当前课程知识点:大学物理2 (电磁学、光学和量子物理) > WEEK14 > 固体电子气模型和量子统计 > 自由电子气体模型
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同学好
这节讲我们讲金属中
自由电子气体模型
在金属当中
离子是在晶格这些位置上
周期性排布的
那电子呢
就相当于在周期性的
库仑势场当中运动
为了看清这一点
我们举一个一维晶体的例子
这是一维晶体
离子在这些晶格位置上
它们之间的距离是a
就是晶格常数
我们来看一看
电子受到这个离子的电势能
那么很显然
受到它的这个电势能
我们可以用库仑定律计算出来
它是等于这个
这个曲线是这样的
那么电子受到
这个离子的库仑势能呢
它是这个 这条线
两个合起来就是这个势垒
因为它们是负值
所以它们合起来的结果是往下来
其他的这些晶格产生的势能呢
也都是一样
都是这样
所以这些势垒它是周期性的
电子在这个周期性的
库仑势场当中运动
因为电子的运动要
遵从量子力学规律
电子的能量是量子化的
这没问题
那么电子呢
在这个势垒当中 本来应该
可是在量子力学当中
我们还知道
电子可以通过势垒贯穿
从这个位置跑到这些位子
那么在量子力学前边
我们讲势垒贯穿的时候讲过
那么能量越高
越接近这个势垒的顶部的时候呢
它势垒贯穿的这个机率就大
所以顶部的这些电子
这些能量的电子
它比较容易在这个晶格当中
跑来跑去
归纳一下
有两个重要结论
一是由于周期性
库仑势场的作用
电子能量是量子化的
再一个就是
电子运动有隧道效应
能量低的在原子内层的电子叫蕊电子
能量高的
在原子外层的电子叫价电子
由于价电子的遂穿概率比较大
它在固体中可以跑来跑去
基本不固定属于哪个原子
也可以说这些电子轨道
互相重叠
所以叫共有化电子
研究发现
如果单考虑
金属中这些共有化电子
它们虽受到离子作用
和电子之间相互作用
但平均起来
可以近似认为是自由电子
金属表面对这些自由电子有约束
不让脱离
在数学上我们可以近似为
这些电子是在
无限深势阱中运动
金属表面是无限高势垒
这当然是理想化的简化模型
为了简便
考虑一个立方体形状金属
根据简化模型
共有化电子在金属中相当于在
势阱中运动
势作用为零
可以看做是自由电子
而金属表面的势垒
把电子约束在金属里面
因为金属中有很多价电子
假设有N个
都是限制在
立方体金属中的自由电子
我们也可以把它们看作是
装在立方体盒子里面的
自由电子气体
根据量子物理
无限深势阱中的
电子要满足边界上
波函数为零的条件
它等同于驻波条件
考虑x方向分量
电子波长的半整数倍
应该等于x方向势阱宽度
也可以用波矢x分量表示
这里的量都标上了x角标
同样的道理
对y和z分量有类似的结果
现在我们把这些波长都列出来
再根据动量与波长的关系
把动量的各个分量表示出来
电子在势阱中没有势能
只有动能
所以能量就是动能
把动量平方用上面式子计算出来
就得到能量公式
其中nx ny nz都是整数
我们把这些量称为量子数
括号内3个整数排列在一起
为一组量子数
代表这些量子数
所标记的电子状态
量子数给定
能量就给定
量子数是整数
能量也因此不连续变化
或者我们说
电子能量是量子化的
另外
不同的量子数有时对应相同的能量
比如 211 121和112状态
能量都相同
我们说它们是简并态
现在金属中有N个电子组成的气体
这些电子能量是怎么分布呢
这是N个电子按能量排布的问题
与原子内部电子排布问题类似
它应该满足能量最低
和泡利不相容原理
也就是
电子应该先填满能量最低的状态
或者说那些nx ny nz的平方和
最小的状态先被填充
如果不考虑自旋
每个状态只能填充一个电子
就这样一个一个往上填
在量子数空间
就是以nx ny nz
为坐标轴的空间
因为这些量子数是正的
所以我们只考虑第一象限
因为nx ny nz的平方和
相当于量子数空间
某个状态离原点的距离平方
它与能量成正比
所以在量子数空间
能量相同的状态
是在同一个球面上
电子最先填充能量最低状态
相当于在量子数空间
最先填充离原点最近的那些点
也就是电子是从
原点附近开始
一个球面接着一个向外填充
在量子数空间
当然是一个整数坐标点
对应一个电子状态
而某个体积内
整数坐标点的个数
与体积数其实是相当的
举个例子
边长为n个单位的立方体体积
当n很大的时候
基本等于n的立方
所以在量子数空间内
体积就等于状态数目
量子数空间有时也叫状态空间
考虑电子自旋的话
由于电子自旋1/2
可以有自旋向上
和自旋向下两个状态
所以在nx ny nz 状态上
可以占据
自旋向上和向下的两个电子
这样
小于某个能量E的状态数目
或者说
电子可以占据的数目应该是
量子数空间
