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下面我们就介绍分别以这三个资产作为计价物的时候

这个S这个资产它的这个随机过程是怎么发生变化的

也分别以r作为计价物以V作为计价物以及Y作为计价物的时候

这个S这个资产的随机过程由原来的这个就实际的这概率测度

下的这个随机过程变成一个什么样的随机过程

也就你这个随机过程指导了

实际上就说你知道今天的价格那么到期的时候这个

不同计价物下的这个资产价格的这个分布也就是知道了

我们首先用的是第一个资产无风险资产

无风险资产作为计价物也就rT作为计价物的时候

这个它是怎么来算它的这个随机过程的

这个概率测度变换基本的思路或者具体的步骤是这样的

我们选择一个计价物的时候就确定其它资产与这个计价物的比值

是一个鞅过程

我们对这个比值用一下我们的Ito原理

因为这个比值是一个鞅过程那么比值的那个微分

它的漂移项系数应该就等于0

我们来确定这个dS/S的漂移项系数应该是等于多少

确定出它的dS/S的漂移项系数出来了

那么它的这个什么波动项不会变化

那么这时候我们就可以确定出这个

某一个计价物下的这个dS/S的随机过程

我们具体一个个来运用这三个计价物下

这个dS/S的这个随机过程应该是怎么样一个形式

首先我们选择这个无风险资产作为计价物的时候

选择无风险资产作为计价物的时候也就我们构造一个比值ZT

是VT比上RT这个比值是一个鞅过程

我们对这个比值用一下Ito原理具体这个计算就是8.30式

大家自己来这个运用一下

就说我这里就不再一个个推导你自己

实际上用我们前面那个比值公式套进来

比值公式套进来以后呢你可以得到8.30式

这个8.30式实际上这个Z的这个漂移项系数要等于0

Z的漂移项要等于或者是那我们这个dS

dS/S漂移项系数应该是等于多少

大家可以看到也就是这个dt前面这个系数要抵消掉

所以dS/S的漂移项系数一定是这个r减q

或者是它的漂移项一定是这个r减q乘以dt

它的漂移项一定是等于r减q乘以dt所以用这个

无风险资产作为计价物的时候

这个风险资产的这个随机过程

一定是等于就dS/S一定是等于r减q乘以dt再加上ΣS

dBS这个dBS我们上面加一个r代表的是这个什么

无风险资产作为计价物下它也是一个布朗运动

也就是BSr它是整个风险概率测度下

这个也是一个风险中性测度的一个布朗运动

实际上大家可以把这个dS/S代到那个

红利再投资的那个V的那个微分方程里面去

你可以看到那个dV/V他就是等于edt

再加上ΣSdBS也就是说那个红利再投资那个资产

在这个风险中性概率下或者是无风险资产作为计价物下的这个

概率下面它的期望收益

是无风险利率r也就是一个风险资产的期望收益等于r

所以我们称为一个风险中性概率测度

这就为什么称为一个风险概率中性的一个概率测度的原因

在这也就风险资产它的在以r作为计价物的时候

它的期望收益是等与无风险利率的但不是S的这个

期望收益是无风险利率因为S它有分红所以它的这个

增长速度大家可以看到它有个露出这个Q相当于一个露出

漏到哪里去了漏到红利去了

但是红利再投资的那个资产V也就dV/V漂移项是rdt

也就是一个v的这个资产的期望收益是一个无风险利率

下面我们选择第二个资产作为计价物

就是第二个资产是选择这个红利再投资的这个资产VT

作为计价物

当然这个VT大家可以看到dV/V它是等于qdt再加上dS/S

vt作为计价物的时候这个rt/vt是一个鞅过程

大家注意到我这里构造的是和前面是反过来的

前面是rT作为计价物的时候vT比上rT是一个鞅过程

而这里是VT作为计价物的时候rT/vT是一个鞅过程

那么对这个ZT用一下Ito原理我们可以得到8.32式

这个具体的也是一个前面的比值公式

代进来就可以得到了

所以自己在下面自己整理一下可以看到就是这样一个形式

为了保证这个z的漂移项系数

漂移项为0的话那么这dS/S的这个漂移项系数

它一定是r减q加上ΣS的平方或者它漂移项

再乘一个dt所以用这个

红利再投资这个风险资产作为计价物的时候

这个股票风险资产的随机过程一定满足8.33式

8.33式大家注意到这个什么它的漂移项由原来的μ

变成了r减q加上ΣS的平方漂移项系数变成了这个

后面这个dBVS也就BSV指的是以VT作为计价物时候

对应的那个概率布朗运动也就它也是一个布朗运动

大家可以看到这个dS/S它的漂移项系数发生了变化它的

扩散项系数在这个不同的计价物下都是一样的

在前面的这个rT作为计价物的时候它的扩散项系数也是ΣS

