当前课程知识点:金融工程 > 第八章 连续时间模型 > 第八章 连续时间模型 > 06
下面我们就介绍分别以这三个资产作为计价物的时候
这个S这个资产它的这个随机过程是怎么发生变化的
也分别以r作为计价物以V作为计价物以及Y作为计价物的时候
这个S这个资产的随机过程由原来的这个就实际的这概率测度
下的这个随机过程变成一个什么样的随机过程
也就你这个随机过程指导了
实际上就说你知道今天的价格那么到期的时候这个
不同计价物下的这个资产价格的这个分布也就是知道了
我们首先用的是第一个资产无风险资产
无风险资产作为计价物也就rT作为计价物的时候
这个它是怎么来算它的这个随机过程的
这个概率测度变换基本的思路或者具体的步骤是这样的
我们选择一个计价物的时候就确定其它资产与这个计价物的比值
是一个鞅过程
我们对这个比值用一下我们的Ito原理
因为这个比值是一个鞅过程那么比值的那个微分
它的漂移项系数应该就等于0
我们来确定这个dS/S的漂移项系数应该是等于多少
确定出它的dS/S的漂移项系数出来了
那么它的这个什么波动项不会变化
那么这时候我们就可以确定出这个
某一个计价物下的这个dS/S的随机过程
我们具体一个个来运用这三个计价物下
这个dS/S的这个随机过程应该是怎么样一个形式
首先我们选择这个无风险资产作为计价物的时候
选择无风险资产作为计价物的时候也就我们构造一个比值ZT
是VT比上RT这个比值是一个鞅过程
我们对这个比值用一下Ito原理具体这个计算就是8.30式
大家自己来这个运用一下
就说我这里就不再一个个推导你自己
实际上用我们前面那个比值公式套进来
比值公式套进来以后呢你可以得到8.30式
这个8.30式实际上这个Z的这个漂移项系数要等于0
Z的漂移项要等于或者是那我们这个dS
dS/S漂移项系数应该是等于多少
大家可以看到也就是这个dt前面这个系数要抵消掉
所以dS/S的漂移项系数一定是这个r减q
或者是它的漂移项一定是这个r减q乘以dt
它的漂移项一定是等于r减q乘以dt所以用这个
无风险资产作为计价物的时候
这个风险资产的这个随机过程
一定是等于就dS/S一定是等于r减q乘以dt再加上ΣS
dBS这个dBS我们上面加一个r代表的是这个什么
无风险资产作为计价物下它也是一个布朗运动
也就是BSr它是整个风险概率测度下
这个也是一个风险中性测度的一个布朗运动
实际上大家可以把这个dS/S代到那个
红利再投资的那个V的那个微分方程里面去
你可以看到那个dV/V他就是等于edt
再加上ΣSdBS也就是说那个红利再投资那个资产
在这个风险中性概率下或者是无风险资产作为计价物下的这个
概率下面它的期望收益
是无风险利率r也就是一个风险资产的期望收益等于r
所以我们称为一个风险中性概率测度
这就为什么称为一个风险概率中性的一个概率测度的原因
在这也就风险资产它的在以r作为计价物的时候
它的期望收益是等与无风险利率的但不是S的这个
期望收益是无风险利率因为S它有分红所以它的这个
增长速度大家可以看到它有个露出这个Q相当于一个露出
漏到哪里去了漏到红利去了
但是红利再投资的那个资产V也就dV/V漂移项是rdt
也就是一个v的这个资产的期望收益是一个无风险利率
下面我们选择第二个资产作为计价物
就是第二个资产是选择这个红利再投资的这个资产VT
作为计价物
当然这个VT大家可以看到dV/V它是等于qdt再加上dS/S
vt作为计价物的时候这个rt/vt是一个鞅过程
大家注意到我这里构造的是和前面是反过来的
前面是rT作为计价物的时候vT比上rT是一个鞅过程
而这里是VT作为计价物的时候rT/vT是一个鞅过程
那么对这个ZT用一下Ito原理我们可以得到8.32式
这个具体的也是一个前面的比值公式
代进来就可以得到了