第一象限上1/8球体积乘以2
这里这个2就是因为电子自旋有两个态
而半径R是量子数空间上
和能量E对应的半径
前面已经给出来过
假如电子从低到高
按能量占据可能的状态
电子填充的最高能量叫费米能量
假设电子总数是N的话
可以容易得到
N与费米能量之间的关系
也可以把费米能量直接表示出来
其中n是金属内电子数密度
如果把铜内电子数密度代进去
可以估算出
铜的费米能量大概是7电子伏特
下面呢我们讨论
能量在E到E+dE这个区间
电子的数目占
总电子数目的百分比
怎么计算
我们先看一看
能量在E到E+dE这个区间的
状态数应该有多少
前边我们给出过一个公式
计算什么呢
能量小于某个值的
那个状态数我们知道的
那么这个之间的这个状态数呢
就算它们俩的差值就行了
就是能量小于E+dE的状态数目
减去能量小于
E的这个状态数目不就是
处在这个之间的这个状态数嘛
可是这个刚好就是什么呢
是微分 对吧
因为电子是按能量规则的
从低向高排列的
因为泡利不相容原理
一个状态只能有一个电子
所以呢
当能量小于费米能量的时候
这个费米能量
当然前边我们提到过
小于这个费米能量的时候呢
每个状态都有电子
大于费米能量呢
没有电子
那些状态是没有电子的
那么小于费米能量的时候啊
状态数目就等于
电子的数目 对吧
那么前边呢
已经给过了状态数目
所以这个时候这个就是
小于能量E的电子数目
它跟总电子数目的百分比
因为总的电子数目当然是
它是小于费米能量的
那个状态的状态数
所以我们拿这两个式子
前边给出来两个式子
比一下我们得到这么一个结果
对这个式子做一下微分
我们就给出了
能量在E到E+dE这个区间的
电子数目
当然这个有条件的
它是能量小于
费米能量的时候的这么一个结果
能量大于费米能量的时候呢
那个时候没有电子
所以它是等于零的
那么利用这个式子呢
我们还可以计算
速率在
v到v+dv这个区间的电子数
占总电子数目的百分比
怎么做呢
因为在这个金属里边
这个电子是自由电子
所以它的能量就是动能
相应的我们还会给出这个
费米速率
它是对应于这个费米能量的
那么速率在这个区间的
电子数目我们怎么计算呢
我们可以利用这个式子来计算
只要把这个里边的能量
用这个速率代进去就行了
那么你把这个结果代到这里边
化一化
我们就得出这么一个结果
当然这是
速率小于费米速率的这个情况
速率大于费米速率的情况
当然是没有电子的
所以它是等于零
那么这个其实可以用
速率分布函数来表示
那么根据
刚才我们导出来的结果
这里边的所谓的速率分布函数
其实是这么一个东西 对吧
那么这个呢
和我们在热学里边讲过的
麦克斯韦速率分布函数
那个意义是差不多
虽然形式不一样
另外 那里边有温度参量
这里边没有温度参量
有温度参量的情况呢
我们后边在量子统计里边
会给简单的介绍
那么有了这个速率分布函数
当然我们就可以计算
比如说平均速率 对吧
平均速率当然很容易计算
用这个式子
计算并不复杂
得出来结果呢
大致是3/4的费米速率
前边呢我们估算过
在铜里边电子的费米能量
大概是七个电子伏特
那么根据这个结果呢
我们也可以估算出来
在铜里边电子的费米速率
费米速率大概是160万米每秒
这是非常非常快的
我们通常说
金属里边电子运动速度的时候
我们说这是电子的热运动速度
其实这个并不正确
你看这里边并不涉及温度
并不涉及热运动
那么这么高的运动速度哪来的呢
你回想一下
我们推导的这个过程你就会知道
实际上它是因为泡利不相容原理
电子是从能量最低的状态
往上排布 对吧
电子数目很多呀
在铜里边电子数目很多
所以你排到上边的时候
那个电子的能量
就已经非常非常高了
它所对应的速度当然就非常快
是这么一个结果
下面我们再讨论一个
非常重要的一个概念就是态密度
那么什么是态密度呢
就是单位体积内
能量在E到E+dE这个区间的
单位能量间隔的状态数
那么根据这个定义呢
我们可以用数学式子表示出来
那么这个呢
能量小于E的这个状态数
我们是知道的
所以它对能量的导数
我们可以计算出来
那么除以它的体积的话
就是这个态密度
把前面我们已经
给出来的结果代进来
你稍微耐心一点
你就可以推导出来这么一个结果
那么能量在
E到E+dE这个区间的
电子数密度我们怎么计算呢
很显然
能量小于费米能量的时候
每个状态有一个电子
所以状态数就等于电子数
所以呢
我们有这样的一个结果
就是当能量小于
费米能量的时候呢
电子数密度
就等于态密度乘上dE
这个能量间隔
大于这个能量的时候呢
当然那个时候没有电子
所以它是等于零的
好 这节内容就讲到这儿
谢谢
-电荷和库仑定律
--引言
--电荷
--库仑定律
-WEEK1--电荷和库仑定律
-电场及叠加原理,电偶极子
--电场和电场强度
