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下面我们介绍在这个Ito里这个过程

也就介绍这个布朗运动的基础上我们介绍Ito过程

Ito过程指的是这样一个随机变量

如果它在时间上的这个变化规律可以用这个

8.5这个方程微分方程式来描述的话我们可以看到

其中这个B(t)是一个布朗运动这个μ和σ我们是

可以是两个随机过程也可以是两个常数这个

也就似乎μ和σ本身可以是两个随机过程

或者是两个随着时间变化而变化的这个变量

这个μ我们称为这个Ito过程的这个漂移项系数

这个μ(t)dt的话我们称为这个漂移项

而σ的话我们称为扩散系数

而这个σ乘以dB的话我们称为它的扩散项

大家可以看到相对于这个

布朗运动的话这个Ito过程就是它有一个时间趋势

就是说前面这一部分是它的时间趋势如果你求一个期望值的话

这个Ito过程增量的这个期望值的话它就是等于这个μ

乘以dt如果这个μ和σ取常数的时候我们称为X就是这个

(μ,σ)布朗运动

这个(μ,σ)它一般是要满足一个政策条件

也就是说这个布朗运动它的这个方差

方差应该是存在的或者说它的方差不能无穷大

就是一般情况下我们假设的就是t

在时间t的时候这个(μ,σ)是已知的

就是说你假设在当前的时间这个

漂移项系数是应该已知的扩散项系数应该也是已知的

那么这样的话你就确定它的这个趋势也就它的这个方差的大小

就可以确定出来了

这个Ito过程基础上我们就介绍这个Ito积分

因为它是一个微分方程它对应的有一个积分方程

就在任何时间这个T的时间上人们将

X的变化量时间加总我们可以得到8.6式也就是

如果知道了X0时刻的这个变量0时刻的变量X0

那我们就可以计算出X(T)大家可以看到

前面这两部分是它的这个期望值

X(0)加上μ在0到T上的这个积分这个是它的期望值

而后面一项Ito积分的后面那一项的定义也就是这个

μ(t)dt这两个是一个不同的积分

其中第二个积分它这可以看到是这样一个离散的这个求和

我们普通的微积分定义实际上它也是一个求和的概念

比如说Ti到Ti+1的时候它用的是它的中间

这个函数的中间值

来乘以这个△B(Ti)但是我们这里大家注意到

这个Σ大家可以看到它这个值用的是什么

它用的是Ti-1这个初始点的值而不是用的这个Ti-1和Ti的那个

那个中间的那个值为什么是用这样的因为这个Σ

我们知道这个Σ随着时间变化而变化的

随着时间变化而变化的也就ΣTi-1

和Ti之间的那个值具体是多少我们是

它是一个随机变量我们是不确定的但是在Ti-1时刻

那个ΣTi-1是确定的

我们这样定义的话这个就可以求出来了

这个积分我们称为Ito积分

下面我们来看一下这个Ito过程它的一些性质

我们前面说过这个Ito过程它的这个变化量的这个期望值

是等于μ(t)乘以dt当一个过程它的改变量的期望值等于0的时候

它才是一个鞅过程所以如果这个μ不等于0的话

这个Ito过程不是一个鞅过程这个大家要注意到的

当然如果μ大于0的时候那么随着X

随着时间的变化它有个递增的趋势

μ如果小于0的时候它是一个什么递减的趋势所以这个

相对布朗运动的话他就有一个时间趋势在这个时间趋势上

上面它有一个上下的这个波动

这个波动幅度是由这个Σ来决定的

它有一个上涨的趋势的像这个趋势是

上面它有一个波动或者一个下跌的趋势的时候

它这个趋势上有一个波动当μ等于0的时候

这个X的过程是一个鞅过程因为它的

这个X的这个增量的期望值就是等于什么等于0

符合那个鞅过程那个定义

这还有这个Ito过程如果是一个鞅过程这时候

如果是一个鞅过程也就μ等于0的情况下

我们可以算出这个X(T)的这个方差实际上

这个X(T)的方差是可以用这个式子计算出来的

这个式子大家可以简单做一个推导用那个求和的公式

因为X(T)它是通过那个求和

公式我们可以算出来最后它是等于这样一个积分

我们一般情况下要求这个积分的

这个Σ(t)的这个在时间上积分的期望值它是要小于

无穷大也就实际上是说它要存在的这是它的一个条件

还有这个dX的平方也就这个

Ito过程增量的平方我们可以做一个简单的推导

它最后就是等于这个Σ的平方乘以dt

这是由于这个dt的平方它是dt的高阶无穷小去掉了

还有第二项dt乘以dB它也是dt的高阶无穷小所以也去掉了

最后只有后面那一项dB的平方留下了