所以自己在下面自己整理一下可以看到就是这样一个形式
为了保证这个z的漂移项系数
漂移项为0的话那么这dS/S的这个漂移项系数
它一定是r减q加上ΣS的平方或者它漂移项
再乘一个dt所以用这个
红利再投资这个风险资产作为计价物的时候
这个股票风险资产的随机过程一定满足8.33式
8.33式大家注意到这个什么它的漂移项由原来的μ
变成了r减q加上ΣS的平方漂移项系数变成了这个
后面这个dBVS也就BSV指的是以VT作为计价物时候
对应的那个概率布朗运动也就它也是一个布朗运动
大家可以看到这个dS/S它的漂移项系数发生了变化它的
扩散项系数在这个不同的计价物下都是一样的
在前面的这个rT作为计价物的时候它的扩散项系数也是ΣS
风险资产红利再投资的风险资产VT作为计价物的时候
它的漂移项系数也是这个ΣS
也就是它不同的计价物下
它这个改变的是这个漂移项系数而不会改变这个扩散项系数
这和我们前面所做不同计价物下
这个概率测度变化的这个基本的这个思路是一样的
下面最后一个以这个YT作为计价物的时候
那么我们也是构造这个VT比上YT它是一个鞅过程
实际上还有一个rT比上YT也是一个鞅过程
为了求出YT的这个随机过程我们还是要用这个rT比上YT
是一个鞅过程实际上用一下我们前面第二种情况
那个公式也就是用一下这个公式用到Y这个资产上
Y这个资产我们知道qY是等于什么是等于0的
所以Y这个资产的这个漂移项系数应该是等于什么
在这个用Y自己作为计价物的时候
它的漂移项系数应该是r加上ΣY的平方大家注意到
也就是Y的漂移项系数必定是等于r加上ΣY的平方
乘以dt这个漂移项这部分
就是我们这个8.33式用到这个Y这个资产上的时候
得到这个Y的这个漂移项的部分
那么对这个ZT用一下这个Ito原理我们可以得到8.34式
这个也是用的我们前面的这个比值的这个公式就我刚才
讲这个比值公式的时候就给大家说过就是这个公式
那个公式反复要用到的这里我们就用到三次了
我们把这个dY比上Y这个代进去以后
那么这个Z的这个漂移项系数要等于0的话
我们知道这个S的这个随机过程一定要是这个形式
或者它的漂移项系数一定是r减q再加上ρΣS
再乘以ΣY把这个dS/S这个8.35式
和这个Y的漂移项系数代进去以后我们得到这个Z
实际上它是两个几何布朗运动的一个线性组合
就两个几何布朗运动组合它还是一个鞅过程这个Z
这里我们就是推导出了这个什么Y作为计价物下的这个
这个风险资产应该遵循的这个什么随机过程
这里的BSY也就是资产Y作为计价物的时候的一个布朗运动
到目前为止就是我们可以给大家推导出了一个是
无风险资产rT作为计价物的时候
这个S这个资产应该遵循的随机过程
以及用这个红利再投资的这个资产VT作为计价物的时候
这个S遵循的这个随机过程最后我们是Y作为计价物的时候
它作为计价物的时候这个S这个资产所遵循的随机过程
实际上第三个式子它可以把前面两个式子包含起来的
为什么这么说
大家可以看到如果Y这个资产就是那个
无风险资产的话rT的话它是无风险资产意味着什么
意味着Y这个资产ΣY应该是等于什么应该是等于0
μY就是等于r
这个大家可以看到Y是无风险资产的ΣY等于0那么这个
8.35式这个就变成了我们前面的无风险资产作为计价物的时候
S的这个随机过程
再还有如果Y这个资产就是V这个资产
Y这个资产如果就是V这个资产大家可以看到这ΣS就是什么
等于ΣY
ρ它应该是等于多少ρ就等于1
因为它是相同的一个资产ρ等于1
ΣS等于ΣY这个8.35式就变成我们这个8.33式
所以这个8.35式它是把前面两个式子
就分两种情况都可以包含进来的
当然我们这里就是把它区分来
也就是8.335式这个式子是一个更一般的或者是Y作为计价物的时候
它是一个更一般的式子
前面两个式子都是它们的一个什么特例
