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同学好
这节我们讲电容器及电容
先讨论孤立导体的电容
假设有这么一个孤立导体
那么它如果带电的话
这个导体的电势其实是和
它所带的这个电量成正比的
我怎么知道呢
假如说我在导体原来带电的基础上
每一个地方
都让这个带电量增加两倍
每一点的贡献也是增加两倍
根据电势的叠加原理
那么电势就变成了原来的两倍
就是电荷增加了两倍
电势也增加了两倍
它们不正好是正比关系吗
那么这个比例系数呢
很显然和电量和电势是没有关系的
那么这个比例系数
我们把它叫做这个孤立导体的电容
那么电容的这个单位
国际单位是用法拉
后面我们简单会说一下
法拉这个单位到底多大
从这个式子里面
其实你很难看出来
电容这个概念和能装多少电量
这么一个容量的概念有什么联系
其实你看看这里边
你无论装多少电荷它都是允许的
你只要跟着电势一起增加就可以了
所以其实按这个式子看
电容不是容量的这个概念
它是效率的概念
为什么呢
就是你装电量很多的时候
你的电势不用提高到很高
这不就是电容比较大的意思吗
所以这是一个效率的概念
但是它为什么叫电容呢
它还是说能装多少电量的容量
和这些概念是联系在一起的
它原因是这样
原因是因为介质有一个耐压的特性
就是什么呢
假如你这个导体
有越来越多的电荷了
这个时候呢它的电势会越来越高
电势高的话
它周围的电场就会越来越强
电势太强了的话
这个介质就会被击穿
就会有一个放电
那么这个时候呢
电荷你就不能再增加了
所以你这个孤立导体
实际上是有一个上限的
就是能容纳多少电荷的上限是有的
因为什么呢
因为有一个介质耐压的极限
它是在介质耐压的极限下
所能装的那些电荷量
这样一个容量的概念
所以由于有了介质耐压这么一种情况
电容就转变成了
装多少电量的这个容量这个概念了
下面我们看一个例子
假如说真空中有一个孤立的导体球
它的电容怎么计算呢
假设它的带电量是Q
那么根据我们前面的计算
当然这个时候电荷
全部是分布在这个球的表面
而且是均匀分布
这个时候它的电势我们是知道的
是这么一个量
根据刚才我们给的电容的定义
我们就知道导体球的电容
就是等于4πε0乘上R
这里ε0就是介质的特性
当然这是真空介质的特性
你如果这里边
周围包围了一些其它的介质
那么这里边还要有一个
相对介电常数
这里边这个R呢
是这个导体球的几何特性
也就是说孤立导体的电容
其实只是和介质的特性
几何的特性有关系的
假设有这么一个导体球
半径20厘米
现在我让它带电
它电势达到1万伏了
这1万伏当然是很高啊
可是这个时候
这个导体球带的电量有多少呢
我们先算一算啊
先说这个电容
根据刚才我们计算的导体球的电容
它不是这个吗
把这个半径结果代进去计算出来
这大概是20个皮法
就是2乘上10的负11次方法拉
那么根据这个呢
我们利用这个电势不是1万伏吗
我们很容易估算出来
这个导体球这个时候带的电量
大概是2乘上10的负7次方库仑
虽然这个导体球1万伏
这当然是很吓人的数字
可是如果你碰它的话
不会有什么危险
为什么呢
它带的电量太少
我们可以看一下人体的
安全的承受电荷的极限多少呢
是30毫安秒
这相当于0.03库仑
现在这个电荷远远小于这个值
所以尽管这个导体球电势是1万伏
你摸它还是安全的
当然会小有不舒服
下面我们利用这个公式
我们可以看一看
1法拉这个电容到底多大
假设孤立导体球的半径是R
而这个导体球的电容刚好是一个法拉
那么这个半径应该多大呢
你可以简单估算一下
它其实是(近似)等于1000(多)倍的地球半径
也就是说
1000(多)倍的地球半径的
这么大的导体球的电容
才只有一个法拉
所以一方面一个法拉这个单位
是非常大的一个单位
另一方面呢
孤立导体的这个电容
它的效率是太低
所以通常来说我们这个电容呢
是用导体组来做这个电容器的
典型的这个电容器
比如说球形电容器
里边有一个导体球
外边有导体球壳
这是球形电容器
还有一种柱形的中间有导体柱
周围有一个同轴的导体柱壳
那么这个
和我们历史上莱顿瓶的原理差不多
莱顿瓶大致是这么一种形状
当然不太一样
还有一个就是平行板电容器
这样的是典型的电容器
它们都有一个共同的特点都是什么呢
就是内部的电场都是被屏蔽掉的
而且两个不同的导体之间
带电量是等量异号
同孤立导体时候的那个讨论类似
导体组的导体之间的电势差
也正比于其中某个导体的带电量
那么它们两的比值
就可以定义为
这个导体组的电容
我们看一个例子
平行板电容器的电容
应该是什么样子的呢
假设有这么一个平行板电容器
它们相距是d
它的面积是S
假设它是带电为Q的
这个时候这两个平行板之间的电势差
应该等于多少呢
前面计算过它是等于电场乘上d
就是它们之间的距离
这个电场又是等于这样一个式子
这里边面电荷密度
你可以表示成面积分之带电量Q
那么根据这个电容的定义
你很容易把它计算出来
平行板电容器的电容就是等于这个
下面我们简单讨论一下
假如两个电容器是串联的
它的等效的电容应该是什么样子的呢
因为串联的缘故
因为它们是连在一起的
所以说这两个电容器
带电量应该是一样的
那么应该它就等于
等效电容的带电量
电势呢 两边的电势差应该是
每一个电容器的电势差的和
那么利用这两个式子
