04在线视频

下面我们引出这个所谓的第二种定价方法

称为状态价格定价法

这个实际上也是一种复制定价方法

或者是无套利定价方法的一种表现形式

当然我们就是做了一些理论化的一些延伸

我们首先引出一个所谓的状态证券和状态价格的概念

如果有一个证券它是这样一种支付

它到期的时候它的回报是这样的

如果某种状态出现的时候它支付一块钱

而另外一种状态出现的时候它到期可以支付0元

比如说你买了一个证券

3个月以后如果股票价格为11块钱的时候给1块钱给你

如果股票价格为9块钱的时候不给你钱 也就0元

当然和它对应的还有另外一个状态证券

也就是如果是股票价格为11块钱的时候

3个月以后股票价格为11元的时候给你支付0元

而股票价格为9块钱的时候给你支付1元

也就两个状态的话它就用两个这个状态证券

这个证券也称为Arrow 证券

也就是某个经济学家用它的名字来命名的一个Arrow证券

这个证券我们称为一个基本的证券

也就是其它证券或者其它的任何衍生产品

就基于同样状态的任何证券或任何衍生产品

都可以用这两个证券来复制

所谓状态价格也就是我们刚才说的未来支付为1

就是某种状态下支付为1另外一种状态下支付为0的

这个证券它现在的价格是多少 称为这个价格为状态价格

当然我们前面举的例子有两个状态 那就是两个Arrow 证券

或者两个基本证券

如果是多个状态的话 那就可以有多个Arrow 证券

也就是如果将来是个三个状态

那就可以有三个Arrow 证券

我们现在例子都用的是两个Arrow 证券

就是说如果有未来有N种状态的话 也就有N种状态

基本证券

或者N中状态的状态价格

如果我们知道某个资产在未来各种状态的回报

我们就可以对这个证券进行定价

也就是说与Arrow证券或者基本证券的价格确定出来了

那么任何其它的证券就可以用用这个Arrow证券来进行定价

这种定价方法我们称为状态价格定价方法

状态价格定价方法实际上也是复制定价方法的一种应用

或者无套利定价方法的一种运用

下面我们看一个具体的一个例子

这里是我们刚才说的一只股票

它未来有两种状况一个是Su和Sd

股票价格上升它是Su 股票价格下跌它是Sd

那Su它是等于S乘以u Sd就是S乘以d

这里还有与股票价格状态相关的两个Arrow证券

第一个Arrow证券 就是股票价格上升这种状态

事情发生的话它是支付一块钱

如果是股票价格下跌的时候它可以支付0元

这个Arrow证券它当前的价格也就它状态价格是πu

第二个证券是反过来的

就是如果第一种状态出现的时候支付0元

而第二种状态出现的时候 也就股票价格下跌的时候支付1块钱

大家可以看到这两个Arrow证券

按照一定比例复制的话 把这个

这个股票价格复制出来

也就这个股票价格实际上可以看成Su份的

第一个Arrow证券

Su份的第一个Arrow证券它可以保证

第一种状态出现的时候 它可以支付Su元

而Sd份的第二个Arrow证券

Sd份的第二个Arrow证券 它可以保证第二种状态

出现的时候它可以支付Sd元

那么Su份的第一种Arrow证券和Sd份的第二种Arrow证券

这个资产组合它到期的支付

这个股票的支付是

完全一样的

这就意味着

这两个Arrow证券的资产组合的这个价格

和这个股票当前的价格应该要相同

所以我们就有这个7-7式πu乘以Su加上πD乘以Sd

这个算出来的是什么

Su份第一个Arrow证券和Sd份的第二个Arrow证券

当前的价值 和这个股票的价格应该

要相等

要相等的 我们就可以算出来S等于πu乘以

等于Su加上πd乘Sd

把这个初始的价格约掉就可以得到7-8式

也就1等于πu乘以u加上πd乘以d

我们这里是用什么两个Arrow证券合成的一个风险资产

实际上我们用这个Arrow证券还可以来合成无风险资产

比如说你用一单位的第一个Arrow证券

再加上一单位的第二个Arrow证券 这样一个资产组合

就可以保证你将来不管出现什么情况

它都是支付1块钱

都是支付1块钱这就意味着一个无风险资产

就一份第一个Arrow证券加上

一份第二个Arrow证券 这个资产组合是无风险资产

这个资产组合当前的价格是多少

πu加上πD 这个资产组合它的现值

还可以用另外一种方法来计算 就是按照这个无风险利率

把它贴现

所以πu加上πd应该是等于这个贴现因子

e负rT减t次方

就是左边是这个Arrow证券的当前价格计算出来就是

左边这个当前价格计算出来的

而右边这个e的负rT减t 是无风险利率

贴现算出来的价格 这个两边应该相等

当然你把它乘过来也可以得到下面这个式子

也就πu乘以e的r（T减t）次方加上πd乘以e的r（T减t）次方等于1

这个我们就所谓的这个状态价格定价法

实际上根据7-7式和7-10式或者7-9式

我们可以解出来这个πu和πd

可以把这个πu和πd给求解出来

πu是是前面这个式子 πd是后面那个式子

大家可以看到这两个Arrow证券的价格

从这个无套利定价的角度来看它应该是什么

有可能小于0吗 或者等于0吗

应该是不能小于0或等于0的

如果小于0或者等于0这意味着什么

等于0意味着不付任何代价将来可能获得

1块钱的收益

小于0意味着别人给我钱

也就是负的的话

也就是从别人那里拿了钱

就是从别人那里拿了钱但将来可能

获得的一个收益

这肯定是不可能出现的

所以πu和πd应该是大于0的

这个πu和πd大于0 实际上和我们前面的标的资产

和这个无风险资产之间的存在不存在套利机会

一致的

也就是根据前面那两个不等式我们可以算出来

这个πu和πd肯定是大于0的

也就是根据这个无套利的这个公式

实际上就是这个πu和πd一定是大于0的

那么如果这个πu和πd计算出来对应任何一个

或有的支付比如说Pu和Pd

这个Pu和Pd就是未来两种状态下的

或有的支付 这个支付可以是我们前

面的无风险资产 也可以是

风险资产 还可以是其它的衍生产品

那么这个状态价格定价的一般的表示就是P

等于Pu乘以πu加上Pd乘以πd

也就这个或有支付是Pu份的第一个Arrow证券

和Pd份的第二个Arrow证券的一个组合

它的支付和Pu和Pd的支付是完全一样的

所以这个资产组合的价值就等于这个资产当前的价格

这个P是这个资产当前的价格

这个就是状态定价的一般表达式