Video在线视频

下面我们把这个鞅定价公式做一个一般化的一个表述

在我们上式得含义为 P(t)比上R(t)

是随着时间变化而变化的一个随机变量

在风险中性这个概率下面这个比值是一个鞅过程

大家可以看到R(t)

实际上是一个随着时间变化确定性变化 但是P(t)

是一个随着时间变化的变量

这个鞅定价公式就可以写成

P(0)比上R(0)是它当前的这个比值

等于未来比值的一个期望值

当然这个期望值在风险中性概率下

这里这个E下的0是代表当前的时间

这个R是代表风险中性概率下计算的期望值

也就说我们前面的那个pu和pd那个概率下

计算的这个期望值 这个公式就是一个鞅定价的公式

现在我们是用的这个计价物

是无风险资产R(t)作为一个计价物

下面我们考虑另外一个计价物

也就采用某个风险资产作为计价物的时候

这个鞅定价公式怎么表示的

我们这里就考虑了风险资产作为计价物

为了方便起见的话我们先考虑

红利收益率q等于0的情况

根据我们前面的这个定价公式

也就是S等于Su乘以πu加上Sd乘以πd

这个风险资产

S它可以看成Su份第一个Arrow证券

加上Sd份第二个Arrow证券的一个组合 所以这个

资产价格就等于这个资产组合的价值

这个式子我们做一个简单的变化 也就把这个

左边的这个S除到右边去

除以了S以后 我们就可以得到后面这个式子

也就是Su乘以πu除以S 再加上Sd乘以πd除以S

等于1

我们定义qu是等于πu乘以Su除以S 这个是大于0

πu Su和S都是大于0的

所以它是大于0 我们定义qd是等于πd乘以Sd

再除以S 这个也是大于0

并且它的qu加上qd的和为1

所以我们可以把股票价格上升的概率

认为qu 股票价格下跌的概率认为是qd

它们各自大于0 且和为1

就可以看成这个两个概率了 通过这个

qu定义为第一种状态出现的概率 也就上升的概率

qd定义为股票价格下跌的概率

采用风险资产计价物的时候 前面的7-14式

实际上做一个简单变换以后 可以变成7-19式

大家可以自己在下面转换一下 我就是这里就不做

推导了 可以变成这个式子

这个式子的含义怎么样

这个方程的左边它是

当前的这个比值 这个P比上S是当前的比值

和右边它定义的是什么

风险资产作为计价物的时候其它资产与这个风险资产的比值

在这个qu和qd这个概率下的期望值

这个就是说风险资产作为计价物的时候

其它资产与这个风险资产的比值

在这个qu和qd这个概率分布下

是一个鞅过程

也就选择不同的计价物 我们现在选择了

风险资产作为计价物 并且和这个计价物对应的这个概率

它是qu和qd qu和qd是这样定义出来的

就到现在为止我们给大家介绍了

一个是选择无风险资产作为计价物的时候

鞅定价的公式

以及选择风险资产作为计价物的时候 鞅定价的公式

下面我们把这两个公式可以做一个一般化的表述

现在我们这个鞅定价模型一般化表述就是这样

前面的这个公式的推导是

基于二叉树模型或者两状态模型

这个鞅定价模型在连续分布下是不是成立

现在还没给大家一个解答

事实上它是成立的

我们这里不作严格的证明

教材上有一些叙述

认为在这个连续状态下这个鞅定价公式也是成立的

我们用这个num作为一个计价物

它可以是风险资产也可以是无风险资产

就鞅定价的公式可以表述成这样一般的这个式子

这个当前的时间是t P(t)比上numt这个是计价物

其它资产与这个计价物的比值

它当前比值等于未来这个比值的期望值

当然这个期望值是在这个对应的这个概率下的期望值

如果选择无风险资产的时候这个num就是等于R

就是我们pu和pd在那下面求期望值

如果选择的风险资产S的 那么它的S的收益率

红利收益率为0的时候 前面给它定义了

qu和qd

这时候期望值就是在qu和qd下的求这个期望值

这个num就是S

这个表示的是

以资产num作为计价物的概率分布下的期望值

当这个公式稍微做一个简单的变化就可以得到

7-21式 这个式子就是我们这个鞅定价的

最后算这个价格的这个式子

最后又要反复强调一下这个式子

它是无套利定价下推导出来的一个公式

实际上就是无套利定价的一种数学表示方式

这种数学表达方式最主要的目的是

方便这个衍生产品

特别是期权 或者更复杂的衍生产品的定价