-WEEK1--电场及叠加原理,电偶极子
-高斯定律
--电通量
--立体角*
--高斯定律的证明*
--高斯定律和电场线
--高斯定律的应用
-WEEK1--高斯定律
-WEEK1--本周作业
-静电场环路定理、电势和叠加原理
--环路定理
--电势和叠加原理
--电势梯度
--等势面
-WEEK2--静电场环路定理、电势和叠加原理
-静电能
--电荷系静电能
-WEEK2--静电能
-导体静电平衡
--物质中电场
--导体静电平衡
-WEEK2--导体静电平衡
-WEEK2--本周作业
-导体周围电场
-WEEK3--导体周围电场
-静电屏蔽
--导体壳与静电屏蔽
-WEEK3--静电屏蔽
-电容及电容器
--电容及电容器
-WEEK3--电容及电容器
-电介质
--介质对电场的影响
-WEEK3--电介质
-极化强度矢量,极化电荷
--极化强度
--极化电荷
-WEEK3--极化强度矢量,极化电荷
-WEEK3--本周作业
-极化规律、电位移矢量
--电介质的极化规律
-WEEK4--极化规律、电位移矢量
-有介质时静电场能量
-WEEK4--有介质时静电场能量
-电流密度、稳恒电流和稳恒电场
--电流密度
-WEEK4--电流密度、稳恒电流和稳恒电场
-电动势、欧姆定律的微分形式及基尔霍夫定律
--电动势
--欧姆定律
--欧姆定律(续)
-WEEK4--电动势、欧姆定律的微分形式及基尔霍夫定律
-电流微观图像和暂态过程
--电流微观图像
-WEEK4--电流微观图像和暂态过程
-本周作业
--week4--本周作业
-洛仑兹力、磁感应强度
--电流磁效应
--磁场和磁感应强度
-WEEK5--洛仑兹力、磁感应强度
-毕-萨-拉定律、磁场叠加原理和磁场高斯定理
--毕-萨-拉定律
--磁场高斯定律
-WEEK5--毕-萨-拉定律、磁场叠加原理和磁场高斯定理
-静磁场环路定理
-WEEK5--静磁场环路定理
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--霍尔效应
--安培力
-WEEK5--安培力和霍尔效应
-WEEK5--本周作业
-载流线圈在均匀磁场中受的磁力矩、磁矩
-WEEK6--载流线圈在均匀磁场中受的磁力矩、磁矩
-磁介质对磁场的影响和原子磁矩
--磁场中的磁介质
--原子的磁矩
-WEEK6--磁介质对磁场的影响和原子磁矩
-磁化强度矢量、磁化电流和磁场强度H及其环路定理
--磁介质的磁化
--磁化电流
-WEEK6--磁化强度矢量、磁化电流和磁场强度H及其环路定理
-WEEK6--本周作业
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--磁场的界面关系
--铁磁性材料
-WEEK7--铁磁介质和简单磁路
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-WEEK7--法拉第电磁感应定律
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--动生电动势
--涡电流
-WEEK7--动生电动势和感生电动势、感生电场和涡流
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--自感
--互感
-WEEK7--自感和互感
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--磁场的能量
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--麦克斯韦方程组
-WEEK8--位移电流和麦克斯韦方程组
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--电磁波
--坡印廷矢量
--电磁波的动量
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-本周作业
--week8--本周作业
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--波动光学——引言
-WEEK9--波动光学—引言
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--双缝干涉
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--迈克耳逊干涉仪
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