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安培环路定理及其应用(续2)

下一节:带电粒子在磁场中的运动

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安培环路定理及其应用(续2)课程教案、知识点、字幕

同学好

我们接着讲安培环路定理及其应用

这一节我们给出安培环路定理的证明

注意这是打双星号的内容

我们这节证明跟赵凯华 陈熙谋

电磁学书上的证明差不多

但是不太一样

我们先考虑一个电流回路的情况

就是说只有一个电流回路

这个时候你给出来的一个

闭合环路上的磁感应强度的积分

我们分两种情况

一种假如它俩不套连的话

当然是等于0的

如果是套连的话呢

那么还得看套连是怎么套连的

比如说你这个回路这样的时候

我用右手螺旋规定一个方向

这个方向

那么假如电流穿过以这个闭合回路为边界的

一个口袋面的时候

这个电流穿过那个面的时候

你这个方向是

跟我右手螺旋规定的方向一致的时候

它是正号否则用负号

它是这样的

下面我们开始证明这件事情

假设这一个回路上

我取了一个电流元

用dl1这么一个小的线元表示

这个环路上的线元呢

积分线元是用dl来表示

那么这个时候这个小电流元

在这个位置上

当然它从这到这的矢径是r

产生的磁感应强度

我们可以用毕萨拉定理来计算

用毕萨拉定理计算是这个

那么如果我把整个回路上

电流元全部叠加起来

叠加起来的话就是

整个电流回路在这点产生的

磁感应强度

然后对dl求积分的话

不就是

这个磁感应强度沿着这个闭合环路的积分吗

下面我把这里边这个东西呢

可以改写成下面的形式

这种改写

当然这是常量

所以可以提到积分号外边这不用说

可是里面的这些变量呢

我们用了这样一个矢量公式

很容易把它改写成这个形式

这个形式你看一看

dl差上dl1

这个什么东西呢

现在我把这个dl1拿到这个上面

这个时候dl差上dl1

就实际上是这个小平行四边形的面元

它既有面积就是平行四边形的面积

又有方向方向是用右手螺旋来确定的

那么这个小面元对a这一点

就是这个电流元这一点

它所张的立体角实际上就是这个

现在我这个公式写下来的时候

积分顺序也给改了

先对整个环路做一下积分

那么对于这整个环路做积分的话

其实这一小片一片呢

就连成了一个带 环形的带

就是你这个环路L

整体平移了dl1的时候

所扫出来的那个带

那个带对这个电流元

所张的立体角这个是 对吧

那么这个立体角呢

你也可以认为它是这么形成的

就是我以这个闭合回路

就是我要积分的那个闭合回路为边界

然后做一个帽子

那么这个就是叫帽子面

这个帽子当然还要通过

你刚才平移dl1的时候那个环路

也要通过它

这个时候呢这里是用蓝色的线标记的

那实际上你刚才所说的

因为你这个环平移

扫出来的那个带的面积

其实是什么呢

是以红色的原来那个环路为边界

的那个帽子

和以蓝色为边界的那个帽子的差值

对不对 那个差值就是这个

刚才扫出来的那个带

它对这个这点所张的立体角

实际上你也可以认为是

以红色的这个闭合曲面

为边界的那个帽子

对于这个电流元所张的立体角

和以蓝色的闭合曲线

为边界的那个帽子

对这一点所张立体角的差值 对不对

所以我可以把这个式子写成

立体角差值的这么一个求和

我刚才是对某一个电流元

算了这个立体角的差

那么你这个积分

是沿着整个电流回路的

那么这里边有好多个电流元

对每一个电流元都要求和

就是这么个意思

那我们看看这个求和怎么做呢

积分是从a点开始 对吧