所以就是Σ平方dt这个性质是很重要的我们是

后面做这个Ito原理的时候就是要用到这个性质

这个性质实际上就是布朗运动的性质

这个它的二阶变差的性质来决定的

下面我们来介绍这个Ito原理

这个Ito原理它要解决的这个问题就是我们

在学普通的微积分的时候这个比如说y是这个

x和t的函数

如果x是一个普通的一个变量y的这个全微分方程

我们可以很快的计算出来这个T是时间

就是g相对于t的偏导数乘以dt

再加上g相对于x的偏导数再乘以dx

下面我们这个Ito原理就是要解决如果X是一个Ito过程的话

那么y的全微分应该是一个什么样的形式

这个Ito原理我们可以看到就是说

我们用这个泰勒展开g在这个做一个泰勒展开的话或者说

它高阶的这个全微分如果

把它写出来的话这前面两项是我们刚才介绍的

后面这个是dt的高阶项和dx的高阶项还有他们交叉项

以及后面还有很多忽略掉的

当然忽略掉的我们就肯定是还是更高阶项了

当x是一个Ito过程的时候我们前面说过这个dx的平方项

也就是dx的平方是不能忽略的

所以这时候这里的这项也就g相当于

X的二阶偏导数这一项是要保留下来

也就我们得到这个8.10式

就除了这个相对于普通的微分方程

除了前面两项以外还要保留第三项

由于这个第三项dx的平方它是等于Σ平方dt

所以这一项一定要什么把它保留下来这一项要保留下来

如果我们把这个dx的这个方程以及dx的平方的方程

代到这个8.10式上面整理一下我们就可以得到8.11式

这个从8.10式到8.11式这个转移应该是比较简单的就是

把dx的平方代到这上面来dx也代到这上面来

整理以后就得到这一项也就是dg它实际上

我们可以看到它也是一个Ito过程就这是前面这一串

它的什么漂移项系数它的波动它的这个

扩散项系数是等于Σ平方再乘以那个g相当于X的什么偏导数

就是所以这个g的话它也是一个Ito过程这就是这个

所谓的一维的Ito原理

也就是我们只有一个Ito过程X

一个Ito过程就即使这个Ito过程的这个和时间的这个函数

下面我们介绍这个多维的Ito过程以及多维的Ito原理

也就是这里有两个Ito过程X和y都是两个Ito过程

两个Ito过程这里就有两个布朗运动我们知道这个

B(X)它也是一个布朗运动B(Y)也是布朗运动

这两个布朗运动之间它有可能存在一定的相关性

实际上就是两个标准正态分布有可能是什么有一定的相关性

就是B(X)它的增量每一个单独的这个在时间上的增量它们是

独立的但是这两个变量这是两个不同的概念

B(x)也就dB(x)和dB(y)它可能具有一定的相关性的

这个相关性我们可以用它的协方差或者相关系数来表述

比如说给定这个t小于u也就是

t是当前的时间u是未来的一个时间

那么这两个增量x在时间上的增量

以及y在时间上的增量都是均值为0方程为u

减t的这个正态分布服从这两个正态分布的随机变量

有一定的相关性

这个相关性我们用这个它的相关系数ρ来描述

假如说在这个时间上的这个

从0到T之间它们这个也就是B(T)减去B(0)

这个时间改变了它们的相关性是可以用这个8.14式

来表示出来的话

这个ρ我们就称为这两个布朗运动的相关系数

当然我们后面分析的一般是这个ρ是一个常数

ρ这个常数就随着时间不变化的也就两个

布朗运动的相关系数是一个常数

这个常数的时候这个相关系数实际上大家可以看到就是

两个变量的协方差再除以两个变量的标准差

我们算出来正好是等于这个ρ的这个推导过程大家可以看到

所以我们下面就是要推导这个多维的这个Ito原理的时候

我们要常用到下面这三个式子一个是dx的平方

它是等于Σ平方乘以dt这是由于X是一个它是一个Ito过程

的一个结果这个y也是一样的dy的平方是等于Σ

的y的平方乘以dt还有dx乘以dy大家注意到

它是等于Σx乘以Σy再乘以ρdt

也就他们具有一定的相关系数为ρ

根据这三个式子我们来推导这个二维的Ito原理的时候

也就Z就是t以及XY的这个函数这个XY是两个

具有一定相关性的Ito过程

那么我们这个Z的这个全微分方程也就dz他就是由

这个式子表示出来

从前面三项是我们普通的全微分方程

后面这个就是由于它X和Y是两个Ito过程引起的

就dx的平方是等于Σxdt

dy的平方是等于Σy的平方dt

而dx乘以dy是等于Σx乘以Σy再乘以ρdt

这三项是不能忽略的这是要我们相当于这个

普通的这个微积分里面就是它多出来的这个三项