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下面我们介绍计价物和这个概率测度的这个变化

介绍这个定价的时候我们说

关键的是要计算出不同概率测度下这个期权被这个什么

执行的概率

我们有两个一个是用无风险资产作为计价物的时候

这个期权被执行的概率计算出来还有风险资产

作为计价物的时候这个期权被执行的概率把它计算出来

我们现在又引出了这个一个几何布朗运动

来描述这个股票价格的变化实际上也给出了这个什么

股票价格的这个到期的这个分布

也就是知道今天的价格那么你利用这个

8.25式或者利用8.26式8.25式给出的是

到期的时候这个股票价格的这个对数的分布

它的均值是这个前面这两项

它的方差那一项是Σ平方t

那么8.26式实际上给出的是什么

是股票价格的一个分布或者说我们是用根据8.25式的话

T时刻股票价格的对数它是服从一个什么服从一个正态分布

当然这个大家注意到这个μ是实际概率测度下的

它是实际概率测度下的这个一个分布

我们下面这个概率测度变化就是要看在不同的计价物下

这个风险资产它的这个概率

它的这个分布应该是什么样的一个形式

或者是它的随机过程应该是一个什么样的形式

就是用不同的计价物下对这个几何布朗运动来进行变化

这儿变换它有这个有几个性质

第一个性质就是如果一个概率测度下它是一个Ito过程

那么进行另外一个概率测度下进行变换以后也就选择一个适当的计价物

对应的那个概率测度下那么它仍然这个还是一个Ito过程

这是一个特点第二个特点就是如果进行概率测度变化的时候

Ito过程它只会这个漂移项系数也就那个μ会发生改变

而那些扩散项系数Σ是不变的

这个含义是什么就是不同的计价物下或者不同概率测度下

只是它的期望收益发生了变化

而它的方差是不会变化的

这个大家回顾一下我们前面介绍这个定价模型的时候

在实际概率测度下它的这个资产的收益是Y

也就是等于无风险收益加上一个风险溢价

而在应付风险中性概率测度的时候

这个风险资产的任何风险资产的这个

就是它的这个贴现利率都是用这个无风险利率来贴现

也就是在风险中性概率测度下

我们可以看成每一个资产的期望收益都是这个r

实际上它的方差是不会变化的也就它的风险的大小是不会变化

同时如果是多维的Ito过程的话它的相关系数也是不会变化

也就概率测度变化改变的都是这个漂移项系数

而不会改变这个扩散项系数和这个它们的相关系数

实际上如过概率测度变化以后

这个Ito过程的漂移项系数会发生变化

如果原来的布朗运动在新的概率测度下

就可能不再是布朗运动了

布朗运动的漂移项系数等于0

这个你作为一个新的概率测度变换以后它的这个

漂移项系数有可能不为0也就不再是一个布朗运动

但是如果这个原来的漂移项系数是0的

先做一个对它的漂移项系数做一个调整

调整以后变成一个漂移项系数不为0的一个Ito过程

再进行这个概率测度变化

这时候就可能得到这个Ito过程它有可能就是一个布朗运动了

也就是说你原来的那个是一个Ito过程

Ito过程作为一个概率测度变换以后

它有可能就不再是个布朗运动了

但是你对原来那个布朗运动先做一个均值做一个平移

平移以后得到一个新的一个Ito过程

对这个Ito过程做一个测度变化

它就有可能变成一个什么有可能变成一个

这个布朗运动

或者说是一个Ito过程给他做一个平移

做一个测度变换以后它就可能变成一个布朗运动

这个介绍大家一定要关注的就是

得到一个很重要的一个结论就是这个概率得度变化的时候

也就选择不同的计价物

进行概率测度变化的时候我们变换的都是

只是这个Ito过程的这个漂移项系数

而不会改变它的扩散项系数

或者相关系数

这个结论记住了我们后面这个就是怎么来进行这个

不同计价物下的这个概率测度变化就能够搞清楚了

你要进行不同计价物下的概率测度变化的话

第一件事情就要选择适当的计价物

我们在前面介绍这个衍生产品定价的理论模型的时候

选择了两个计价物一个是无风险资产作为计价物

也就是我们这个rt

就这个rt初始时刻1块钱假如说我们这里无风险利率是一个常数r

那么t时刻这个无风险资产的价值就变成了

e的rT次方我们用rT作为计价物

第二个是我们用风险资产S我们前面介绍原理的时候

这个S是不分红的没有红利发放

所以直接可以用S的这个资产作为计价物

我们这里考虑一般化的这个问题就是它的红利收益率是q

这时候如果一个资产它有一个红利收益率的时候

你那个资产价格本身就不能作为计价物了

因为你投资了一个资产肯定这个红利也是你的

资本利得也是你的你不能把红利把它漏掉

也就我们这里只能考虑这个

红利再投资的这个资产VT作为计价物

这个VT也就等于eqT乘以ST

这个eqT就是在T时刻这个股票的这个数量风险资产的数量

这个ST是这个风险资产的价格

也就是用红利再投资的这个资产的这个价值来作为计价物

相对于我们前面这个原理的时候我们再增加一个

计价物的资产我们称为一个风险资产Y

这个资产就是我们考虑的风险资产是我们的计价物

这个资产比较特殊它是不分红的或者说这个红利

已经包含了这个风险资产里面了

它们这三个资产它们各自满足的这个微分方程

r这个资产满足微分方程也就dr/r是等于rdt

S这个资产它的这个微分方程是一个几何布朗运动

几何布朗运动也就这个μS是实际概率测度下的这个

它的这个漂移项系数或者它的这个实际的收益率

这个μS应该是无风险利率加上一个什么风险溢价的

这个dS/S等于μSdt再加上ΣSdBS

那么这个V的话我们知道dV/V它是等于qdt再加上dS/S

Y这个资产就是它不分红的就是dY/Y也是

等于μYdt加上ΣYdBY

就Y这个资产也是服从一个几何布朗运动

当然BS和BY有可能存在一定的什么相关性

所以这个它相关系数假设为ρ的话那么dBS乘以dB

Y就是等于ρdt