风险资产红利再投资的风险资产VT作为计价物的时候

它的漂移项系数也是这个ΣS

也就是它不同的计价物下

它这个改变的是这个漂移项系数而不会改变这个扩散项系数

这和我们前面所做不同计价物下

这个概率测度变化的这个基本的这个思路是一样的

下面最后一个以这个YT作为计价物的时候

那么我们也是构造这个VT比上YT它是一个鞅过程

实际上还有一个rT比上YT也是一个鞅过程

为了求出YT的这个随机过程我们还是要用这个rT比上YT

是一个鞅过程实际上用一下我们前面第二种情况

那个公式也就是用一下这个公式用到Y这个资产上

Y这个资产我们知道qY是等于什么是等于0的

所以Y这个资产的这个漂移项系数应该是等于什么

在这个用Y自己作为计价物的时候

它的漂移项系数应该是r加上ΣY的平方大家注意到

也就是Y的漂移项系数必定是等于r加上ΣY的平方

乘以dt这个漂移项这部分

就是我们这个8.33式用到这个Y这个资产上的时候

得到这个Y的这个漂移项的部分

那么对这个ZT用一下这个Ito原理我们可以得到8.34式

这个也是用的我们前面的这个比值的这个公式就我刚才

讲这个比值公式的时候就给大家说过就是这个公式

那个公式反复要用到的这里我们就用到三次了

我们把这个dY比上Y这个代进去以后

那么这个Z的这个漂移项系数要等于0的话

我们知道这个S的这个随机过程一定要是这个形式

或者它的漂移项系数一定是r减q再加上ρΣS

再乘以ΣY把这个dS/S这个8.35式

和这个Y的漂移项系数代进去以后我们得到这个Z

实际上它是两个几何布朗运动的一个线性组合

就两个几何布朗运动组合它还是一个鞅过程这个Z

这里我们就是推导出了这个什么Y作为计价物下的这个

这个风险资产应该遵循的这个什么随机过程

这里的BSY也就是资产Y作为计价物的时候的一个布朗运动

到目前为止就是我们可以给大家推导出了一个是

无风险资产rT作为计价物的时候

这个S这个资产应该遵循的随机过程

以及用这个红利再投资的这个资产VT作为计价物的时候

这个S遵循的这个随机过程最后我们是Y作为计价物的时候

它作为计价物的时候这个S这个资产所遵循的随机过程

实际上第三个式子它可以把前面两个式子包含起来的

为什么这么说

大家可以看到如果Y这个资产就是那个

无风险资产的话rT的话它是无风险资产意味着什么

意味着Y这个资产ΣY应该是等于什么应该是等于0

μY就是等于r

这个大家可以看到Y是无风险资产的ΣY等于0那么这个

8.35式这个就变成了我们前面的无风险资产作为计价物的时候

S的这个随机过程

再还有如果Y这个资产就是V这个资产

Y这个资产如果就是V这个资产大家可以看到这ΣS就是什么

等于ΣY

ρ它应该是等于多少ρ就等于1

因为它是相同的一个资产ρ等于1

ΣS等于ΣY这个8.35式就变成我们这个8.33式

所以这个8.35式它是把前面两个式子

就分两种情况都可以包含进来的

当然我们这里就是把它区分来

也就是8.335式这个式子是一个更一般的或者是Y作为计价物的时候

它是一个更一般的式子

前面两个式子都是它们的一个什么特例

现在我们把不同计价物下这个股票价格的这个随机过程

给他推导出来了

我们把这个不同的公式我们可以把它统一的表述出来

就是我们这个num作为某一个计价物这个num可以是我们前面那个

无风险资产rT也可以是我们的那个VT也可以是Y那个资产

我们前面是用的这个价格的这个收益率

dS/S的形式

用那个式子我们稍微给它变化一下就我们可以把它变成这个对数

拆分的形式也就是我们前面介绍的那个几何布朗运动

其中四个这个什么等价的这个式子的第二个

我们可以写成这个价格的对数它是服从这个Ito过程

其中这个不同的计价物下面它的漂移项系数不一样的

漂移项系数这个α也就是那个αnum

由无风险资产作为计价物的时候这个αr

它是等于r减q再减去1/2ΣS的平方

而当用这个V作为计价物的时候这个αV

也就是等于r减q再加上1/2ΣS的平方

当Y作为计价物的时候这个αY是等于r减q再加上ρ

ΣSΣY再减去1/2ΣS的这个平方

也就不同计价物下它的漂移项系数不一样

最后我们看到这个也就是这个αnum它是不同的形式

后面这个1/2ΣS这个平方这些项怎么出来的大家可以对照一下那个

就是我们几何布朗运动的第二个式子

对照一下大家就可以看到它为什么有那一项并且

不同的计价物下它的形式是不一样的

这个Bnum是不同计价物下的这个布朗运动

我们用8.35式就把我们前面的式子就是三个这个

股票价格的随机过程就统一起来了

股票价格的这个随机过程就统一起来了