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下面我们来介绍这个期权对冲的问题

介绍我们前面第一种情形第二种情形是类似的也就是

投资者如果卖出了一份期权他们怎么来对冲这个期权

问题我们可以看到是这样它是在期权市场上

做出一个期权以后卖出一个期权以后

它实际上在后台它如果用其它资产来复制一个期权的话

它实际上就把这个期权的风险就把它完全对冲掉了

实际上我们通过我们前面这个二叉树模型的时候

介绍的时候或者无套利定价模型介绍的时候

这个期权实际上是可以用这个标的资产和无风险资产

这个来复制的

或者说我们用股票和期权是可以来复制一个无风险资产的

比如说我们下面考虑的问题就是看涨期权

来为例子我们首先给大家介绍的是一个所谓的δ对冲

用这个δ这个希腊字母维持这个δ的这个为0

构造这样一个组合来进行对冲

比如说对这个看涨期权而言

这样的组合我们可以通过持有δ份的标的资产的多头

和一份看涨期权的这个空头构成的一个资产组合

或者持有δ份标的资产的空头一份看涨期权的多头

构成的一个无风险资产组合也就这样一个投资组合

它是一个不存在对标的资产价格变化的一个风险暴露

构造这样一个无风险资产组合的话它可能是在某个时间点上

是一个δ为0的一个资产组合实际上或者是一个

不对这个标的资产价格有风险暴露的这个

资产组合但随着时间的变化

这个标的资产这个δ是不变的他一直是这个1

但是这个期权的δ随着时间的变化是发生变化的

就是你原来这个没有风险的

资产组合无风险的一个资产组合它随着时间变化以后

它就不再是一个无风险的资产组合了

所以要随时对这个投资组合要进行动态调整

就在实际操作中你不可能进行连续调整的

也就是说我们就是离散的时间点上可能过几条调整一次

所以说在现实当中是没办法进行完全的这个对冲的

下面我们做这个对冲原理介绍的时候我们先假设

如果能够进行完全的对冲的话

或者连续的对冲的话它的效果是怎么样的

我们先考虑这个连续对冲的情况我们来介绍对冲的原理

就投资者是构造了这样一个资产组合

就一份看涨期权的一个空头也就卖出了一个看涨期权

它为了对冲这个期权的话它购买了δ份标的资产的多头

这样一个资产组合我们可以看到它把这个

标的资产价格的这个风险就把它规避掉了

当然这个资产组合大家可以看到它要需要多少钱去买

它卖出这个一份期权它收回的现金是这个期权费用C

它买这个δ份的标的资产它需要支付的价格应该是δ乘以S

所以它这个构造前面两个资产的时候它需要的现金应该是C减去δS

我们假设这些钱是从市场上借来的

那么最后这个投资者的话就自己掏的钱的数量就是为0了

P等于0时刻的时候投资者自己的这个钱应该是为0

自己投资为0的一个资产组合称为一个自融资组合

也就是它通过卖空一些资产得到这个钱

来买进一些资产这里我们可以看到期权是空头

现金是空头现金空头也就是按照无风险利率借了钱

融来的这个资金卖空期权得到资金和借来的钱得到的资金

加起来去买了δ份的标的资产

这个资产组合对投资者而言在期初的价值应该是为0

那我们假设在一个很短的时间内有一个时间上的一个

变量也就是说假如说过了几分钟或者过了一个小时或者过了几天以后

这个资产组合这个价值的改变量我们可以计算出来

价格的改变量应该是三部分这个收益的这个求和

第一部分是这个期权的空头它的这个收益

那应该是等于负的DC因为DC的话是这个期权在这一段时间内

它的改变量是多头的价值

它是空头的应该是加一个负号负的DC

而δ份标的资产的这个多头它的收益有两部分

一部分是资本利得

这个资本利得我们可以用这个δ乘以DS来表示

还有一部分是它的红利收益Q乘以δ再除以sdt

上面一章的时候已经给大家介绍过

这个也就是投资标的资产的收益

它应该是两部分一个是红利收益一个是资本利得

这还有第三部分就是现金头寸

现金头寸它要支付利息也就现金头寸是支付利息

也就这个C减去这个δS实际上是一个负的值

就它代表借钱

这个借钱它要支付利息这个支付利息按照无风险利率支付应该是

所以它的这个是借的钱的数量再乘以Rdt

也就C减去△S的差再乘以这个rdt

这里就是三部分

第一个是期权价值的变化第二部分是

股票的资本利得和损失第三部分是

它分股票的红利第四部分是这个现金红利头寸的

现金这个头寸的这个利息支出我们知道

这个组合是一个自融资组合它期初的时候它价值是什么是0

所以根据无套利定价的原则这个投资组合价值的该变量

它应该也是为0也就9.22式它应该是等于0的

就是不存在这个套利计费

在我们把这个期权的价格用这个Ito原理把它展开来

也就是9.23式

也就是期权的价格它是等于这个δ乘以DS

再加上这个θ乘以dt

大家注意到这个t是当前的时间

这个dt增加实际上对应的那个期限是什么减少

为什么它是这个是加上θdt这个原因

t往前走对应的是这个期权的这个剩余期限是减少的

第三部分是它的这个γ项也就1/2γ

再乘以Σ平方S的平方dt

我们将这个

9.23式代到我们前面的这个9.22式里面我们就可以得到9.24式

9.24式大家可以看到这里实际上这个dt是可以除掉的

就是9.24式这个方程的两边都除以这个dt得到一个 偏微分方程

这个偏微分方程实际上就是那个经过无套利定价的方法

这里我们知道我们这里实际上也是无套利定价

用到的这个方法得到那个偏微分方程这两个偏微分方程是完全一样的

通过9.24式我们可以看到就这个δ对冲里面

它消除了标的资产价格的这个风险暴露

因为这个9.24式里面已经没有这个什么没有DS这一项了

大家注意到所以这个δ对冲是消除了标的资产价格变化带来的这个风险

这里这个θ是负的所以期权的空头

大家注意到期权的多头是时间往前走的时候

这个期权的内在价值是减少对期权的多头来说它是

随着时间往前走的时候期权的多头是亏钱的

但是对期权的空头而言随着时间往前走这个剩余期限减少

期权的时间价值减少所以它从这个期权

的空头可以在时间的减少上是可以获利的

也就9.24式里面第一项应该是正的

也就负的θdt是正的再还有大家注意到

第二项这个γ是正的所以这样的一个投资组合

就γ空头的这个投资组合成为凸性空头的一个投资组合

这时候这个标的资产价格的波动会使得这个

凸性空头的这个投资组合遭受损失

实际上就是这个资产价格的这个波动从凸性的角度来看

对这个期权的空头来说是由损失的对多头来说是盈利的

所以第二项就负的1/2γΣ平方S的平方dt应该是负的

大家注意到这个是我们对这个看涨期权来说是这样的

实际上对看跌期权来说前面两项也就第一项这个负的θdt

它也是这个正的第二项它也是负的第三项标的资产的收益

因为它持有的是标的资产的多头所以第三项应该是正的

最后一项是这个什么利息支出这个也是负的

所以这里面正的有几项正的有两项

一个是θ这一项是正的还有一项这个红利收入是正的

负的有几项负的有两项

也就这个凸性这一项是负的还有这个利息支出这一块

它也是负的

两项正的和两项负的是完全抵消掉的

它就不受到这个标的资产价格的这个影响

9.24式它是等于0的

这就是我们这个δ对冲的这个原理