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做这么多这个复杂的公式出来不是闹着玩的

是要有用的

下面做一个简单的应用

后面还有更复杂的应用

就是一个欧式期权的一个定价

这个有些同学可能也学过这个

用到过这个期权定价的公式

当然也可能老师都是告诉你这个公式

直接给出来 没告诉你它怎么推导出来的

我们可以把这个期权公式一步步的

推导出来的 当然我们现在只介绍一半

后面一章

学完以后就能把公式完全推导出来

比如说我们先考虑一个欧式的看涨期权

欧式看涨期权是一个买权 也就是按照固定的

事先约定好的协议价格买进这个标的股票权利

就它到期的支付就是用这个式子S(T)减去K

和0之间取一个极大值

这个含义大家应该清楚的 就是说

如果到期的时候 这个股票价格大于这个协议价格的话

我就会执行这个期权

就按照K的价格买进这个资产 再按照ST的价格卖出去

就可以获得S（T）减去K的这个收益

当然如果K到期的时候股票价格小于等于这个协议价格

那就会不会执行这个期权

那么它的收益就是什么等于0

当S(T)等于K的时候这两项是相等的

也就你把它放在前面 或放在后面都无关的

这个支付可以写成7-22的这个式子

就是S(T)乘以I 减去K乘以I

I是一个0或者1变量 I是这样的

如果将来ST大于等于K的时候取1

否则ST小于K的时候它取0

这里面就是我们把它把这个看涨期权

分成了两个期权 一个我们用CS(T)它是等于S(T)乘以I

还有一个是CDT它是等于I

第一个期权称之为欧式的

看涨的股份数字期权

这个名字有点拗口 看涨的股份数值期权

也就到期的时候 如果资产价格大于协议价格

就给你支付一份股票

给你支付的是一份股票

I如果是等于1的话 那你的支付就是S(T)

如果是I等于0的时候 那么支付就是0

而第二个就是CD(T)称为欧式的看涨数值期权

如果到期的时候资 产价格大于那个协议价格

这时候支付一块钱 否则的话就为0

支付的是0 欧式看涨期权实际上就是

一个欧式的看涨的这个股份数值权和

欧式的看涨的数值期权的一个组合

大家可以看到是怎么样一个组合

这里通过这个图形就可以看到

就欧式的看涨期权可以看做1份的欧式的看涨数值期权

和K份的欧式的这个看涨数值期权的一个组合

也就是说看涨期权支付

是一份股份数值期权的支付

K份数值期权的支付

它因为一份的话是支付1块钱

ST大于等于K的时候

这里支付K份

当然上面这个是多头 下面这个是空头

也就股份数值期权是多头

数值期权是空头的组合

所以我们对

看涨期权定价 我们分别对这个

股份数值期权和这个数值期权定价

最后综合起来就是这个欧式期权的定价

或看涨期权的定价

我们下面分别对股份数值期权和这个数值期权定价

大家注意到这个股份数值期权

它的支付有个ST

对它定价的时候 你用这个风险资产作为计价物

当然我们这里假设这个风险资产是不支付红利的

也就不支付红利的这个欧式看涨期权定价

我们后一章会给大家一个

如果支付红利的时候 这个期权定价公式

我们先假设它是不支付红利的

对这个股份数值期权定价的时候

我们选择这个风险资产作为计价物

当然选择它为计价物概率的话

对应的一个概率也就我们前面介绍的

qu和qd那个概率

我们要用这个鞅定价的公式

它的随机支付S(T)乘以I除以这个S(T)

是一个鞅过程

也就到期的时候它这个比值的期望值当然是在这个

是qu和qd这个概率下面 也就是S

风险资产作为计价物对应的那个概率下

这个期望值等于它当前的比值

这个公式你做一个简单的变化以后就得到

7-24式

7-24大家可以看到就是这个股份数值期权的价格

它对应当前股票价格再乘以

在这个计价物下对应的概率下

这个股份数值期权被执行的概率

当然也是欧式看涨期权执行的概率

也就这个期望值ES(I)

