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到现在为止我们就给大家

推导出了两个Ito原理也就是8.10式

的那个一维的Ito原理以及这里的这个

二维的Ito原理

当然我们把这个二维的也可以扩展到

三维四维N维的这个Ito原理上面去

这两个式子的话大家要熟练掌握的

我们下面给大家介绍一下就是这两个Ito原理的一个运用

这些运用是我们后面经常要用到的一些式子

这个推导的我这里就不推导了大家课下可以自己做一个推导

就是一些这个公式大家最好是能够记下来或者说你要知道它

怎么来的

一个我们称为乘积的这个公式也就XY是两个Ito过程

那么它的乘积应该它的这个过程应该是怎么样一个形式

这个具体怎么来做的话那我们就对这

相对于X求一阶偏导数二阶偏导数

以及对Y求一阶偏导数二阶偏导数

在它们的交叉的这个偏导数

代到我们前面的8.16式也就二维的Ito原理的公式里面去

整理以后我们就可以得到8.17式

我们可以看到这个Z肯定也是一个Ito过程

再还有这个比值的公式也就X和Y是两个

Ito过程那这个Y比上X这个比值

我们也用一下类似的前面那个就二维的Ito原理

用一下我们可以得到8.18式

这个式子我们后面是很重要的我们经常要用到因为我们这个计价物

选择一个资产作为计价物的时候其它资产与这个

计价物的比值是一个鞅过程

用鞅定价方法的时候我们肯定是要求出

这个要定价的那个资产和这个什么

和这个计价物这个资产它遵循的这个Ito过程是个什么的形式

就是这个式子就8.18式要经常要用到

第三个就是这个指数形式就X是一个

Ito过程那么它的指数是一个服从一个什么样的过程

这个指数的话就是一个一维的Ito原理包括那个

相对于时间的偏导数等于什么等于0的这个

就是用一下Ito原理我们就可以得到这个8.18式

那8.19式这个它的指数的这个Z应该是一个什么样的这个

过程我们可以看到也是一个Ito过程就是z

再就是这个X是一个Ito过程的时候它的对数遵循一个什么样的公式

那么对数实际上也是8.17式也是遵循一个

一个Ito过程这个就是对这个对数用一下一维的Ito原理

最后一个就是我们要常要用到的这个

就是这里面大家可以看到Z是X乘以YX是一个Ito过程

其中Y大家可以看到它是一个积分时间上的一个

QS在时间上的积分这Q的话实际上我们可以看成一个

比如说利率

利率也就是随着时间变化而变化的一个利率

或者是可以看成一个红利率

就是随着时间变化而变化的一个红利率

如果可以看成一个利率的话那么如果你当前是一块钱

那T时刻按照这个QS这个连续复利率来复利的话那么

到T时刻那它就等于YT元如果是这个红利率的话

就是你初始时刻有一个股票把这个股票的红利

它的红利率是Q这个红利分红持续买进这个股票那么到了T时刻

那么它就变成了YT份的股票

也就如果这个Z它是等于X乘以Y的那么对这个Z用一下Ito原理

这个Y实际上它的这个微分方程我们可以用这个dy

它等于Qt乘以这个yt再乘以dt也就这个解的这个微分方程

是这样的那我们对这个Z用一下二维的这个Ito原理

我们就可以得到8.18式

那8.18式我们后面还会介绍如果这个Z看成一个市场的价值的话

一个资产的这个收益率它有两部分组成这个前面是红利收益率

后面是这个资本利的这个式子我们后面还会介绍

也就是我们这里这5个

常用的这个公式我们大家要掌握特别是一个是这个

比值的公式这还有一个对数的公式再一个就是这个红利的公式

这三个公式我们后面要经常要用到的

这个大家要熟练掌握的

我们下面来介绍这个红利再投资的这个资产

红利再投资资产考虑的是这样一件事情比如说你初始时刻投资的一个股票

在这个初始时刻假设你持有的股票的数量是一份也就X0

到T时刻代表是在它的这个股票数量用Xt来表示

也就是Xt这个表示的t时刻这个股票的这个数量

这个股票的红利支付率是Q

那红利支付率它代表的就是在瞬时间的也就是从这个

一个时间内的这个红利的支付

dt时间的红利支付的数量是等于Q乘以ST

再乘以XT再乘以dt

也就是如果是一单位的股票的红利的支付那就是等于Q

再乘以st再乘以dt

因为我们这里在T时刻有X单位的股票所以再乘以个XT

也就XT份的这个股票在T时刻的红利支付的数量

是等于Q乘以ST在乘以XT再乘以dt也就在dt这段时间内

的红利支付的数量

我们假设在T时刻这个红利用来继续买进这个股票

这个就称为红利再投资那能够买股票的数量我们可以看到

是怎么计算的一个这个红利的数量再除以这个什么股票价格

所以能够买进的股票的数量应该是Q乘以XT再乘以dt

这个也是可以看出这个什么dt这段时间内股票的增量

股票数量的这个增量

所以这个股票数量的增量的微分方程就用8.19式来表示出来

dxt等于q乘以XT乘以dt所以这个Q我们就称为

一个连续的红利支付率

8.19式是一个微分方程它解出来的话这个解如果初始时刻是X0

