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我们第八章连续时间模型

我们在第七章的时候给大家介绍了

鞅定价的方法

用来解决这个衍生产品的定价

在用鞅定价的方法来对期权进行定价的时候

最关键的是要计算出不同的计价物下

对应的概率测度下面这个期权被执行的概率

也就所谓的尾部概率

而我们这一章的话就是通过引入这个连续时间的这个随机

模型

来解决这个连续时间下的这个期权

在不同计价物下的这个执行的概率

最后来解决这个期权的定价

这一章主要的内容是这一些

首先是介绍这个布朗运动以及布朗运动的一些性质

在这个基础上我们来引出这个Ito过程和Ito原理

以及这个多维的Ito过程

最后我们是关键的是就是介绍描述股票价格的这个

几何布朗运动以及不同的这个计价物下

这个概率测度的变化

在这个基础上我们来计算这个不同概率测度下这个尾部概率

也就是不同概率测度下的这个期权被执行的概率

当然我们最后还是还要介绍一个所谓波动率的这个问题

就是实际上是为后面更复杂的衍生产品的这个定价做一些数学的基础的

首先我们来介绍所谓的布朗运动

布朗运动又称为称维纳过程

它最开始是来研究这个

微观物质或者是这个颗粒是在水里面的这个运动的

布朗运动它的定义是这样的

就是它是一个随时间而不断变化的随机变量

这个变量它是满足一定条件的

这个变量它在一定时间内的这个增量

是一个独立的但是均值为0

方差等于这个时间长度的一个正态分布

也就我们以前学这个数理统计的时候可能是

从一个静态的观点的理解这个随机变量的

也就是他随机变量服从一个

某一个分布

但是我们这里是从一个动态的角度来描述这个随机变量的

也就随着时间的变化某个随机变量它的这个

随机分布的这个分布特征是在变化的

比如说一个股票价格

我们今天知道今天的股票价格的话那明天股票价格

是服从某一个分布

那么后天的时候他还是某一个分布而这个随机过程的话

也就在我们这个布朗运动它就描述了这个分布的这个

服从预定的这个概率分布的这个随机变量

随着时间的变化它这个改变了是怎么样的一个特征

因为它的改变量在一段时间内的这个改变了是相互独立的

也就是两个不重叠的时间间隔上的这个该变量是相互独立的

并且这个一段时间上的这个该变量它的均值是0

方差是等于这个时间长度

满足这样一个特征的一个随机变量

下面的我们就是给出这个布朗运动的一个数学的这个表达方式

若这个BT是一个布朗运动那么这个在时间上

S是当前的这个时间u是未来的一个时间

那么这个B(u)减去B(s)也就是从现在s的时间到未来的

u这个时间的一个增量这个它的均值是等于0

方差是等于这个时间长度u减去s

也就我们也可以用这个8.1式来表示出来

这个8.1式这个B(u)减去B(s)它是等于根号u减去s

再乘以个ε

其中ε是一个标准正态分布那么我们也可以看到

这个B(u)减去B(s)它的均值就是为0

方差也就是等于u减s了

实际上布朗运动也是一个鞅过程

我们可以看到如果是当前的时间是s

根据那个标准正态分布的他的期望值是等于0

所以这个在S这个时间点上这个B(u)的期望值它就是等于

这个B(s)

所以也是我们说也是一个鞅过程的一个特点

也就是布朗运动一定是满足这个鞅过程的

这个布朗运动还有第二个性质

也就是说在两个任何不重叠的时间间隔上

B(t)的这个增量是相互独立的

也就是说你有一个时间间隔比如说今天到明天的一个时间间隔

明天到后天的这个时间间隔这两个时间间隔是相互不重叠的

那么我们可以看到在这两个时间间隔上这个增量应该是相互独立的

我们为什么用这个布朗运动来描述这个市场很重要的一个特点就是我们这个

描述股票市场的时候或者这个金融市场的时候它有个很重要的

特征就是有效市场的这个特征

在有效市场上特征也就是说这个价格的变化

就今天的价格变化只是与今天进入这个市场的信息是有关系的

而今天的这个变化不会延续到明天去

也就是今天的变动对明天是没有影响的

所以它是一个有效的市场

我们这个如果一个市场它的价格

满足这个布朗运动的这个特点的话那它一定是一个

有效市场的一个特点

下面我们看一下这实际上怎么来对这个布朗运动进行一个模拟

或者说在现实当中或者说它这个

离散的时间点上这个布朗运动它是什么样的一个特点

这个我们可以把这个0到T这个时间分成N段

当然这个N段的话比如说我们进行等均匀的划分

也就是分成N等分在这个离散的时间上这个

布朗运动它的变动我们可以用这个8.2式来表示出来

这个我们可以看到其中那个Z就是一个什么

是一个标准正态分布

当然我们一般来说这个做模拟的时候我们把这个初始值

约定为0实际上我们用就可以这个布朗运动的轨迹进行模拟

比如说一年的时间我们一年的话他有

假如说一年是250个交易日的话

那么每一个交易日的这个时间间隔就是1/250

这个Z在标准正态分布上进行随机抽样我们就可以生成一个

这个B(t)的一个路径其中这个Z的话我们这个可以用

这个伊塞尔表格里面我们可以用这个东西来模拟

其中这个RAND是生成一个就是0到1之间的一个

均匀的这个随机数实际上就是生成一个概率再用这个

前面这个符号就是NORM.INV

这个是吧它是对这个标准正态分布进行随机抽样

把这个概率转化为了它的这个累计概率密度

函数或者分布函数我们可以用这个符号来对这个

结合8.2那个式子最后来模拟出一个布朗运动的这个

路径提供一个ε表格大家可以去看一下

下载下来看一下这个ε表格这个模拟的过程