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下面我们来研究一下布朗运动的一个很重要的性质

也就它的所谓的二阶变差的这个特点

首先我们来定义一下什么叫做二阶变差

我们这个f是一个时间的函数

我们那个布朗运动实际上它也是个时间的函数

考虑这个在一段时间间隔上也就0到T这个时间上的一个

离散的一个划分

这个划分的话就是T0到Tn分了n份

当然我们前面是把它分成n等分的也可以不做n等份的划分

当这个划分越来越细的时候

也就时间间隔越来越短的时候就每一个时间间隔趋于0

f这个在时间上的这个增量的平方求和

当然这个求和的时候是在这个时间划分的这个间隔

所有的时间划分间隔都趋于0的时候也就我们这里这个π

是它的最大的那个时间间隔趋于0了

也就是说这个划分上的所有的时间间隔肯定也是趋于0的

求出的这个极限我们称为二阶变差

可以自己去验证一下或者证明一下

如果这个f是一个时间的连续的函数的话

这个二阶变差它一定是等于0的

这里我就不做证明了大家可以课下自己来

用一个线性函数或者是非线性函数当然是一个时间的连续函数

计算一下那个二阶变差可以看到当这个

π趋于0的时候这个二阶变差一定是趋于0的

我们下面就考察一下

这个布朗运动它的二阶变差应该是一个什么样的的一个形式

一样的我们也是这个当时这个布朗运动实际上它是一个

时间的一个不连续的函数大家可以看到因为它是

随着时间的变化它有可能是什么

发生跳跃的因为它是这个它这里面有一个什么

正态分布标准正态分布的这个它是一个时间的不连续函数

我们也是一样的对这个

和前面同样的一个定义就时间上做一个划分

这个最大的这个时间间隔趋于0的时候

这个布朗运动的这个增量的这个平方和

差是当这个π趋于0的时候他应该是一个什么样的

等于一个什么样的值也就8.4式它应该是什么样的值

这样我们可以证明就是我们后面可以证明的就是

布朗运动在时间间隔上的这个二阶变差

它是以概率1趋近于这个时间长度的

也就它的这个布朗运动的二阶变差是等于它的时间长度

下面我们做一个简单的证明为什么是这样的

当然我们证明我们先证明一段时间就是△t这一段时间上

布朗运动这个增量的平方它等于一个什么样的式子

或者等于一个什么样的值

也就我们定义这个△t区域0的时候

这个布朗运动的这个增量

也就△B(t)具体的这个平方它是等于什么值

由于这个布朗运动的性质我们知道这个布朗运动的

期望值一定是等于0的

这个还有布朗运动的方差是等于它的时间长度

这也就是布朗运动的这个定义

这个布朗运动的这个方差我们可以看到我们用这个方差的这个

公式的话它是等于这个

布朗运动的平方和的期望值减去布朗运动期望值平方

这是一个求方差的一个基本的公式

我们可以看到布朗运动的期望值那个增量的期望值

布朗运动的增量的期望值它是等于0的也就

括号里面的这个式子是等于0的

那么等于0的我们把那个代进去我们最后可以得到

也就布朗运动的增量的平方的期望值是等于时间长度

下面我们再来看一下当这个△t趋于0的时候

这个布朗运动这个平方的这个方差

大家注意到我们定义的是这个平方的方差应该是等于什么值

我们同样用前面的这个方差的计算公式

这个平方的方差它等于是这个平方的期望值也就

这个布朗运动增量的这个四次方的期望值减去

这个布朗运动增量的平方的期望值

的平方也就这个式子把这个代进去以后可以看到

标准正态分布的四次方的期望值是等于3

这个大家可以自己计算一下的

我们代进去以后大家可以看到这个最后这个布朗运动

增量的这个平方的方差它是等于两倍的这个△t的平方

注意下一个布朗运动增量的平方的期望值是等于这个时间长度

布朗运动的这个增量的这个平方的这个方差

是等于两倍的时间增量的这个平方我们再分析一下

当时间长度趋于0的时候

布朗运动增量的平方的这个期望值是等于时间长度的

它的方差就是△t的一个高阶无穷小

所以这意味着△t趋于0的时候它的方差就是一个什么

趋于0了

所以这个△B的这个平方就不再是一个随机变量

因为这个△t趋于0的时候这个

△B的这个平方的方差是等于0的

所以我们就可以看到前面那个期望值当△t趋于0的时候

因为它的方差等于0所以这个期望值我们就可以什么

把它去掉了也就我们可以有这样一个期望的形式

当△t趋于0的时候这个△B的这个平方是等于这个△t

我们如果写成微分的形式的话

也就是dB的这个平方等于dt也就是把这个什么

期望值去掉了

期望值去掉了这是这个布朗运动很重要的一个性质

如果B是一个时间的连续函数我们知道dB的平方应该是什么

是时间的一个高阶无穷小

这个是如果是做全微分的时候这一项是要省略掉的

要去掉的刚好这里我们可以看到这个dB的平方它等于dt

通过这个性质实际上大家可以看到我们也就回到了这个

前面为什么一段时间内的二阶变差它等于它的时间长度

这是由于你可以看到最长的那个时间长度

趋于0的时候那么所有的这个二阶变差我们就可以变成什么

变成了这个所有的这个每一个时间的这个求和

这个求起来等于0到T之间的一个时间长度也就T

也就我们证明了前面那个定理就是布朗运动的二阶变差

就等于它的时间长度当然这个布朗运动

它是一个鞅过程实际上这个dB的这个期望值是等于0

这是一个鞅过程的这个特点

这个布朗运动的二阶变差的属性

是一个最重要的或者是我们后面介绍Ito原理的时候

就要用到这个式子就这是它最关键的一个东西

我们后面要用的就常用的三个基本的微分式

一个dt的平方肯定我们说dt趋于0的时候dt的平方是

忽略掉也就等于0

还有dt乘以dB

我们知道这个dB它是等于根号下的dt再乘一个ε

ε是标准正态分布所以这个

dt乘以dB的话它是dt的二分之三次方

再乘一个ε它是dt的高阶无穷小

所以这个dt乘以dB是等于0

但是这个dB的平方是等于这个dt

这三个式子大家记住我们后面要常要用到的