现在我们把不同计价物下这个股票价格的这个随机过程
给他推导出来了
我们把这个不同的公式我们可以把它统一的表述出来
就是我们这个num作为某一个计价物这个num可以是我们前面那个
无风险资产rT也可以是我们的那个VT也可以是Y那个资产
我们前面是用的这个价格的这个收益率
dS/S的形式
用那个式子我们稍微给它变化一下就我们可以把它变成这个对数
拆分的形式也就是我们前面介绍的那个几何布朗运动
其中四个这个什么等价的这个式子的第二个
我们可以写成这个价格的对数它是服从这个Ito过程
其中这个不同的计价物下面它的漂移项系数不一样的
漂移项系数这个α也就是那个αnum
由无风险资产作为计价物的时候这个αr
它是等于r减q再减去1/2ΣS的平方
而当用这个V作为计价物的时候这个αV
也就是等于r减q再加上1/2ΣS的平方
当Y作为计价物的时候这个αY是等于r减q再加上ρ
ΣSΣY再减去1/2ΣS的这个平方
也就不同计价物下它的漂移项系数不一样
最后我们看到这个也就是这个αnum它是不同的形式
后面这个1/2ΣS这个平方这些项怎么出来的大家可以对照一下那个
就是我们几何布朗运动的第二个式子
对照一下大家就可以看到它为什么有那一项并且
不同的计价物下它的形式是不一样的
这个Bnum是不同计价物下的这个布朗运动
我们用8.35式就把我们前面的式子就是三个这个
股票价格的随机过程就统一起来了
股票价格的这个随机过程就统一起来了
-课程大纲及说明
--html
-教材与参考书
--html
-导论
--导论1
--导论2
--导论3
--导论4
--导论5
--导论6
--导论7
-第0章 导论--导论
-小节
--第一章 01
--第一章 02
--第一章 03
--第一章 04
--第一章 05
--第一章 06
--第一章 07
--第一章 08
--第一章 09
--第一章 10
-小节--作业
-第二章 期货市场的运作机制
-第二章 期货市场的运作机制--作业
-第三章 利用期货的对冲策略
--第一节 基本原理
--第三节 基差风险
--第四节 交叉对冲
-第三章 利用期货的对冲策略--作业
-第四章 利率与利率期货(第一部分:利率)
-第四章 利率与利率期货(第一部分:利率)--作业
-第四章 利率与利率期货(第二部分:利率期货)
--01
--02
--03
--04
--05
--06
--07
--08
-如何确定远期和期货的价格
--Video
--Video
--金工第五章3
--金工第五章4
--金工第五章6
--金工第五章7
--习题
-小节
-第五章 如何确定远期和期货的价格 (2)--小节
-第一节 利率互换
--第六章 互换01
--第六章 互换02
--第六章 互换03
--第六章 互换04
--第六章 互换05
--第六章 互换06
--第六章 互换07
--第六章 互换08
--第六章 互换09
-第二节 货币互换
--第六章 互换10
--第六章 互换11
--第六章 互换12
--第六章 互换13
-第六章 互换--习题
-金融衍生产品定价原理
--01
--02
--03
--04
--05
--06
--Video
--08
-第八章 连续时间模型
--01
--02
--03
--04
--05
--06
--07
-第九章 期权定价与套期保值
--01
--02
--03
--04
--05
--06
--07
--08
--09
-第十章 波动率建模
--01
--02
--03
--04
--05
--06
--07
-第十一章 期权定价数值方法
--01
--02
--03
--04
-第十二章 复杂衍生产品
--01
--02
--03
--04
--05
--06
--07
--08
--09