当前课程知识点:金融工程 > 第四章 利率与利率期货(第一部分) > 第四章 利率与利率期货(第一部分:利率) > 第四章 利率与利率期货(第一部分)3
接着我们介绍与远期利率协议
紧密关系的利率就是远期利率
远期利率是由当前零息利率所隐含的
对应于将来某一时间区间的利率
大家可以看一下下面的表格
这个表格给出了当前的一系列的零息利率
包括一年期的一直到五年其的零息利率
我们假设这些利率都是连续复利的
1年期3%利率意味着投资100美元
一年以后我们可以收回103.05美元
它就是等于100e^(3%×1)
2年期的4%的利率意味着当前投资100美元
2年以后可以手绘108.33美元
从这个表格我们可以看到
第二年的远期利率是5%
这是由一年期的3%的零息利率
和2年期的4%零息利率计算出来的
为了检验这个结果我们假设初始投资100美元
第1年利率是3%和第2年利率是5%
假如什么用滚动投资的方式
第2年年末的投资可以达到108.33美元
我们也可以将这笔投资按照4%的利率连续投资2年
得到的结果也是108.33美元
所以我们可以看到第一年末的到第二年
这个远期利率就是5%
我们也可以用类似的方式计算出第三年的远期利率
它应该是等于5.8%
以及第四年的远期利率等于6.2%
我们可以得到一般性的结论
当利率是连续复利时
将相互衔接的时间区间上的利率结合在一起
整个期间上的利率等于各时间区间内利率的算术平均值
在上面的例子里面
把第1年利率3%和第2年的远期利率5%
进行算术平均就可以得到2年期的利率4%
这是运用了指数运算公式
非连续复利情况下这一结论只是近似地成立
我们可以对刚才的结论做为一个一般性的证明
假设R1和R2分别对应期限为T1和T2的零息利率
RF为T1至T2期间的远期利率
那么我们就可以根据无套利的公式写出下面式子
e^R1T1 e^(RF(T2-T1))=e^R2T2
RF=(R2T2-R1T1)/(T2-T1)
经过简单的整理我们可以得到
RF=R2+(R2-R1)T1/(T2-T1)
上面这个式子也就说明了如果零息利率曲线
在T1至T2期间是向上倾斜的(即R2>R1)
可以得到RF>R2
这就意味着T1至T2期间的远期利率
要大于期限为T2的零息利率
相反如果零息曲线为向下倾斜(即R2 那么RF 这意味着远期利率小于期限为T2的零息利率 在前面的等式当中如果假设T2无限的接近T1 同时将期限用T表示 那么可以得到如下的微分方程 RF=R+T ?R/?T 以这种方式得到的RF我们称为期限T时刻 到期日的瞬时远期利率 这是应用于在期限T结束时的极短时间内的远期利率 假如金融机构可以利用不同期限的零息利率 进行借贷 那么就可以利用零息利率借贷市场锁定未来的借入 或贷出的利率 我们可以看一个例子 假设金融机构可以按照表格的零息利率进行借贷 那么就可以利用零息利率的市场来锁定未来的借贷利率 假设金融机构借入100美元 期限为1年 利率是3% 然后以4%的利率将资金借出2年 在第1年年末流出103.05美元 在第2年年末收入108.33美元 因为108.33=103.05e^(5%×1) 金融机构在第2年投资103.05美元的收益率 就等于第2年远期利率5% 它就是锁定了一个第二年投资的利率 我们还看一个例子 设金融机构借入100美元期限为4年利率为5% 与此同时以4.6%利率投资3年 在第3年年末收入114.80美元 在第4年年末流出122.14美元 因为122.14=114.80e^(6.2%×1) 就相当于在第4年借入114.80美元的借款利率 就等于第4年的远期利率 所以它就锁定了一个第四年的远期利率为6.2% 下面我们介绍一种交易策略 叫做乘骑收益率曲线策略 假设一个大型机构如果按照表格的利率借入 或贷出资金的话 并认为在未来5年内的1年期利率不会有大的变化 那么这个投资机构可以借入1年期的资金 并将资金投资5年 其中1年期借款在第1年年末 第2年年末 第3年年末和第4年年末 按照最新的1年期利率向前展期1年 如果1年期借款利率确实保持不变的话 这种投资策略会每年带来2.3%盈利 我们可以看到这是因为5年期的收益率为5.3% 而融资的利率仅为3% 所以可以带来2.3%的盈利 这种投资策略称为乘骑收益率曲线策略 这种收益率曲线策略成功的关键在于 长期利率高于短期利率 并且短期利率将来是保持相对稳定的不变的 否则的话这种交易策略会带来很大风险 比如短期利率如果急剧的上升 有可能你的投资收益就不能弥补你的融资成本 利用这个乘骑收益率曲线最后不但造成 巨大损失的很有名的案例就是 美国加州橙县破产案 这方面的资料大家可以去找来好好学习一下
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