那么对a点来说

这个带状的这个面

它所张的立体角

可以写成两部分差值

其中一个这是a红

这个立体角就表示以红色的

这个闭合曲线为边界的那个帽子面

对这个电流源

或者对a点所张的立体角

那么这里边Ωa蓝

它是表示用蓝色的闭合曲线

作为边界的那个帽子面

对这个a点所张的立体角

那它们俩的差值

就是带子 这个面

对这个a点所张的立体角

那么再积分一步就到了b点

那么b点也同样有这样的结果对吧

你也可以写成这样的形式

再积分一步跑到C点了

同样有这样的式子

你一步一步接着过来

直到把整个圆环都求和了

这个时候呢

每一点都有类似的形式

那么刚才这个积分呢

实际上就是求和的意思

那么这个求和的时候呢

我们注意到

你看Ωa红和Ωb蓝

其实它们俩是一样的

怎么看出来的呢

因为从a点到b点是

dl1的一个移动对吧

而红色的这个曲线和蓝色的曲线

整体也是以dl1的平移

所以你这里边呢

Ωb蓝其实是Ωa红这个的一个平移

那你可能说

平移以后这个帽子面

蓝色的曲线为边界的

可能帽子面少一点对吧

因为这个多了一块

那么这块呢

其实是不影响立体角的大小的

我们给一个简单的说明

假设有一点

然后有一个闭合曲线

以闭合曲线为边界的有一个面

就是帽子面

那么这个帽子面

对这一点所张的立体角

实际上和帽子面稍大一点的

同样是以这个原来的这个闭合曲线

为边界的那个帽子面

所张立体角是一样的

为什么呢

因为假如我在这补一个

帽子面的话

整个这一个闭合曲面

对这一点所张的立体角总是等于0

可是这一侧的帽子面是固定的

你这侧的帽子面大一点小一点

整个一个闭合曲面对这点所张的立体角

总是等于0

所以对固定一点

某一个闭合曲线为边界的一个帽子面

这个帽子面大一点小一点

对这点所张的立体角它是一样的

所以说这里面以红色的闭合曲线

为边界的这个帽子面

对a点所张的立体角

和以蓝色的闭合曲线这个为边界

所画的这个帽子面

对b点所张的立体角

其实是一样的对吧

所以它们求和的时候可以消掉

同样的b点的这个和这个

c点的这个也会消掉

那么一个一个消掉的结果

最后会留下来

最后一点a'和a点

就这两个结果

那么对于这个电流环和这个闭合环路

不套连的情况会怎么样呢

就是你们现在看到的这个情况

不套连的结果就是

从a'点到a点

其实也是dl1的这个位移对吧

那么Ωa'红相当于什么呢

你看这红的向蓝的这个线平移dl1

而a是从a'平移dl1

所以整个这两个其实就是

一个平移的结果对吧

当然这个帽子面稍微大小不一样

刚才我们解释了

那个不影响立体角的大小

所以这两个立体角其实是一样的

所以它俩的差值应该等于0

那么假如说电流环和闭合曲线

套连的情况会怎么样呢

积分是从a点出发然后转转转

最后到了a'点

再从a'点到a点的话

整个闭合回路的积分就完成了

那么这个过程当中

实际上我们就要用到

这个闭合回路

以dl1平移的那个蓝色的闭合曲线对吧

那么刚才我们前面的那些

讨论的公式没有什么变化对吧

所以这个式子依然是成立的

不过为了看清楚

我们这个a点出发点

和最后快要结束的那个a'点的那个情况

我们把侧面的图在这里面给出来

侧面看的话呢 a点出发

然后转一圈回过来到a'点

那么这个红色的这个闭合曲线呢

就是磁感应强度

要积分的那个闭合回路

就是这个闭合回路

那这里边这个蓝色的闭合曲线呢

就是平移dl1

得到的那个闭合曲线

上面呢这是帽子面

现在a点是从帽子面的这一侧出发

做积分

一直到了a'这一点

那么你看以蓝色的这个闭合曲线

为边界画的这个帽子面

