第四节 交叉对冲在线视频

下面我们来进一步考察交叉对冲

当期货合约的基础资产与被对冲

资产不一致的时候

就会出现交叉对冲的这个问题

比如说

某家航空公司

它担心航空燃料油的

未来价格会发生较大的波动

但是市场上没有以航空燃料油

为基础资产的这个期货合约

航空公司就可以利用

民用燃料油期货合约来对冲

航空燃料油的价格风险

下面我们来考虑交叉对冲中的

对冲比率问题

对冲比率就是指的是

持有期货合约的头寸数量

与被对冲资产风险敞口数量的比率

当期货的基础资产

与被对冲资产完全相同的时候

对冲比率就等于1

但是对于交叉对冲的时候

将对冲比率设定为1往往不是最优的一个选择

在这种情况下

对冲者采用的对冲比率

应当使的是整个对冲资产组合

价值变化的方差最小的那个比率

其中

整个对冲资产组合是由被对冲资产

和用于对冲的期货合约所构成的资产组合

下面我们来讨论如果确定交叉对冲中的

最优对冲比率

或者称为最小方差对冲比率

最优对冲比率它取决于即期价格

和期货价格变化之间的关系

为了考虑这个问题

我们运用以下的符号

一个是δS

它表示的是对冲期间内

基础资产价格S的变化

δF

表示的是对冲期间内

期货价格F的变化

同时我们构造

如下的一个线性回归模型

也就是

δF对Delta S的线性回归模型

这个δS等于α加上h*乘以δF

加上ε

这个方程的含义

是用期货价格的线性变化来

表达基础资产价格的变化

其中α我们称之为截距项

ε是称为一个残差项

它的这个均值是为0的

h*是δS对δF进行回归时

所产生的最优拟合直线的斜率

这里这个h*表示最优对冲比率

我们可以看下下面这个图形

这里横坐标是期货价格的变化

纵坐标是基础资产价格的变化

直线就是这个散点图中的最优拟合直线

从这个图形我们可以看出

最优对冲比率h*

就是当期货价格F变动一定数量的时候

基础资产价格S变化的一个平均比例

通过这个回归的式子

我们可以得到这个

最有对冲比率h*的一个表达式子

这个h*它是等于ρ乘以ΣS再除以ΣF

这里这个ΣS是δS的标准差

ΣF是δF的标准差

ρ是δS与δF之间的相关系数

这个公式表明

就是最优对冲比率

它是基于δS和δF之间的相关系数

再乘以δS的标准差与δF的标准差

之间的一个比例

在这个公式里面

这些参数通常是根据δS和δF的

历史数据估计出来的

这里实际上也隐含了一个假设

也就是说

在一定程度上

这个历史能够反映未来

我们在计算中要选择

一定数量的长度相同但互不重叠的时间区间

然后在每个区间里面观测并计算

δS和δF的值

理想的做法我们是每个时间区间

累加得到的期限长度与被对冲期限长度要相等

但在实际操作当中

这种做法可能会限制观察值数量

所以我们一般选选择比较短的时间区间

比如说一天或者一个星期为一个时间区间

这样的话我们得到的这个样本数量

也就是观察值的数量就相对比较多了

就下面这个图形说明了对冲者整个

对冲资产组合价值变化的方差

与对冲比率之间的关系

这横坐标是这个对冲比率

纵坐标是这个对冲组合价值变化的方差

我们不难可以看出

这个h*它对应着整个对冲资产组合

价值变化的最小方差

所以我们这个h*也称为最小方差对冲比率

就是如果这个ρ等于1

ΣS等于ΣF的话

这个时候我们可以很方便的求出来

这个最优对冲比率就是h*等于1

这种情形下

这个期货价格的变化

恰好等于基础资产即期价格的变化

如果ρ等于1

ΣF等于两倍的ΣS

这个时候最优对冲比率h*就等于0.5

在这种情形下

期货价格的变化幅度是即期价格变化幅度的两倍

对冲的效果我们用这个对冲的有效性来衡量

对冲有效性

它被定义为

对冲所消除的整个对冲资产组合价格

变化的方差

占总方差的比例

这实际上正好是等于ΣS对ΣF

进行线性回归的时候的

确定性系数或者我们称为判定系数R平方

在这里这个R平方就等于ρ的平方

这是因为在一元线性回归的时候

确定性系数就等于两个变量相关系数的平方

下面我们来具体讨论这个交叉对冲的时候

最优期货合约数量是怎么确定的

下面我们要来计算

交叉对冲中最优期货合约的数量

为了计算对冲所用的期货合约的数量

符号定义如下

用Qa 被对冲资产的数量

Qf 1份期货合约的规模

用N*表示用于对冲的最优期货合约的份数

在最完美的对冲情形下

我们有下面的一个恒等式

也就是N*乘以Qf再乘以δF等于Qa乘以δS

这个等式意味着

对冲的期货合约的盈利或者亏损

正好与被对冲资产的亏损或者盈利完全相等

最优对冲比率可以近似表示为

h*等于δS比上δF

可以得到用于对冲的最优期货合约的数量

是N*乘以Qf等于h*乘以Qa

所以这个N*就等于h*乘以Qa再除以Qf

下面我们来看一个例子

就是某家航空公司预计1月份需要购买

2万加仑航空燃料油

并决定利用在芝加哥商业交易所交易的

民用燃料油期货进行对冲

下面这个表格给出了连续15个月

每加仑航空燃料油价格变化的

δS的时间序列

以及用于对冲的民用燃料油期货价格的

相对应变化δF的时间序列

我们利用标准差和相关系数的公式

可以计算出来

Qf等于0.0313

Qs等与0.0263

而这个相关系数ρ等于负的0.928

标准差和这个相关系数的计算公式

我们直接给出来

我这里不再详细叙述

下面我们来考虑这个尾随对冲问题

当运用期货合约进行对冲的时候

会存在期货合约的每日结算以及随之而来的

一系列持续1天的对冲交易问题

首先我们计算出期货价格每日变动的百分比

与即期价格每日变动的百分比之间的相关系数

将该相关系数记为β

将期货价格每日变动百分比的标准差记为ΣF

即期价格每天百分比变化的标准差记为ΣS

如果S和F为即期和期货价格

1天价格变化的标准差

就可以写成S乘以ΣSF乘以和ΣF

我们就可以得到

对冲期限为1天的最优对冲比率为

h*等译ρ乘以S乘以ΣS

再除以F乘以ΣF

这样我们就可以得到下一个交易日对冲所需要的

最优期货合约数量

N*等于ρ乘以S再乘以ΣS再乘以Qa

除以F乘以ΣF再乘以Qf

采用以上结果计算对冲合约数量的做法

我们称为随尾对冲

N*还可以表达为以下的式子

就N*等于h乘以Va比上Vf

这里的这个Va是被对冲资产的实际价格

Va等于S乘以Qa

Vf是一份期货合约的货币价格

它是等于F乘以Qf

这个h它是等于ρ乘以ΣS除以ΣF

从理论上来讲

随尾对冲说明了用于对冲的期货头寸

应当随着被对冲资产的价值Va

和期货的合约的货币价格Vf的变动

而调整

但在实际当中

就一天内期货头寸的变化很小

这种调整通常可以忽略的