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同学好
这一节我们讲
极化电荷与极化强度的关系
电介质在电场中极化
结果是每个分子都有一个平均电偶极矩
我们也可以用箭头
简单表示分子平均电偶极矩
我们现在考虑这样一个问题
假设电介质在电场中极化
这个极化不一定是均匀极化
所以我们看到 这些代表
分子电偶极矩的箭头
不是均匀排列的
电介质里面某个闭合曲面S内
有多少极化电荷呢
分子电偶极矩带等量的正负电荷
所以当这个电偶极矩
整体在曲面内的时候
正负电荷互相抵消
对曲面内电荷量的贡献是0
只有当这个电偶极矩穿过S面
一头在里面 另一头在外面的时候
才会对曲面内电荷量有贡献
穿过闭合曲面S的电偶极矩数目
有多少呢
在曲面S上取一个小面元dS
数穿过dS面元的电偶极矩数目
把所有穿过小面元的电偶极矩数目
加起来就可以了
下面我们就来计算
穿过dS面元的电偶极矩的数目
现在这个小面元很小
你可以认为这个附近的电场是均匀的
那么在这个均匀电场作用下
当然 在它附近
介质也是均匀极化的
那么假设 极化强度是P的话
那么它的方向
和电场的方向当然是一致
它跟这个面元的法线方向
假如说角度是θ
那么这个极化强度的意思
就是说 这里边每个分子
有一个平均的电偶极矩
这个电偶极矩
我们用这么一个图来表示
它的长度是δ
它的电荷是带q的
那么它和极化强度之间的关系
我们前面给过
它是 极化强度矢量
除以单位体积里边的分子个数
为了数 穿过这个
面元dS的电偶极矩数目
我现在做一个圆柱面
这个圆柱面长度
是平均电偶极矩的长度δ
用它来做个边长
底面和刚才这个面元面积是一样的
而且是平行的
刚才这个小面元刚好就在
这个圆柱体的中间
那么 穿过这个面元dS的电偶极矩
它的中心一定是在这个圆柱体里边
因为这个长度
就是平均电偶极矩长度
如果它的中心在里边的话
它一定会刺穿这个面元
如果它在外面的话
它就没有办法刺穿这个小面元了
那么这个穿过
面元dS的这个电偶极矩数目
其实就是这个圆柱体里边
电偶极矩数目
所以 穿过面元dS的电偶极矩的数目
就等于这个圆柱体里边分子的数目
那么这里边分子数目有多少呢
很简单 就是这个圆柱体的体积
乘上分子数密度 就行了
那么这个圆柱体的体积
当然很容易估算
就是边长乘上底面的面积
以及它们夹角的cos
那么如果我问
穿过这个面元dS的电荷有多少呢
当然就是这些电偶极矩的数目
再乘上带电量q就行了
可是 我们刚刚看到q乘上δ
刚好是平均电偶极矩的大小
你再乘上单位体积里边
这个分子数目的话
它刚好是极化强度的大小
所以 这个式子可以写成这种形式
考虑到这个极化强度和面元
法线方向之间的夹角 就是这个θ
所以你这个式子可以直接写成
极化强度和面元的点积
这个就是 穿过这个面元的
总的电荷数目
那么 一个闭合曲面内的
极化电荷我们怎么计算呢
对于一个小的面元来说
刚才我们给出了
穿过这个面元dS的电荷数我们知道了
那么留在这个面元里边的这些电荷
当然是刚才我们计算的那个负值
因为这个电偶极矩的头这边是带正电
尾部是带负电的
所以 留在这个面元后边的这些电荷
是这么一些
那么 很显然
整个曲面内极化电荷的数目
就是每一个小面元
对里边极化电荷
数目贡献的叠加 求和
所以我们简单把这个式子积分就行了
其实这个积分的含义就是求和的意思
那么从这个式子
我们也可以得到几个简单的推论
第一个是 均匀极化处没有束缚电荷
假如说这个地方是均匀极化的
那意思是说这个极化强度都是常矢量
假设它的方向是沿着z方向的
那么这个积分里边
这个极化强度当然是一个常量了
可以提到积分号外面
可是它的方向呢
不是沿着z方向吗
我们留在积分号里边
那么这个积分我们怎么计算呢
我们这样做
我们沿着z方向
取一个细长的柱体
那么这个时候
这个柱体在这个闭合曲面上
就会截下来 比如说 两块小面元
那这个面元和z方向的点积
其实就是 这个小细的
柱体的横截面积
可是考虑到 闭合曲面
法线方向是有规定的
向外的为正
所以这个柱体上的横截面积投影
其实是 在这一侧 它是正的
它是沿着z方向
可是在另一侧
它就是负的
大小都是这个小柱体的横截面积
所以这两侧 这个积分的贡献合在一块
是刚好抵消的
假设现在我对整个闭合曲面
做无数个这样细的圆柱体
把它分割了
那么结果是什么呢
结果是 截取出来的
上面的小面元的这些
在z方面的投影的和
俩俩抵消 结果是
总的积分也是等于0的 就是这样
那么既然均匀极化的时候
里面不能有极化电荷
那这些极化电荷
当然只能出现在表面上了
可是 如果非均匀极化的时候
这些极化电荷
有的时候也叫束缚电荷
因为这个极化电荷是不能
像自由电荷那样 加上电压以后
可以定向移动的
所以我们把它叫做束缚电荷
这时候
非均匀极化的时候束缚电荷
既可以分布在电介质的里边 内部
也可以分布在电介质的表面
下面我们计算
电介质表面极化面电荷密度
刚才 我们已经计算了
穿过某一个面元的
电偶极矩的那些电荷量
它是等于 这样的一个式子
现在假设这个小面元
刚好取在了这个电介质的表面上
这个时候
在这表面上的这个电荷量
除以面元的大小的话
不就是这个表面上的
面电荷密度吗
从这个式子里面 你很容易得到
这个面电荷密度就是 极化强度矢量
沿着法线方向的分量
好 这节内容就讲到这儿
谢谢
-电荷和库仑定律
--引言
--电荷
--库仑定律
-WEEK1--电荷和库仑定律
-电场及叠加原理，电偶极子
--电场和电场强度
-WEEK1--电场及叠加原理，电偶极子
-高斯定律
--电通量
--立体角*
--高斯定律的证明*
--高斯定律和电场线
--高斯定律的应用
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-静电场环路定理、电势和叠加原理
--环路定理
--电势和叠加原理
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-WEEK2--静电场环路定理、电势和叠加原理
-静电能
--电荷系静电能
-WEEK2--静电能
-导体静电平衡
--物质中电场
--导体静电平衡
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-WEEK3--导体周围电场
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--导体壳与静电屏蔽
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-电容及电容器
--电容及电容器
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--介质对电场的影响
-WEEK3--电介质
-极化强度矢量，极化电荷
--极化强度
--极化电荷
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--电介质的极化规律
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