和以红色的这个闭合曲线

为边界画的这个帽子面

就差一点对不对 差一点帽沿

那么这一点

实际上是以dl1这个小的位移产生的

那么dl1是很小的位移

所以这部分是可以忽略的

所以你在这里对a点或者a'点

讲这个立体角的时候

你可以完全用同一个曲面来代替

用一个曲面

就是这个曲面也好

这个曲面也好 其实是一个曲面

那么这个时候呢

这两个差值就可以写成

分别都是对同一个曲面

所张的立体角的差值

那现在a点和a'点

它是分别在这个曲面的两侧

刚才我们讲有个约定

按照这个情况来说

你这个闭合曲线的右手螺旋方向

不是这个方向吗

那么这个方向实际上是

和这些方向是指向同一侧的对不对

所以在这些小面元上

正方向是这个方向

现在我们在这里边补一个曲面

让它变成一个闭合曲面

闭合曲面的时候

我们有个规定

就是向外的这个方向为正方向

那刚才我们这个约定

和我们这个闭合曲面的正方向的约定

在这个面上是一致的对吧

那现在我们来看一下

对a'来说这个闭合曲面

对它张的立体角4π我们知道

可是对a点所张的立体角

因为a点在这个闭合局面外边

所以它是等于0的

那么这里边这个红色的面

对a点所张的立体角的负值

其实刚好就是等于

蓝色的这个面对a点所张的立体角

对蓝色的这个曲面来说

a'点和a点其实是在同一点 为什么呢

因为a'和a点是非常非常靠近的

所以说呢其实

你这个蓝色面对a点所张的立体角

也是这个蓝色面对a'点所张的立体角

那么这个式子其实也是

红色的这个面对a'所张的立体角

加上蓝色的这个面

对a'所张的立体角

那这个不就是等于4π吗

把这个值

带入到刚才环路积分那个式子里边

我们就得到了它是等于μ0I

那假如说你这个积分

方向是换一个方向的话

当然这个结果就会出现一个负值了

那么我们刚才证明过程当中

这个是正还是负

跟我们用右手螺旋

规定的那个正方向的那个约定

是密切相关的

假如你有兴趣的话

你也可以

假设这个环路方向相反的时候

用同样的方法回去做一下证明

你看是不是能得到负的μ0I

那这样的话呢

我们对一个电流环产生的磁场的

闭合回路积分

那个环路定理也就证明了

对于多个电流回路

我们简单可以利用叠加原理

就可以证明它

假设这个环路积分

是多个电流回路产生的磁场

那么根据叠加原理

你可以写成每一个电流回路

产生磁场强度的求和

前边说求和是可以交换次序的

你可以先积分后求和

那么这个积分呢

刚好是单个电流回路情况的

环路积分

那这个我们刚才做过

它分两种情况

假如这个电流回路和闭合环路

不套连的话

那它是等于0的

套连的话它是等于μ0I

可是前面这个正负号

取决于右手螺旋那个约定

那把这个代入到里面呢

它就变成这个式子

就是磁感应强度的闭合环路积分呢

它是等于μ0乘上这个闭合环路上

所套过去的那个电流总数

套的这个正负号

是用右手螺旋那个约定来规定的

好 这节内容就讲到这儿

谢谢

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WEEK1

-电荷和库仑定律

--引言

--电荷

--库仑定律

-WEEK1--电荷和库仑定律

-电场及叠加原理,电偶极子

--电场和电场强度

--点电荷电场及叠加原理

--点电荷电场及叠加原理(续1)

--点电荷电场及叠加原理(续2)

--点电荷电场及叠加原理(续3)

-WEEK1--电场及叠加原理,电偶极子

-高斯定律

--电通量

--立体角*

--高斯定律的证明*

--高斯定律和电场线

--高斯定律的应用

--高斯定律的应用(续)

