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无套利定价的最后一种表现形式是鞅定价方法

在介绍这个鞅定价方法之前

我们先要给大家引出几个基本的概念

计价物或者计价单位

前面对这个资产

计价的时候 大家注意到我们都是用这个货币

来作为计价

比如说这个股票值是10块钱

到期的时候它要么是11块钱或者是9块钱

都是用货币单位来作为计价的

下面我们改变这个计价物 比如说

我们用一个资产为另外一个资产计价

比如说我们用黄金对股票来计价

那么这一只股票值当前值几克的黄金

这时候黄金就称为计价物

其它资产和这个黄金的这个价格的比值

就称为它的这个价格

比如说我们还可以考虑用中国银行的股票

为其它股票定价

比如说建设银行的股票现在是等于1.2个中国银行的股票

一年以后

这个中国银行的股票变化了

建设银行股票价格也变化了 当然这个比值我们可以算一下

比如说一年以后建设银行的股票它是等于1.3个

中国银行的股票

这里我们就是有一个所谓计价物的概念

我首先我们选用这个无风险资产

作为计价物

当然也可以采用其它资产作为计价物

比如说黄金股票作为计价物

我们首先研究的是采用无风险资产作为计价物

这个无风险资产是这样的

无风险资产初始价格为1

我们为了简便起见我们先假设这个

无风险利率是一个常数 r是一个常数

当然是一个连续的复利率 无风险利率是一个常数

我们知道这个初期

价值为1的一个无风险资产到了T时刻

它的价值应该等于e的rT次方

这个也就是按照复利率算它的终值

用这个R(t)作为一个计价物

其它资产与这个R(t)的比值

作为其它资产价值的一个度量

比如说股票初期的时候10块钱 那么它就是10除以1

比如说到了一年以后这1块钱的这个无风险资产

变成1.05元 这个股票

一年以后变成了12块钱

那我们这个股票的相对这个无风险资产

就是用12比上这个1.05 作为这个股票的

在这个计价物下的价格 当然我们也可以采用

其它股票或者是说风险资产作为计价物

大家注意到如果这个股票是支付红利的

比如说它有一个连续的红利率为q

就是它作为计价物的时候就是要考虑这个红利

也就是你不能用这去掉了红利以后的这个价格作为计价物

我们而是要考虑这个红利加上这个股票一起的

这个价值作为计价物

我们这里有个假设 就是假设这个股票的

分红持续的买进的这个股票者这 就意味着

如果期初是买了一只股票 它的价值是S0

到了T时刻它的股票价格是ST

最初的这个计价物V(0)就是等于S0

到了T时刻

这个股票的数量它就不是一单位的股票了

因为这个分红持续买进的股票

股票的数量就是变成e的qT次方

相当于这个无风险资产的

从1块钱到了e的rT次方一样 就股票的数量增加到

e的qt次方

再乘以S(t)就是这个持续的红利再投资这个股票价值

所以我们用V(t)来作为计价物

而不能用S(t)来计价物

在这一章里面

我们假设这个q等于0的时候可以推导出

期权的定价公式 后一章时候我们要假设这个q

不为0的时候 这个定价公式怎么推导出来的

下面我们来看一下

用我们现在介绍的这个计价物的概念以后

对我们前面的这个风险中性定价的公式

或者无套利定价的公式做一个转化

首先研究无风险资产作为计价物的时候

初始时刻R(0)等于1块钱

R(T)可以看到 不管股票价格上涨

和下跌 它都是等于e的rT次方

我们以这个无风险资产作为计价物的时候

前面的7-12的那个定价公式

或者7-14定价公式

我们可以把它就做一个简单的变化 变成这个式子

下面我们来研究一下这个由无风险资产作为计价物的

时候我们 原来的这个定价公式

风险中性的这个定价公式 我们可以做一个变形

