当前课程知识点:金融工程 > 第五章 如何确定远期和期货的价格(1) > 如何确定远期和期货的价格 > 金工第五章3
下面我们来介绍提供已知期间收入的资产的远期价格
首先我们先来介绍一个例子
考虑一份以带票息债券作为基础资产的远期合约
假定远期合约的期限为9个月
基础资产的当前价格为900美元
假定在4个月后将有40美元的票息付款
并且假定4个月期和9个月期的无风险利率
(连续复利)分别是3%和4%
我们分两种情形来讨论远期合约的价格
情形一 假定远期合约的价格相对较高为910美元
套利者可以通过融资900美元来买入债券
并且持有远期合约的空头头寸
由于票息的现值为39.60美元
也就是40e^(-3%×4/12)
因此900美元的融资可以分为两个部分
一部分是39.6美元的融资
融资期限为4个月
融资利率为每年3%
这部分融资在4个月后可以用债券的票息进行偿还
另一部分是剩余的860.4美元融资
融资期限为9个月
融资利率为每年4%
这部分融资在9个月后本金与利息合计为886.6美元
也就是860.4e^(4%×0.75)
根据远期合约
套利者在远期合约到期时以910美元卖出债券
因此套利者的无风险收益为23.4美元
也就是910-886.6美元
情形二 假定远期合约的价格相对较低为870美元
套利者可以卖空债券并持有远期合约的多头头寸
卖空交易所获的900美元资金分为两部分进行运作
一部分是将39.6美元以每年3%的利率投资4个月
4个月后这笔资金整好等于40美元
足以偿还卖空债券的票息
另一部分是将剩余的860.4美元
以每年4%的利率投资9个月
9个月后该笔投资变为886.6美元
根据远期合约
套利者在远期合约到期时能够以870美元买入债券
然后将债券的空头头寸进行平仓
因此套利者的无风险收益为886.6-870=16.6美元
下面这个表格给出了
9个月期远期合约价格与即期价格脱节所产生的套利机会
也就是远期价格为910美元
或者远期价格为870美元的时候
套利的过程以及最后的套利实现的利润
通过这个表格可以发现在没有套利机会情况下
远期合约的价格必须等于886.6美元
也就是在这个价格下就不存在套利机会
所以这个价格
也就是远期合约无套利价格
和前面一样也可以给出提供已知期间的收入资产
远期合约价格和即期价格之间的关系式
当投资资产在远期合约期限内提供的期间收入贴现值为I时
I是期间收入贴现值
远期合约价格与资产即期价格之间的关系式如下
F0=(S0 -I)e^rT
上面这个定价公式是用于提供已知期间收入的
任何投资资产
如果上面这个公式不能得到满足的话
那么就会存在套利机会
如果F0>(S0 -I)e^rT
套利者可以买入基础资产并且
持有远期合约的空头头寸来取得无风险收益
如果F0<(S0 -I)e^rT
套利者可以卖空基础资产并且
持有远期合约的多头头寸来获得无风险收益
如果不能对基础资产进行卖空交易
那么拥有基础资产的投资者可以卖出资产
同时持有远期合约的多头头寸来获得额外的盈利
所以上面这个公式对不能进行卖空的基础资产
也是适用的
我们也可以用另一种方法来证明这个公式
我们可以考虑以下的投资策略
投资者买入1份基础资产并且持有远期合约的空头头寸
根据远期合约
投资者在T时刻以F0价格卖出资产
那么在T时刻的现金流入是F0
同时期间收入现金流的贴现值为I
所以所有现金流入的贴现值为F0 e^(-rT)+I
这时该交易的成本为S0
因而期初的现金流出是S0
最后可以得到F0 e^(-rT)+I=S0
它的变形的形式也就是F0=(S0 -I)e^rT
这就得到了前面的提供已知期间收入资产的
远期的定价公式
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