-WEEK1--高斯定律

-WEEK1--本周作业

-week1课件

WEEK2

-静电场环路定理、电势和叠加原理

--环路定理

--电势和叠加原理

--电势和叠加原理(续)

--电势梯度

--等势面

-WEEK2--静电场环路定理、电势和叠加原理

-静电能

--电荷系静电能

--电荷系静电能(续1)

--电荷系静电能(续2)

-WEEK2--静电能

-导体静电平衡

--物质中电场

--导体静电平衡

--导体静电平衡条件(续1)

--导体静电平衡条件(续2)

-WEEK2--导体静电平衡

-WEEK2--本周作业

-week2课件

WEEK3

-导体周围电场

--有导体时静电场的计算

--有导体时静电场的计算(续)

-WEEK3--导体周围电场

-静电屏蔽

--导体壳与静电屏蔽

-WEEK3--静电屏蔽

-电容及电容器

--电容及电容器

--电容及电容器(续)

-WEEK3--电容及电容器

-电介质

--介质对电场的影响

-WEEK3--电介质

-极化强度矢量,极化电荷

--极化强度

--极化电荷

-WEEK3--极化强度矢量,极化电荷

-WEEK3--本周作业

-week3课件

WEEK4

-极化规律、电位移矢量

--电介质的极化规律

--电介质的极化规律(续)

--电位移矢量及其应用

--电位移矢量及其应用(续)

-WEEK4--极化规律、电位移矢量

-有介质时静电场能量

--有介质时静电场能量

-WEEK4--有介质时静电场能量

-电流密度、稳恒电流和稳恒电场

--电流密度

--稳恒电流和稳恒电场

-WEEK4--电流密度、稳恒电流和稳恒电场

-电动势、欧姆定律的微分形式及基尔霍夫定律

--电动势

--欧姆定律

--欧姆定律(续)

-WEEK4--电动势、欧姆定律的微分形式及基尔霍夫定律

-电流微观图像和暂态过程

--电流微观图像

--电容器的充放电(暂态过程)*

-WEEK4--电流微观图像和暂态过程

-本周作业

--week4--本周作业

-week4课件

WEEK5

-洛仑兹力、磁感应强度

--电流磁效应

--磁场和磁感应强度

-WEEK5--洛仑兹力、磁感应强度

-毕-萨-拉定律、磁场叠加原理和磁场高斯定理

--毕-萨-拉定律

--毕-萨-拉定律(续)

--磁场高斯定律

-WEEK5--毕-萨-拉定律、磁场叠加原理和磁场高斯定理

-静磁场环路定理

--安培环路定理及其应用

--安培环路定理及其应用(续1)

--安培环路定理及其应用(续2)