根据刚才的这个定义
等效电容应该是这个Q比上这个Δφ
你化简一下
我们就可以得到这样一个式子
就是串联的时候等效电容的倒数
等于两个串联的电容的倒数和
并联情况呢
并联的时候
这两端的电压是一样的
也就是等效电容的电压
就等于单个电容两边的这个电压
那么这里边所带的电量呢
等效电容所带的电量
是单个电量的和
那么根据我们刚才电容的定义
我们很容易推导出来
并联的情况等效电容
当然是Q比Δφ
它就应该是等于什么呢
应该是两个电容的和
我们再看下一个例子
就是柱形电容器单位长度的电容
因为柱形电容器它可以很长
假如说它是无限长的话
那么这里边的电场是径向的
那么无限长的话
当然电容也是无限大的
那么我们要求的是单位长度的电容
怎么计算呢
我们假设单位长度带电量是λ
那里边带电量如果是正λ
边上这个壳上的那个电量就是负λ
中间的这个
R的这个位置上的电场怎么计算呢
因为这是柱对称的
电场当然是径向的
我们利用这个高斯积分
就是高斯面也取作圆柱面
那么利用那种方法
我们可以很容易计算出来
这两个之间
电场是这样一个表达式
当然它的方向是径向的
那么利用这一点呢
我们可以从里边的柱体
向外面的柱面做一下积分
我们就可以计算出来
它们之间的电势差
这个电势差很容易计算出来
那么对于单位长度的电容
其实是这个单位长度的电量
比上它们之间的电势差
所以单位长度的柱形电容器的电容
很容易计算出来
就等于这个
在这个式子里边我们很容易看出来
当这个圆柱体和外面圆柱壳的半径
非常接近的时候
中间的这个空隙很小的时候
它这个电容是非常非常大的
好 这节内容就讲到这儿
谢谢
-电荷和库仑定律
--引言
--电荷
--库仑定律
-WEEK1--电荷和库仑定律
-电场及叠加原理,电偶极子
--电场和电场强度
-WEEK1--电场及叠加原理,电偶极子
-高斯定律
--电通量
--立体角*
--高斯定律的证明*
--高斯定律和电场线
--高斯定律的应用
-WEEK1--高斯定律
-WEEK1--本周作业
-静电场环路定理、电势和叠加原理
--环路定理
--电势和叠加原理
--电势梯度
--等势面
-WEEK2--静电场环路定理、电势和叠加原理
-静电能
--电荷系静电能
-WEEK2--静电能
-导体静电平衡
--物质中电场
--导体静电平衡
-WEEK2--导体静电平衡
-WEEK2--本周作业
-导体周围电场
-WEEK3--导体周围电场
-静电屏蔽
--导体壳与静电屏蔽
-WEEK3--静电屏蔽
-电容及电容器
--电容及电容器
-WEEK3--电容及电容器
-电介质
--介质对电场的影响
-WEEK3--电介质
-极化强度矢量,极化电荷
--极化强度
--极化电荷
-WEEK3--极化强度矢量,极化电荷
-WEEK3--本周作业
-极化规律、电位移矢量
--电介质的极化规律
-WEEK4--极化规律、电位移矢量
-有介质时静电场能量
-WEEK4--有介质时静电场能量
-电流密度、稳恒电流和稳恒电场
--电流密度
-WEEK4--电流密度、稳恒电流和稳恒电场
-电动势、欧姆定律的微分形式及基尔霍夫定律
--电动势
--欧姆定律
--欧姆定律(续)
-WEEK4--电动势、欧姆定律的微分形式及基尔霍夫定律
-电流微观图像和暂态过程
--电流微观图像
-WEEK4--电流微观图像和暂态过程
-本周作业
--week4--本周作业
-洛仑兹力、磁感应强度
--电流磁效应
--磁场和磁感应强度
-WEEK5--洛仑兹力、磁感应强度
-毕-萨-拉定律、磁场叠加原理和磁场高斯定理
--毕-萨-拉定律
--磁场高斯定律
-WEEK5--毕-萨-拉定律、磁场叠加原理和磁场高斯定理
-静磁场环路定理
-WEEK5--静磁场环路定理
-安培力和霍尔效应
--霍尔效应
--安培力
-WEEK5--安培力和霍尔效应
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-WEEK6--载流线圈在均匀磁场中受的磁力矩、磁矩
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--磁场中的磁介质
--原子的磁矩
-WEEK6--磁介质对磁场的影响和原子磁矩
-磁化强度矢量、磁化电流和磁场强度H及其环路定理
--磁介质的磁化
--磁化电流
-WEEK6--磁化强度矢量、磁化电流和磁场强度H及其环路定理
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--磁场的界面关系
--铁磁性材料
-WEEK7--铁磁介质和简单磁路
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-WEEK7--法拉第电磁感应定律
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--动生电动势
--涡电流
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--自感
--互感
-WEEK7--自感和互感
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