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σ=0.012的情形，假定想计算期限为8年、欧洲美元期货报价为94所对应的远期利率。这时T_1=8，T_2=8.25（对应的利率为3个月的利率），曲率调整量为1/2×〖0.012〗^2×8×8.25=0.475%。 在天数计算惯例为“实际天数/360”的基础上，按每季度复利的期货利率为每年6%（（100-94）%），这对应于每90天的利率为1.5%。 对应于“实际天数/365”的天数计算惯例，同时按照连续复利，则期货利率等于（360/90）ln1.015=6.038%。 因此，根据等式（1），按连续复利所估计的远期利率是6.038%-0.475%=5.563%。

这个差异

这个欧洲美元期货和这个远期利率协议是很相似的

它们都可以用来锁定将来某个时间段上的利率

对于期限较短的这个

欧洲美元期货和与这个远期利率协议

我们可以近似的假设这个欧洲美元期货利率和

相应的远期利率

协议的这个协议利率近似是相同的

但对于这个较长的期限

欧洲美元期货利率和相应的远期利率

之间会存在着较大的区别的

我们可以考虑处于T1到T2期间的这个期货利率

和相应的远期合约的这个利率

对欧洲美元期货合约每天要进行结算

最终的结算是在T1时刻

反映的是从T1到T2期间的利率

远期利率协议它不是每天结算的

最终反映的也是T1到T2期间的利率

但最终的付款的这个计算时间是在T2时刻

当然它这个结算远期利率协议也是发生在T1 时刻

但是它的这个结算金额

是T2时刻的这个最终付款的这个数值

贴现到T1时刻

所有这个欧洲美元期货和远期利率协议之间有两个不同

第一个就是结算方式不同

期货是每日结算而远期利率协议不是每日结算

第二个就是刚才我们介绍的这个时点的不同

期货是在T1时刻到期并完成结算

而远期利率协议的这个收益支付往往发生在T2时刻

结算时间也是在T1

当然这个T1的这个结算金的大小是T2时刻的这个

收益的这个大小贴现到T1时刻以后计算出来的

这两个差异均使得这个远期利率会低于这个期货利率

但对于这个较长期限的这个合约

以上的这个第2个因素带来的效果远远要小于

第1个因素的效果

也就是说对于期限较长的合约

它这种差异的造成最主要是由第1个因素造成的

下面我们分析一下为什么结算方式的不同会导致

这个远期利率低于这个期货利率

我们假定这个投资者持有1份合约

合约在T1时刻到期

它的收益的话就是等于RM减去RF

其中这个RF是先约定好的T1到T2期间的利率

RM是该期间的实际的这个市场利率

也就是欧洲美元利率

当选择每日结算的时候

利率较高的时候每天结算会造成这个现金的流入

这和我们前面介绍这个

远期价格和期货价格它们的差异是类似的

也就是利率较高的时候会造成这个现金的流入

在利率较低的时候会造成这个现金的流出

在利率较高时投资者会选择每天结算

由于保证金账户的资金会有利息

所以会使得这个保证金账户上有更多的现金

基于这样一个原因

对市场上对于每天结算所对应的RF

会设置较高的这个利率

从而减少投资者累计收益的这个预期

也就使得这两种交易的这个最终的效果是要相同

所以这个时候这个RF要设置

对每日结算的这个合约它要设置较高的这个RF

相反如果结算方式由每日结算

变为仅仅在T1时刻进行结算那么就会降低RF的大小

从而给投资者给予一定的补偿

也就是这两种方式的这个结算最终的效果要一样

所以使得这个每日结算的这个RF设置要相对高一些

也就是这个期货利率要相对高于这个远期利率

下面我们来介绍一下

为什么结算和支付时点的不同也会使得这个

远期利率会更低一些

我们假定这个收益是RM减去RF

支付发生在T2时刻而不是在T1时刻也就是

正常的远期利率协议那样

如果实际利率RM很高

那么该收益就为正

因为RM很高的话那么T1时刻就获得的收益

比T2时刻才能获得收益是更加有利的

相反如果这个实际利率RM较低

那么该收益就是为负了也就是亏损

显然在T2时刻才

兑现亏损比在T1时刻兑现亏损要更加有利一些

但是由于RM较低

因此这个亏损兑现的延期获得的好处

相对来说并不很大

所以我们综合下面两个我们可以得到

就当结算日是在T2时刻而不在T1时刻的时候

那么投资者将从这个RF的这个降低当中能够获得一些补偿

所以它会造成这个远期利率协议和这个

相比较而言要比这个期货利率的这个利率要更低一些

这样的话这两个协议的这个效果才是相等的

下面我们介绍一个就是

业界对这个期货利率和远期利率之间的一个变化呢

的一个公式

就分析师常

对于这个期货利率和远期利率它们要进行一种

所谓的一个曲率调整的一个变化

这个曲率调整的一种