-WEEK5--静磁场环路定理

-安培力和霍尔效应

--带电粒子在磁场中的运动

--霍尔效应

--安培力

-WEEK5--安培力和霍尔效应

-WEEK5--本周作业

-week5课件

WEEK6

-载流线圈在均匀磁场中受的磁力矩、磁矩

--载流线圈在均匀磁场中受的磁力矩

-WEEK6--载流线圈在均匀磁场中受的磁力矩、磁矩

-磁介质对磁场的影响和原子磁矩

--磁场中的磁介质

--原子的磁矩

-WEEK6--磁介质对磁场的影响和原子磁矩

-磁化强度矢量、磁化电流和磁场强度H及其环路定理

--磁介质的磁化

--磁化电流

--有磁介质时磁化的规律

-WEEK6--磁化强度矢量、磁化电流和磁场强度H及其环路定理

-WEEK6--本周作业

-week6课件

WEEK7

-铁磁介质和简单磁路

--磁场的界面关系

--铁磁性材料

-WEEK7--铁磁介质和简单磁路

-法拉第电磁感应定律

--法拉第电磁感应定律

--电磁感应定律和磁通连续定理的普适性

-WEEK7--法拉第电磁感应定律

-动生电动势和感生电动势、感生电场和涡流

--动生电动势

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-WEEK7--动生电动势和感生电动势、感生电场和涡流

-自感和互感

--自感

--互感

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-WEEK7--本周作业

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WEEK8

-暂态过程和磁场能量

--RL电路的暂态过程

--磁场的能量

-磁场和电场的相对性

--电场和磁场的相对性

-位移电流和麦克斯韦方程组

--麦克斯韦方程组和电磁波

--麦克斯韦方程组

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-电磁波、坡因廷矢量和光压

--电磁波

--坡印廷矢量

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WEEK9

-波动光学—引言

--波动光学——引言

-WEEK9--波动光学—引言

-杨氏双缝干涉、相干光

--光的干涉

--双缝干涉

-WEEK9--杨氏双缝干涉、相干光

-光源及发光性质

--光源的发光特性

--时间相干性

--空间相干性

-WEEK9--光源及发光性质

-光程、等倾和等厚干涉

--光程

--薄膜干涉(一)

--薄膜干涉(二)

-WEEK9--光程、等倾和等厚干涉

-迈克耳逊干涉仪

--迈克耳逊干涉仪

-WEEK9--本周作业

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WEEK10

-衍射现象、单缝夫琅禾费衍射

--惠更斯原理

--单缝夫琅禾费衍射

--单缝夫琅禾费衍射(续)

-WEEK10--衍射现象、单缝夫琅禾费衍射

-光栅衍射

--光栅衍射

--光栅衍射(续)

-WEEK10--光栅衍射

-光学仪器分辨本领

--光学仪器的分辨本领

--光学仪器的分辨本领(续)

-WEEK10--光学仪器分辨本领

-X射线晶体衍射

--X射线的衍射

-WEEK10--X射线晶体衍射

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WEEK11

-光的偏振状态和偏振片

--光的偏振状态

--光的偏振状态(续)

--起偏和检偏

-WEEK11--光的偏振状态和偏振片

-反射和折射光偏振

--反射和折射及散射光的偏振

-WEEK11--反射和折射光偏振

-晶体双折射、波片

--双折射

--双折射(续)

--波片

-WEEK11--晶体双折射、波片

-偏振光干涉、人工双折射和旋光

--偏振光的干涉

--人工双折射

--旋光现象

-WEEK11--偏振光干涉、人工双折射和旋光

-量子物理诞生和黑体辐射

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WEEK12

-光电效应、光子和康普顿效应

--光电效应

--光子

--光子(续)

--光子(续2)

--康普顿效应

-WEEK12--光电效应、光子和康普顿效应

-物质波、波函数和概率密度

--物质波

--波函数

--波函数(续)

-WEEK12--物质波、波函数和概率密度

-不确定性关系

--不确定关系

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-薛定谔方程

--薛定谔方程

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-一维无限深势阱

--一维无限深势阱

-WEEK12--一维无限深势阱

-WEEK12--本周作业

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WEEK13

-一维问题

--一维谐振子

--势垒穿透

--扫描隧道显微镜

-WEEK13--一维问题

-氢原子能级和角动量

--原子中的电子

--玻尔理论发展的基础

--氢原子的量子力学处理

--能量量子化

-WEEK13--氢原子能级和角动量

-电子自旋、费米子和泡利不相容原理

--电子自旋与自旋轨道耦合

--碱金属原子光谱的双线

--微观粒子的不可分辨性

--各种原子核外电子排布

-WEEK13--电子自旋、费米子和泡利不相容原理

-WEEK13--本周作业

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WEEK14

-X射线、激光、分子光谱简介

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--分子光谱简介

--激光

--光学谐振腔

-WEEK14--X射线、激光、分子光谱简介

-固体电子气模型和量子统计

--固体

--自由电子气体模型

--量子统计

-WEEK14--固体电子气模型和量子统计

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--能带

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-本周作业

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WEEK15

-半导体和PN结

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-原子核性质、核磁共振

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