这个无风险作为计价物的时候就r0是等于1

rT也就到期的时候

它不管股票价格上升或者下跌它都是等于e的rT次方

以它作为计价物的时候

我们前面的这个7-14式这个定价公式

也就是这个7-14式这个风险中性的这个

价格的这个定价公式我们可以做一个变动

变成这个7-16式

7-16式是7-14式的一个简单的一个变化

大家可以解读一下这个7-16式的这个含义

这个公式的这个左边

它是资产价格与这个计价物的一个比值

也就是我们以这个

无风险资产作为计价物的时候 这个资产的这个价格

这个比值就是这样的含义

而这个公式的右边 大家可以看到

它是不同状态下的这个比值

也就Pu比上Ru 它是股票价格上升的时候

资产价格和这个计价物的比值

而Pd比上Rd 它是这个资产价格上涨的时候

这个支付和这个无风险资产的这个比值

这个比值再按照什么我们前面定义

风险中性概率下

计算的期望值

所以这个式子就可以这么说

以无风险资产作为计价物的时候

其它资产与这个无风险资产的这个比值

的期望值 当然在这个风险中性概率下的期望值

它等于当前的这个比值 也就在风险中性概率下

其它资产与这个

无风险资产的比值的期望值等于它当前的这个比值

（风险中性概率）有这样一个数学的属性

未来比值的这个期望值等于它当前的这个值

下面我们对这个特点用一个数学上

或者随机过程里面一个概念 叫做鞅过程

或者鞅来描述

在随机过程里有一个概念叫鞅过程或者鞅

假设X是一个随着时间变化而变化的一个随机变量

也就是X(t)这个变量

随机变量的分布是随着时间变化是变化的

比如说股票价格当前是一个10块钱

那么一个月以后它有一个分布

两个月以后这个股票价格又有一个分布

这个分布随着

时间变化而变化的

这和学过的数理统计里面随机变量

的概率分布是固定的是不一样的

这个概率分布是随着时间变化而变化的

我们X(t)就是一个该随机过程的当前值

t如果是现在的话 X(s)是随机过程的未来的一个值

也就s是将来的一个时间 s大于t的

如果这个随机变量满足这样一个特点

也就它未来的期望值

也就是X（s)在t时刻的期望值 我们是用这个E[X(s)]表示

这个随机过程的未来的期望值等于它当前的值

这个随机过程我们称为一个鞅过程

或者称为一个鞅

英文名字叫做Martingale

引入这样一个数学的定义以后

前面这个定价公式就可以表示为

在选择一个计价物 也就选择无风险资产作为计价物的时候

在风险中性概率下面其它资产与

无风险资产的比值是一个鞅 或者称为一个鞅过程

因为这个在这个风险中性概率下

这个比值的期望值它是等于它当前的值的

所以我们说其他资产与

与无风险资产的这个比值

在风险中性概率下 大家注意到是在某个概率下 它是一个鞅

如果是在那个实际的概率Probu和Probd下

它不是一个鞅的

就是说这里计价物是无风险资产

对应的概率是风险中性概率

大家注意到这两个是配对出现的

就你不能选择这个无风险资产作为计价物

选择的概率如果是实际概率的话

它肯定不是一个鞅过程

就是说这是配对出现的

大家注意到我们这里选择的是

无风险资产作为计价物 它对应的概率一定是

风险中性概率 这个大家一定要记住的

当然我们这个公式 我反复强调一下

它数学上是这样一个表示

它的最基本的来源还是我们前面的无套利定价

我们构造了一些概念

做了一些数学上的变形

最后得到的这样一个结果

它的基础还是无套利定价

这个地方一定要牢牢记住的

就我们把这个问题

好像是弄的越来越复杂 最主要的目的是

在数学上处理就简单了

后面对于一些复杂的衍生产品定价的时候

就变的很简单了这个引入这个

计价物和这个计价物下的这个

概率测度下概率以后

我们这里采用无风险资产作为计价物