流行的做法是下面这个公式也就是远期利率

它等于期货利率减去1/2 σ^平方

再乘以T1再乘以T2

T1是这个期货合约的这个期限

T2是期货利率所对应的利率到期日

变量σ是短期利率在1年内的这个标准差

这里的利率是连续复利率

也就远期利率和期货利率都是连续复利率

我们在这个实物当中都是用的是

一年计息四次的期间的年利率

所以这里是算出的这个连续复利率

远期利率和期货利率之间有这样一个

曲率调整的一个公式

下面我们来介绍一个例子就考虑σ等于0.012

假定想计算的期限是8年

欧洲美元期货报价为94

所对应的这个期货利率就是6%

那我们要计算出它对应的这个远期利率是多少

这时候这个T1就是等于8

T2是等于8.25

这是对应的利率为3个月期的这个利率

曲率调整量我们可以计算出来它是等于1/2乘以

0.012的平方再乘以8再乘以8.25

它是等于0.475%

那么我们这个天数计算惯例大家注意到我们是

实际天数/360的基础上来计算的

那么按照季度复利的期货利率是6%

也就是100%减去94%

那么对应的90天的利率就1.5%

那么对应于实际天数/365的这个天数计算惯例

同时按照连续复利率

进行换算的话这个期货利率它就是等价于

下面这个数字360/90再乘以1.015的这个自然对数

得出来是6.038%

根据我们前面这个等式我们可以计算出

按照连续复利所计算出的这个远期利率

应该是6.038%减去0.475%等于5.563%

用这个式子的时候我们一定要先把

按比例计算的这个年利率

换算成连续复利率以后

再能代入这个式子来计算

下面这个表格给出了这个期货合约

期限与曲率调整之间的关系

当然我们这里考虑的σ 是等于0.012的这种情形

对于这个两年期限的这个期货它这个

曲率调整量是3.2个基点

而对于这个4年期的这个期货

这个曲率调整量是12.2个基点以及到了

十年期的这个期货它这个曲率调整量是73.8个基点

上面表格的这个结果我们可以看出来

就这个曲率调整数量大约是

期货合约期限的这个平方成正比的

例如对于这个期限为4年的这个合约的这个调整量也就是

12.2的

大约是期限2年的合约调整量也就是3.2的4倍

我们下面呢介绍如何利用这个欧洲美元期货来拉长

LIBOR利率的这个零息收益率曲线

那我们知道这个LIBOR利率这个零息收益率曲线

一般是这个一年以内的也就是

期限小于1年的LIBOR收益曲线它是

由1个月

3个月或者6个月以及12个月的这个LIBOR利率来确定

这个经过这个曲率调整以后

欧洲美元期货可以用来拉长

这个LIBOR这个收益率曲线的期限

那我们假定这个第i份欧洲美元期货的到期日

是Ti

假定这个根据第i份期货合约

那么同时结合这个曲率调整

我们得出这个

适用于Ti到T(i+1)的这个远期利率

那么我们就可以采用这个票息剥离法来计算这个零息利率

假定这个Fi是由第i份期货合约所得出的这个远期利率

那这里是已经经过了这个曲率调整

Ri是期限为Ti的零息利率

那么我们可以得到Fi它是等于

R(i+1)乘以T(i+1)再减去Ri乘以Ti它的差值

除以T(i+1)减去Ti的这个差

所以由上面这个式子我们可以得到这个

R(i+1)它是等于Fi 乘以T(i+1)减去Ti的这个差

再加上Ri乘以Ti除以T(i+1)

当然这里都是要用这个连续复利率来计算这个利率的

也就是我们可以通过这个

欧洲美元期货隐含的这个远期利率

来计算出对应的这个零息利率

这样我们就可以利用这个欧洲美元期货来拉长

这个LIBOR的零息收益率曲线

这个LIBOR零息收益率曲线可以延长到5年甚至10年

我们假设这个400天期限的这个LIBOR零息利率是

4.80%这是连续复利的

由欧洲美元期货报价并结合这个曲率调整我们得出了

从第400天开始的90天的远期利率是5.3%

这是一个连续复利

从第491天开始的90天的这个远期利率是5.5%也是连续复利

从589天开始的90天的这个远期利率是5.6%

这也是连续复利率

那么我们利用上面介绍这个等式我们可以计算出

491天期限的零息利率

它是等于4.893%

这个计算公式就直接代到前面的公式里面我们就可以计算出来的

我们采用第2个远期利率

也就是从491天开始的90天的远期利率

我们可以得出589天期限的这个零息利率

计算公式也是和前面完全一样的

得出是4.994%

4.994%也就是589天期限的这个零息利率

那么下一个远期利率也就5.6%将确定

从今天至下一个欧洲美元期货这一段时间的这个零息利率

那么欧洲美元期货的期限是90天

远期利率期限也就是两个相邻期货合约的到期日

为了便于分析

本例的这个远期利率的期限可以规定为这个91天

或者是98天