波片

-偏振光干涉、人工双折射和旋光

--偏振光的干涉

--人工双折射

--旋光现象

-WEEK11--偏振光干涉、人工双折射和旋光

-量子物理诞生和黑体辐射

--量子物理

--黑体辐射

-WEEK11--量子物理诞生和黑体辐射

-WEEK11--本周作业

-week11课件

WEEK12

-光电效应、光子和康普顿效应

--光电效应

--光子

--光子(续)

--光子(续2)

--康普顿效应

-WEEK12--光电效应、光子和康普顿效应

-物质波、波函数和概率密度

--物质波

--波函数

--波函数(续)

-WEEK12--物质波、波函数和概率密度

-不确定性关系

--不确定关系

-WEEK12--不确定性关系

-薛定谔方程

--薛定谔方程

-WEEK12--薛定谔方程

-一维无限深势阱

--一维无限深势阱

-WEEK12--一维无限深势阱

-WEEK12--本周作业

-week12课件

WEEK13

-一维问题

--一维谐振子

--势垒穿透

--扫描隧道显微镜

-WEEK13--一维问题

-氢原子能级和角动量

--原子中的电子

--玻尔理论发展的基础

--氢原子的量子力学处理

--能量量子化

-WEEK13--氢原子能级和角动量

-电子自旋、费米子和泡利不相容原理

--电子自旋与自旋轨道耦合

--碱金属原子光谱的双线

--微观粒子的不可分辨性

--各种原子核外电子排布

-WEEK13--电子自旋、费米子和泡利不相容原理

-WEEK13--本周作业

-week13

WEEK14

-X射线、激光、分子光谱简介

--video

--Video

--分子光谱简介

--激光

--光学谐振腔

-WEEK14--X射线、激光、分子光谱简介

-固体电子气模型和量子统计

--固体

--自由电子气体模型

--量子统计

-WEEK14--固体电子气模型和量子统计

-能带模型

--能带

-能带模型--作业

-本周作业

--WEEK14--本周作业

-week14

WEEK15

-半导体和PN结

--Video

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-WEEK15--半导体和PN结

-原子核性质、核磁共振

--Video

--Video

--Video

-WEEK15--原子核性质、核磁共振

-放射性和衰变规律

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--α衰变

--穆斯堡尔效应

--β衰变

-WEEK15--放射性和衰变规律

-结合能、核力

--核的结合能

--核力

-WEEK15--结合能、核力

-粒子物理简介

--基本粒子

-WEEK15--粒子物理简介

-本周作业

--WEEK15--本周作业

-week15课件

期末考试

-期末考试--期末考试题Part1

-期末考试--期末考试Part2

-期末考试--期末考试Part3

自由电子气体模型笔记与讨论

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