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下面我们来看一个具体的例子

期权的一个δ中性套值保值

我们前面分析的是连续的一个对冲的一个过程

现实当中也不可能价格与变动也就是进行

交易这时候交易成本会很高

所以在现实当中我们可能是定期进行这个对冲

或者说价格变化达到某一个程度的时候

我们可能要进行对冲调整这个对冲头寸

我们这个例子是这样的就是某金融机构在这个

场外市场它出售了

十万股的这个不支付红利股票的一个欧式看涨期权

它收入了三十万权的这个期权费用

一股的这个看涨期权的这个期权费用是3块钱

这个标的资产股票当前的市场价格49块钱

这个期权的这个看涨期权的执行价格是50块钱

就无风险的这个利率就连续复利率是5%

这个股票的这个年化的波动率是20%

剩余期限还有20周

那么这个金融机构如果在场内或者场外市场它没办法直接

买一个看涨期权来对冲

如果它可以直接买一个看涨期权对冲的话它就可以不去做这个动态对冲了

这里是一个空头那直接再去买一个多头

对冲这个风险当然它可能需要赚取一定的价差

比如说这个机构如果是一个做市商的话

现在就是有很多这个

期权的这个买方来买这个期权但期权的卖方没有多少投资者

就是单边的这个买入了卖给其他人它就做了一个空头

那么它就要面临一个什么风险管理的一个问题

就是怎么通过这个标的资产和这个无风险资产的一个组合

来这个什么来这个对冲这个期权的空头

采用的是这个就是动态对冲的一个策略

为了这个进行这个动态对冲

动态对冲过程中是要维持这个资产组合的一个δ中性

或者说维持这个δ一直为0

在实际操作中我们不可能进行频繁的操作我们假设这里是每周进行一次

这里的参数我们做一个总结就是

标的资产当前的价格是49块钱

这个期权的协议价格是50块钱无风险利率是5%也就0.05

波动率是这个20%也就0.2

在当前来看这个剩余期限是20周

剩20周年化的话也就0.3846年

下面我们看一下这个δ对冲这个过程是怎么样的

这个过程呢实际上也就是这个资产价格和时间发生变化的时候

也就时间往前走这个资产价格发生变化的时候

我们怎么来动态调整这个对冲组合也就调整这个股票的数量

股票价格我们模拟了两条路径

这个当然你可以把其中一条路径看成一条现实的路径

另外一条可以看成一个模拟的一条路径

当然你也可以 把这两条路径看成都是模拟的路径

这一条路径是这样的就股票价格的路径我们是

是这个第二列第一列是这个时间期初0第二周

第三周第四周一直到第二十周

期初的价格是49块钱

剩余期限是20年根据我们的参数可以算出这个期权的这个δ值

是0.522这个就代到我们那个δ的那个公式里面就可以算出来

这就意味着你如果卖空了一股股票期权

需要买进0.522股的这个股票来对冲这个

期权的这个空头的风险

那我们前面说的是卖出了多少股票期权

十万股的股票期权所以它需要买进这个

五万两千两百股的这个股票

来对冲股票期权的空头的风险

买这个多股票需要的这个资金量是多少应该是这个52200

股乘以这个49得到这个资金的数量

是2557.8千元我这个单位给的是千元

这个钱我们假设是全部是借来的

当然大家注意到卖空这个期权的话前面还得到了

30万的这个期权费用

我们和前面的理论分析稍微有点差异我们这个期权费用

先不把它用掉这个期权费用的话假设是按照无风险利率去投资

最后整体来结算这实际上不会影响到我们最后的这个结果

当然对这个计算过程是有点差异的

实际上意味着你什么2557.8千元的这个资金

按照无风险利率全部借来但同时你在那个无风险利率市场上

你还有30万的这个无风险的投资这个利息是可以抵消掉一部分的

当然我们现在不考虑这个利息的抵消

我们假设这个资金是全部借来的这个借来的这个资金

在一个星期内产生的利息是2500块钱也就2.5千元

第一周期末或者第二周期初的时候这个股票价格就下降到48.12元了

按照这个股票价格19周的这个剩余期限我们重新算一下这个δ

算出这个δ是0.458这意味着10万股的股票期权

只需要45800股的股票就可以对冲了

那么我们原来买了52200股的股票需要卖出一部分

卖出的数量是6400股

当然按照什么价格卖是按照18.12元把它卖出去

卖出的话它可以收回一些资金

收回的这个资金数量我们使用6400股的股票乘以这个48.12元