是什么

这个变量I是S(T)大于等于K的时候取为1

所以这个期望值实际上就是等于它的概率

当然这个概率是在这个计价物下对应的一个

概率测度下或者那一套套概率下的概率

就期权被执行的概率

对第二个 就是数值期权做定价的时候

我们以无风险资产作为计价物

这个时候就是这个数值期权到期的支付

也就I比上这个无风险资产R(T)这个比值

的期望值等于它当前的比值

我们把它推导出来 就是CD(0)等于

等于这个E(I) 在风险中性概率下的期望值

再按照无风险利率贴现

这个期望值实际上也是

它这个期权被执行的概率 这个期权被执行的概率是

在风险中性概率下

这个期权被执行的概率

大家注意到由于

不同的计价物下概率分布是不一样的

二叉树模型的一个是pu和pd 是风险中性概率

而这个用S作为计价物的时候 风险资产作为计价物的时候

它的概率是qu和qd

所以不同的概率分布下 这个期权被执行的概率是不一样的

也就事件都是一样 都是S(T)大于等于K

但是定义了不同的概率

所以期权被执行的概率是不一样的

最后我们把这两个代进来

欧式看涨期权它是一份股份数值期权

的多头加上K分数值期权的一个空头的一个组合

代进来以后我们就可以得到这样一个期权定价公式

也就7-26式这个期权定价公式

这个式子大家可以看到

如果你学过这个期权定价公式的话 你可以对比一下

实际上这个概率是风险

风险资产作为计价物的时候

这个期权被执行的概率

实际上是BS模型里面

定价公式里面的所谓的N(d1), 风险中性概率测度下

这个期权被执行的概率

也就无风险资产作为计价物的时候 这个资产价格概率分布下

期权被执行的概率，就是BS模型的这个N(d2)

实际上在这个S(T) 我们前面给大家介绍过

我们下一章还会介绍 它在实际概率测度下

它的价格对数

是服从一个正态分布的

后面的章节我们分析也可以看得到就是在不同的计价物下

这个S（T）的分布还仍然是服从一个对数正态分布

当然分布的参数会发生变化

通过后面的这个变换可以看到

这个对数正态分布方差是不变的

但是它的期望值要发生变化

不同计价物下它有不同的概率分布

可以算出这个

不同计价物下的这个概率分布不同

我们可以计算出这个N(d1)和N（d2)

这个N(d1)和N（d2)实际上就是

是一个期权被执行概率实

不同的概率分布下这个S(T)大于等于K的概率

在数理统计里面有过分析 我们可以知道它就是

求一个

正态分布的一定区间的概率

这个计算是相对比较容易

我们这个用数理统计的基本方法就可以

把N(d1)和N（d2)计算出来

我们用鞅定价的方法就可以

很方便地解决欧式的看涨期权定价

欧式看涨期权的定价

对这个看涨期权定价给出来 如果是看跌期权的话

这是看跌期权的一个随机支付

就是看跌期权是一个卖权

就是按照事先约定好的价格卖出这个资产的权利

但是到期的时候才能卖 因为是欧式的看跌期权

当资产的市场价格低于这个协议价格的时候

我才会行使这个权利

我可以按照

市场价格把这个资产买回来 再按照协议价格卖出去

它可以赚取

协议价格K减去这个资产价格的这个收益

当然如果这个资产价格大于协议价格的时候 就不会

不会行使这个卖权 而放弃这个卖权 所以它收益为0

我们用这个前面同样的方式 我们定义一个I

这个I的话是ST小于等于K的时候它是等于1

大于K的时候等于0

用刚才同样的这个定价过程

就是用这个看涨期权同样的定价过程

可以推导出欧式看跌期权这个定价公式

也就K的现值乘以这个

无风险资产作为计价物的时候

欧式看跌期权被执行的概率 也就S(T)

小于等于K的概率 再减去一个这个资产价格的现值

乘以风险资产作为计价物的时候

欧式看跌期权被执行的概率 也就S(T)小于等于K的概率

这样的话我们就给大家

用这个鞅定价方法给大家推导出了

当然是还没有计算出这个N(d1)和Nd(2)

推导出一个阶段性的看跌看涨期权的定价公式

后面的章节就是要给大家推导

股票价格服从一个对数正态分布的时候

价格的对数服从正态分布的时候怎么计算

N(d1)和Nd(2)

或者在股票价格服从的几何布朗运动的情况下

怎么来推导出这个N(d1)和Nd(2)

这是我们后面的课程要学的内容

这个今天的课程我们就到这里了