我们解出来这个XT那么就等于e的qT次方再乘以X0

也就是T时刻的这个股票我们前面假设的这个X0是等于什么

等于1的所以这个初始时刻是由一单位的股票如果这个

红利持续的投资到这个股票上面去

到T时刻的话那这个股票数量就XT等于e的qT次方

下面我们这个就是红利再投资这个资产的话就它的价值

公式VT表示它的价值公式资产的话它的价值应该是它的数量

再乘以它的什么单位价格

也就VT是等于XT乘以ST我们初始时刻X0是等于1

也就是初始时刻那个V0就是等于什么V0等于S0

VT的话实际上大家可以看到它应该是等于什么e的qT次方再乘以XT

其中这个e的qT次方是代表股票的数量

股票的数量再乘以股票价格

也就是8.21式是代表这个资产的价值

8.21式用一下这个Ito原理这个一维的Ito我们可以得到8.22式

这个式子它的经济含义应该是很明确的

一项投资它的收益是包括两部分一部分是红利收益也就qdt

这个红利收益率还有一部分是资本利的收益率

也就是dS/S

这个是代表你持有一个分红的资产它在一段

在这个dt这段时间内的这个什么总的收益率

也就是dV/V这个就所谓的这个红利再投资的一个资产

下面我们介绍一类叫做特殊的这个Ito过程我们称为几何布朗运动

几何布朗运动或者这个特殊的Ito过程我们是来描述这个股票价格的一个过程

这个过程是这样的它是dS/S等于μdt再加上Σdbt

这个式子的含义或者它的这个解释就是这个

实际上dS/S代表一段时间dt这段时间这个股票的什么

资本利的收益大家注意到我们

一个股票它还有红利收益的它代表资本利的这个收益部分

也就是它的价格的这个收益率

这个公式表示的就是在瞬时的时间内这个S的这个变化率

dS/S它是代表变化率它的期望值是等于μdt的

这个变化率的方差是等于Σ平方dt

也就是这个是它的方差等于Σ平方dt为什么是这样的也就

dS/S的方差我们这个它就是等于这个后面那一部分的这个方差

后面那部分方差实际上就等于Σ平方dt的

这个μ我们称为漂移项系数

而前面那个就这个是代表这个几何布朗运动

平均的这个什么增长率μ增长Σ我们称为波动率

这个过程我们是来经常用来描述这个股票的这个价格过程的

为什么我们这个股票价格过程不用这个Ito过程来描述

这是由这个Ito过程有可能再造成这个股票价格为负

我们现实当中这个股票价格由于这个有限责任的原因

这个股票价格不可能为负的几何布朗运动通过我们后面变化可看到

它能保证这个股票价格不为负

从实质的角度来看它也和我们这个对这个股票价格的收益率

从这个时间的角度来看的话它确实是服从一个

正态分布它的股票价格的这个收益率服从一个正态分布的

也就是说这种几何布朗运动它在这个大体上

是符合我们这个就是实际的这个股票价格的这种运动规律的

这个几何布朗运动它又指几种等价的形式

它有几种等价的形式这个等价形式大家一定要能够灵活运用的

第一个等价形式就是这个股票价格的对数的这个微分方程

它的这个漂移项那一部分是等于μ

减去1/2Σ平方再乘以dt

扩散项是ΣdB

当然这个8.25式的话实际上就是8.24式从0到什么T的这个积分

积出来以后算出了这个什么0到T之间的这个增量

服从的这个概率分布也就是从8.24式与从0到T

0到t时刻做一个积分的话

也就0时刻S0是已知的那我们就可以得到ST这个时刻

8.25的这个对数去掉以后就得到8.26式

所以8.24式搞清楚了就是知道怎么来的呢

像后面8.25式和8.26式就自然而然就出来了

8.24式和我们前面的这个8.23式之间是一个什么样的关系

我们说这是等价式子那么实际上市

可以由8.23式推导出这个什么8.24式的

实际上就是构造这样一个函数就是这个价格的对数

对这个价格的对数用一下Ito原理我们前面

介绍的那5个这个应用里面

Ito原理的应用里面有一个价格的对数它的微分方程就把那个公式用一下

我们就可以证明8.24式的这个大家可以课后自己来

做一下这个就是对这个g求st的这个

先求t的偏导数它是等于0

求这个s的一阶偏导数还是求s的二阶偏导数计算出来

代到我们那个一维的那个Ito原理里面去

就可以计算出这个8.24式这个式子

就这几个式子就这里是4个式子我们是经常是要

就是换着用的就是给你其中一个式子那么另外几个十字

三个式子你都应该能够写出来

下面实际上我们可以怎么来模拟这个几何布朗运动我们前面

给大家介绍过怎么来模拟这个布朗运动这个是类似的

就考虑时间上的一个划分假如是一个均等的划分的话

8.24式它的这个拆分方程我们可以写成这个8.27式

这个拆分方程写成离散的形式的话就是8.28式这个

其中这个Z是一个标准正态分布

那我们对这个Z来进行模拟的话那就可以模拟出这个

st的这个路径出来

几何布朗运动这个价格的这个路径模拟过程我这个

也给大家提供了一个execl表格

就是类似那个布朗运动一样的

提供了一个execl表格大家可以自己来

看一看怎么来模拟这个股票价格过程的