当前课程知识点：金融工程 > 第七章 金融衍生产品定价原理 > 金融衍生产品定价原理 > 03
那么这个例子我们可以做一个一般化的表述
就是说我们假设这个一个不支付红利的股票
它当前的价格为S也就是 当前时间是t
未来这个某个期权的这个价值为f
就是为了基于这个股票的这个衍生产品或者是
期权的价格为f
这个到期日为T这个 也就是这个期权的期限是T减t
当然我们这个t一般被取为0 也就当前时刻
期权存续期内股票价格要么上升到Su 要么下跌到Sd
两种状态相应期权的回报 如果是上升到Su的时候
期权的回报就是fu
如果下跌到sd的时候 期权的回报就为fd
无风险利率是等于r 实际上是有这样
股票有两种状态 期权也有对应的两种状态 无风险利率是确定的
这样大家注意到为了保证这个无套利
股票的价格实和无风险资产之间是有约束关系的
就7-2式来这个约束条件 这个式子怎么来理解 我们可以看一下
这个式子说明如果股票价格上涨的时候 它的收益率
应该是大于无风险利率
如果下跌时 这个收益率应该是小于无风险利率
那为什么是这样的 如果
反过来 大家可以看到这个式子是不成立 比如说
如果这个上涨的时候这个股票的收益率
它都是小于这个无风险利率的话那 我们就可以怎么来做
可以卖空这个风险资产
那卖空的钱投资这个无风险资产
这样因为你卖空的这个风险资产
它将来最高的这个收益它都与这个
比无风险利率要低 所以我这样就肯定可以
通过无风险资产收回的钱
比这个卖空将要掏出去钱买这个股票
还回来的钱要高 因此可以套利了
所以如果股票价格上涨的时候利率应该是要
高于这个无风险收益率
反过来如果股票价格下跌的时候这个收益率都要比
无风险利率要高的话
那我们就可以什么无限制的按照无风险利率来借钱
借钱买这个无风险资产
最后肯定也可以进行套利
所以最后的这个结果就是说这个无风险利率应该处于
这个最好和最坏
上涨和下跌的这个收益率之间 我们把这个
SU和SD代进来的话我们可以得到U
大于e的rT的次方
这个d应该是小于这个e的rT次方
这是很重要的一个约束 那么后面介绍一个所谓的
状态价格定价的方法的时候就要用到这个约束
我们把刚才的这个二叉树模型一般化
这个是股票价格的二叉树Su和Sd
这个Su的话就是S乘以U
这个u就是我们上升的幅度 d就是下跌的幅度
那么这个期权我们就用f来表示
就是这个股票价格上涨的时候这个期权的回报是fu
大家可以看到如果是看涨期权的话 我们可以计算出来就是max
也就是这个Su减去k和0之间取一个极大值
如果看跌期权，
用k减去Su和0之间取一个极大值
当然股票价格如果是Sd的时候 看涨看跌曲线是
一样的 我们类似的这样表示方式
当然也可能含有其它类型的期权
也是可以根据这个期权的这个合约
计算出这个价值来
下面用复制定价法就是
一份期权的空头 我们这里是一份看涨期权空头
和δ份标的股票多头构建一个组合
这个组合的是一个无风险资产
我们可以算出这个δ 也就是δSu减去fu
这是股票价格上升的时候 这个资产组合的价值
而δsd减去fd 这是资产组合下跌的时候
这个资产组合的价值 这两个情况要相等
也就可以算出这个δ的数量
最后我们把这个δ代进去就可以得到这个资产组合
到期的时候价值 代入到上面7-4里面这个等式里面的任何一个式子
可以算出这个资产组合的
到期的时候它的价值
你把到期时候的价值贴现以后
等于这个资产组合当前的价值
这个资产组合它还有一种方法来计算它的价值
就是Sδ减去f 这是用现货价格
就是现货价格和这个期权当前的价值计算出来的这个
这个资产组合的价值 这两个方式计算出来的要相等
也就是一个无风险资产它获得收益率应该是等于无风险利率
那么这就是无套利定价原则在这里的体现
根据这个式子我们可以计算出这个f来
这个f就是这个期权当前的价值
我们把它做了一定的这个整理以后算出来的
就是f等于按照这个无风险利率贴现
后面这个就是P乘以fu再加上1减P
乘以fd
实际上我们后面大家可以看到 这个P
就是我们后面介绍的所谓的风险中性概率
也就是这个是一个虚拟的概率或者说我们所谓的一个概率
这是概率的话 后面的这个就是一个期望值
也就是一个期望值就是说算出来的这个
风险中性概率下的期望值 按照无风险利率贴现所得到的这个
衍生产品的价值
大家可以看到这个P有一个很重要的条件
这个P实际上是大于0的
大家可以看为什么大于0的 因为我们前面有这个条件
这个条件我们就可以保证这个风险中性概率大于0
这是复制定价法一般化的一个表述方式
这个复制定价法实际上大家可以看一下
如果是用看跌期权来做的话
同样大家可以模仿这个方式来考虑一下
如果是看跌期权怎么来进行定价
它实际上也是要构造一个资产组合
那么如何构造这个资产组合大家可以自己考虑一下
我们这里是对于看涨期权这样一个模式
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