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下面四种定价方法均是基于无套利假设

只是不同的这个表现形式

第一个是复制定价法

第二个是状态价格定价法 第三个是风险中性定价法

第四个是鞅定价方法

下面逐个介绍 首先介绍这个

复制定价方法

复制定价方法它基本思路是这样的 我们要

定价一个衍生产品

那我们就用市场上其它资产来复制这个衍生产品

或者说我们用衍生产品和其它的资产来复制第三个资产

那么复制其它的这个资产

最后复制出的这个组合当前的价格

和这个被复制的资产价格应该是要相等的

那么我们下面看一个例子 来理解这个复制定价方法

假设市场上存在一种不支付红利的股票

这个股票当前的价格是10块钱

3个月以后这个股票的价格是不确定的

通过下一章的学习大家可以看到 我们可以假设

3个月以后这个股票价格可能是遵循某一个概率分布

后面会假设这个股票价格的对数遵循正态分布

这里就是先简化起见

假设3个月以后

这个股票价格它可能是有两种状态

也就是说我们用两种可能的值来近似的代替那个分布了

它有两种状态要么是11块钱要么是9块钱

这是未来这两种可能状态 它当前的价格是10块钱

市场上还有一个资产 很重要的一个资产 就是无风险资产

这个无风险资产我们可以用无风险利率来描述它

无风险年利率是10% 是连续复利率

无风险资产就意味着如果你现在是一块钱的话

那么三个月以后不管市场状态是怎么样的

它的这个能够得到的这个资金

收回的这个资金数量应该是相等的

现在是一块钱那么三个月以后的收回资金数量应该是e的10%

乘以0.25次方

那么现在要定价的一个资产是一个期权

3个月的期权协议价格为10.5元

一个欧式看涨期权

对这个资产进行定价

这里用的是一个二叉树模型

也就是两种状况的二叉树模型

这个二叉树是这个股票价格的这个二叉树

也就当前10块钱 未来要么11 要么是9块钱

第二个是这个是一个看涨期权

所谓看涨期权就是一个买权 也就是说投资者

买了这个期权以后 它将来获得一项权利

可以按照10.5元的价格买进这个标的资产

也就买进这个股票

大家可以看到如果未来这个股票价格为11块钱的时候

你可以按照10.5元的价格买进

也就你按照10.5元的价格买进来以后

执行这个期权按照10.5元的价格买进

然后再按照11块钱把这个股票卖出去

那么执行这个期权带来的收益就是多少0.5元

也就是说股票价格为11块钱的时候 这个期权的价值是0.5元

当然如果股票价格为9块钱的时候 这个期权肯定是不会执行的

因为你不可能

按照10.5元的这个执行价格把这个股票买进来

再按照9块钱把这个股票卖出去

肯定这个期权就会放弃

所以在股票价格为9块钱的时候

这个期权带来的收益就是0元

这个协议价格为10.5元的这个期权

根据这个股票价格这个两种可能状态

它的未来的可能的这个收益状态

所谓期权定价也就是这项权利现在值多少钱

或者这个权利金应该是多少钱

这个权利金我们也可以叫做期权费用 期权的价格

它都是说的同样一个事情 就是这个C

你获得这项权利应该付出多少的代价

或者我出让这项权利应该收回多少这个费用

下面我们就用这个复制定价方法来对这个问题进行分析

我们大家注意到我们还有一个资产就是无风险资产

我们实际上这里有3个资产

一个是期权是我们要定价的资产 一个是股票

还有一个无风险资产

我们下面要做的事情就是用这个股票和这个期权

复制一个无风险资产 大家可以看是这样来做的

就是我卖空了一个期权 这个期权是这个空头也就是

收入期权费用 我们现在要定的就是这个期权费用

卖空这个期权

卖空这个期权以后实际上就是

将来可能是一个或有的负债的

同时我现在要买一定数量的股票

构成这样一个资产组合

这个资产组合要成为一个无风险资产组合

那这个期权的数量

期权控制的数量是一单位的期权 我们已经固定下来了

那这个股票的数量我们假如说是δ

δ单位或者δ份的标的股票

这个资产组合要成为无风险的资产

组合的话 这意味着将来不管是股票价格

处于什么位置 也就是11块钱或者是9块钱的时候

这个资产组合的价值应该是相等的

也就是说

这个资产组合大家可以看到 如果股票价格为11块钱的时候

股票的这个价值应该就是11乘以δ

期权应该是卖出去了是空头所以要减去0.5

也就是一个负债这是

股票价格为11块钱的时候这个资产组合的价值

当然如果这个资产为9块钱的时候那个期权价值为0

到期的时候

所以这个资产组合它的价值就为9δ

我们假设这两种状态下这个资产组合到期的时候价值

相等

也就7-1式 根据7-1式我们求出这个δ 等于0.25

也就是说卖空一个期权以后我们买进0.25分的股票

这个资产组合它到期的时候

它三个月以后的价值

这个资产组合的价值和这个股票的状态是没有关系的

它是相等的

所以相等的意味着什么这个

资产组合就是一个无风险的资产组合

就是没有风险的一个资产组合

无风险的一个资产组合那么它就可以按照

无风险利率对这个资产组合来进行贴现

那么算出来的现值那么该组合的现值 也就是9δ

也就是9δ 等于2.25

算出来再按照10%的

贴现利率贴现 计算出来以后等于2.19元

也就这个资产组合的现值是2.19元

这个资产组合的现值我们还有另外一种方式来计算

另外一个

方式就是0.25份股票的多头 也就是10乘以0.25

这是这个股票当前的价值

还有这个期权是卖出去是收回资金的

所以我们自己投入钱的数量应该就要减去这个C

也就是10乘以δ减去C

实际上是自己掏这个钱来构造这个资产组合

这个也是这个资产组合当前的价值

但注意到这里是要减去C 是因为这个是卖出这个期权

是收回的资金 我们根据无套利定价的原则

也就是按照无风险利率贴现的价值

它应该是等于这个这个资产组合

现在的构造成本

根据这个等式我们可以算出这个C来

大家注意到我们现在用的这个方法是用这个股票

和多头加上期权的空头来构造了一个无风险资产

事实上这三个资产任何两个资产

能够复制出第三个资产

比如说我们大家还可以考虑一种方法

直接用股票和无风险资产来复制这个期权

比如说股票的数量用X单位

加上Y单位的无风险资产 也就Y元的无风险资产

这个资产组合到期的时候 它的价值

要等于这个期权的价值也就11X

加上这个Y乘以e的这个10%乘以0.25次方 也就那个

无风险资产的价值 无风险资产价值确定的

它是等于那个0.5

当然如果股票价格为9块钱的时候那应该就是

9X加上Y乘以e的10%乘以0.25次方 等于0

这样可以解出这个X和Y来

那么这个期权的价值应该就等于

10X加上Y

也就我们直接用这个股票和无风险资产复制这个期权

也可以直接把这个期权的价值可以算出来

实际上大家课后自己算一下