收回的这个资金我们把原来的负债换掉一部分

所以我们用原来的这个成本就是2557.8再加上2.5千元的这个

利息减去我们卖出股票换掉的钱也就308千元

最后得到这个第二周期初的时候它的这个

最外面借的钱的数量或者我们称为累计成本是2252.3千元

这个钱一周产生的利息是2.2千元当然这个是一个近似的这个值

这样我们一步一步调整下来

就是一步一步动态调整下来

也就是股票价格大家可以看到这个股票价格下降的时候一般这个δ值

也会下降所以它要在这个股票价格下降的时候

这个δ值下降说明它这个价格下降的时候它要卖出这个股票

第19周的时候也就是还有一周要结束了

这个时候这个δ值是等于1因为它的股票价格是55.87

马上要到期了这个股票价格大于这个协议价格

所以投资者一定是要买进这个标的资产的对冲这个风险了

并且这个δ是什么1

说明卖出一个股票期权就要买进一个股票来对冲它的风险

在19周这个结束的时候还要买1000股的股票

这时候在19周结束的时候或者是到20周的时候它就持有了这个什么

十万股的股票它总的这个

第19周的时候它的这个结束的时候它的累计的对冲成本是

5258.2千元这周产生的利息是5.1千元

二十周结束的时候它是前面的这个累计成本

加前面一周的累计成本加上那个5.1千元的那个利息

就得到这个累计成本是5263.3千元

还有两个资产一个是期权的空头

期权空头大家注意到它是持有了这个什么

到期权结束的时候它持有了十万股的股票

它可以用那十万股的股票去执行那个期权的空头

也就按照协议价格50块钱的价格卖出那个十万股的股票

它可以收回来这个什么500万也就是5000千元的这个资金

所以大家可以看到它的累计成本减去它执行期权收回的钱以后

还对外面欠多少钱也就是用5263.3减去5000的话它还剩下

263.3千元的这个债务要还也就实际上是263300块钱

也就执行期权以后收回那个资金

还掉这个累计成本以后到20周周末的累计成本以后

它还欠外面的是263300块钱

大家还要注意到我们前面还有一笔资金就它卖空期权

30万块钱我们这里还没考虑进来

那么这30万块钱到期末的时候它实际上是

考虑利息和本金的话它是不止30万块钱了

所以它最后还会产生什么

还会产生这个一点利润对吧也就从30万多一点的这个资金

减去这个263300块钱以后它还可以赚5万块钱左右

大家可以看到这个累计成本是怎么产生的或者说我们考虑了

这个263300块钱这个对外的欠债是怎么产生的

也就是说它执行了这个期权以后如果不考虑期权费用的话

它执行期权以后它为什么会产生263300块钱的这个债务

最后也就是执行期权以后为什么收回的这个钱

还了这个以后还剩下一定的债务

也就是263300块钱的这个成本是怎么产生的

这个产生有两部分一部分是每期的这个利息20周

每期产生的一定的利息

这是这个263300块钱的一个来源

再还有一部分大家可以看到

当这个期权价格下降的时候它是卖出股票的

实际上这个过程我们是给出了一部分

实际上你如果把这个补足的话这个姜浩那本书上

他有这个表格的这个全部的这个过程也就是中间

商第三周第四周一直到这个18周19周20周它有一个整体的

你去看一下当然这个资产价格股价下降的时候

这个δ值是下降的

当这个股价上升的时候这个δ值是上升的

我们可以看到当股价下降的时候这个δ值是下降的说明它要卖出股票

当股价上升的时候这个δ值上升它是要买进股票

在这个过程中大家可以看到它是一个什么高买低卖了

高的价格买进来低的价格卖出去这个过程肯定会产生什么

会产生亏损所以这个亏损是它后来的扣除掉这个

期权执行以后的这个成本以后也就263300块钱

那个对外欠债很重要的一部分大家可以看到就是说

它执行期权以后对外欠债263300块钱

当然它考虑的期权费用以后开始收回的期权费用以后

它还有一定的盈利

在这条路径下面如果你不做这个对冲的话

就是这个期权的空头方大家可以看到它会有怎样的一个损失

按照这个50块钱来执行这个期权

到期的时候这个资产价格是57.25元所以这一份期权

它的这个回报就是负的7.25

这个十万股的股票它就会产生725000块钱的这个亏损

当然考虑的这个30万的期权费用以后它还会产生

四十几万的这个亏损47万左右的这个亏损如果它不做对冲的话

当然我们这大家可以看到它做了对冲以后

没有亏损掉它还赚了一点钱

这个就是在这条路径下面赚了差不多5万块钱