当前课程知识点:金融工程 > 第三章 利用期货的对冲策略 > 第三章 利用期货的对冲策略 > 第五章 股指期货3
假定标普500指数点位在3个月后下跌10%至900,此时期货指数点位是902,期货合约空头的收益是30×(1010-902)×250=810,000美元。 股指每年支付1%的股息收益,折算为3个月则是0.25%,因此,将股息考虑在内,股指在3个月内的收益则是-10%+0.25%=-9.75%
股票组合是一个指数型的组合
但是当股票组合不是一个指数型的组合
或者说不跟踪某个股指时
我们可以采用
资本资产定价模型中的β值
来确定持有股指期货空头的合约数量
比如说当β等于2.0时
股票组合对市场的敏感度
是β等于1.0的股票组合的两倍
或者说股票组合的系统性风险
是β等于1.0的股票组合的两倍
那么对冲
β等于2.0的股票组合的系统风险时
将需要两倍数量的
股指期货合约
当β等于0.5的时候
股票组合的
对市场组合的命案系数
是β等于1.0的股票组合的一半
那么对冲β等于0.5的股票组合的系统风险时
仅需要一半数量的
股指期货的合约
就是如果我们假设
股指期货合约的到期日
与被对冲的到期日非常接近的话
那么通常而言
我们可以用下面的公式来计算
这个最优合约的数量
N*等于β乘以Va除以Vf
在尾随对冲中
公式是
N*等于h尖乘以Va比上Vf
因此我们把上面的两个式子
结合我们可以看到
这里这个h尖就等于β
h尖就等于β这一等式对我们来说
应该是不意外的
因为将被对冲投资组合的市值
在一个交易日内变化的百分比
对于股指期货
变化百分比进行线性回归时
对冲比率h*
就是该回归最优拟合直线的斜率
β是投资组合的收益
对股指变化进行
线性回归时得到的最优拟合直线的斜率
所以这两个斜率事实上是相同的一个斜率
下面我们来看一个例子
就假定利用期限4个月的股指期货合约
来对冲股票投资组合在未来3个月
内的市值波动
并且我们做了如下的一个假设
当前标准普尔500指数点位等于1000
当前的标准普尔500期货指数点位
是1010点
股票投资组合的市值
5050000美元
无风险利率
是百分之4一年
股指的股息收益率
是百分之1一年
股票投资组合的β等于1.5
1份期货合约的合约乘数等于250美元
所以1份期货合约的合约价值
它就等于250美元再乘以
期货指数点位
所以这个Vf等于252500美元
根据这个公式我们就可以计算
得出对冲股票投资组合所需要持有的
股指期货的这个空头合约的数量是30份
计算过程是这样的
也就是N*等于β
乘以Va除以Vf
它是等于1.5乘以5050000
除以252500
就近似等于30
我们下面继续讨论这个例子
就假定标准普尔500指数点位
在3个月以后下跌了百分之10
跌至了900点
此时这个期货指数点位是
902点
所以期货合约空头的收益
我们可以计算出来
是30份乘以这个1010减去902的差
再乘以250
得到810000美元
股指它每年要支付百分之10的
股息收益
折算成3个月的收益也就百分之0.25
因此
将股息考虑在内
股指在3个月内的收益是
负的百分之10
加上百分之0.25
所以等于负的百分之9.75
根据我们前面
讨论的资本资产定价模型
我们可以计算出
这个投资组合的期望收益
它是等于无风险收益加上β
再乘以
股指收益减去无风险利率的差值
在这里这个β等于1.5
3个月期的无风险利率
是百分之1
投资组合3个月后的期望收益
我们可以计算出来
所以是百分之1加上1.5
再乘以负的百分之9.75减去百分之1的差
所以得出来是负的百分之15.125
因此
这个投资组合3个月以后的期望市值
就是等于5050000
乘以1减去0.125得到
4286187美元
考虑了这个股指期货的收益以后
对冲者构建的整体对冲资产组合
在3个月后的市值
就等于
4286187美元再加上
810000美元
得到5096187美元
这里大家要注意到
这个整体对冲资产组合
是由被对冲的股票投资组合
与用于对冲的股指期货合约
共同构建的这个资产组合
下面的这个表格总结了上面的计算
同时也对股指
到期时的其他点位进行了类似的计算
通过这个表格的最后一行我们可以看到
在三个月以后
整体对冲资产组合的期望价值
与股指点位
几乎没有关系
我们在计算的时候实际上是假定这个股指的
股息收益是可以预测的
无风险利率是一个常数
股指在3个月内收益与投资组合
收益之间具有完全的相关性
在实际中这些假设并不完全成立的
所以对冲效果
可能并不像表中描述的那么完美
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