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下面我们再这个就是求这个尾部概率

我们也是用这个统一的公式来计算

股票价格的对数就是利用这个式子做一个

积分的话也就是从0时刻到T时刻做一个积分

我们就可以得到这个

到期的时候股票价格的对数服从一个什么

正态分布其中前面两项的和是它的什么

这个正态分布的这个期望值

后面它的这个方差Σ平方再乘以T

也就那个BnumT它是等于这个根号T乘一个Z

也就是BnumT它的均值为0

方差是等于那个时间长度的一个什么正态分布

下面我们就计算不同计价物下的这个尾部概率

比如说我们一个看涨期权的话也就计算不同计价物下

这个ST大于等于K的概率这个就是如果把

r作为计价物下的那个

这个ST大于等于K的概率计算出来还有那个V作为计价物下的时候

这个ST大于等于K的概率计算出来

代到我们前面那一章里面给大家介绍过的那个

看涨期权的这个定价公式里面去

我们就把这个看涨期权的价格公式就可以确定出来了

下面我们看一下怎么来计算这个ST大于等于K的概率

大家可以看到ST大于等于K的概率它实际上是等价于这个

到期的时候这个股票价格的对数

大于等于这个协议价格对数的概率也就这两个是等价的

其中这个股票价格的对数你把这个上面这个式子代进来

那就这个logS加上αnumT再乘以这个Σ

BnumT代到这个不等式里面来

代到这个不等式你做一个

移项以后就可以得到和这个是等价的

这一项大家可以看到

我们下面再把这个Σ除过去再除以一个根号T

为什么要除一个根号T就是把它进行标准化

因为这个BnumT实际上是服从均值为0方差为

T的一个正态分布我们除以根号T以后这个Bnum

T除以这个根号T它就是一个标准正态分布了

我们就定义为这个Z这个标准正态分布

它是大于等于某个数值这个K是已经确定了

这个S0是确定的这个Σ当然是一个波动率

假设你是已经确定的αnum实际上也是确定的

实际上这里最后就是什么这个标准正态分布的这个随机变量

大于等于某个确定的值这个概率

也就是ST大于等于K的概率等价于这个

一个标准正态分布的数值大于等于某个确定的值的概率

回顾一下我们这个学这个概率统计的时候

我们有一个累计分布函数标准正态分布的累计分布函数

它定义的这个是从负无穷到一个确定的值这个概率

我们这里是大于等于某个值的概率

标准正态分布是一个对称的我们前面把这个不等式

左右两边都乘一个负1的时候这个不等式当然是变号

所以我们最后定义的和这个Z它是等于负的这个BnumT

除以这个根号T

我们知道这个负的BnumT除以根号T也是一个标准正态分布

这时候它就变成小于等于某个确定值的概率了

最后我们这个就是Z是服从一个标准正态分布的一个随机变量

也就ST大于等于K的概率它是等价与这个Z小于等于这个

某个值的概率我们把这个这个不等式的右边的

那一串的这个公式定义为这个D

就是或者把它记为D

也就D的话它是这个价格的S0/K的这个对数再加上num

αnumT再除以这个Σ根号T

最后这个就是标准正态分布的这个随机变量Z小于

D的概率这个ND

记为ND这个ND的话就是我们这个累计概率分布函数

D时刻的数值那个函数值

也就是最后这个在某个计价物下股票价格大于等于K的概率

它就是等于ND那么你不同计价物下这个

αnum不一样代到这个公式里来也就可以算出不同计价物下

这个期权被执行的概率

也就我们前面看涨期权要计算的那个V作为计价物下

这个期权被执行的概率以及

这个无风险资产r作为计价物下这个期权被执行的概率

都可以计算出来了利用这个式子当然对应的是什么这个αnum

就不同计价物下这个αnum是不一样的

这样我们就可以把这个什么看涨期权的

公式实际上就可以计算出来了我们这个尾部概率

计算出来这个看涨期权公式就可以计算出来

当然我们还有一个看跌期权

看跌期权实际上市不同计价物下这个ST小于等于K的概率

这个小于等于K的概率我们知道它是什么它是1减去

这个ST大于等于K的概率也就是说小于

等于K的概率和大于等于K的概率加起来应该是等于1

就是所以最后这个就是

股票价格在不同计价物下小于等于K的概率它是等于

1减去NDD也是这样一个计算公式

再根据这个标准正态分布的一个对称特点

所以它就是等于N的什么等于N的负D

这个大家把这个标准正态分布那个累计密度函数画一下你就可以看到

就1减去ND它是等于N的负D的

这样的话我们就可以把这个看跌期权

不同计价物下这个看跌期权被执行的概率也就ST

小于等于K的概率都可以计算出来了

到现在为止就是我们把这个

不同计价物下的这个尾部概率这个计算方法给大家介绍了

介绍这个出来以后我们就把这个期权的定价三个问题就解决了

当然我们到下一章的时候我们还要把这个公式具体用到这个

看涨看跌期权它的具体的公式给大家表述出来

这里我们是推导出了一个一般的表述的这个形式

大家课后你自己可以把不同的计价物代进去以后

你可以得到不同的这个尾部概率

下面我们来介绍一下两个几何布朗运动它的这个乘积

或者他的比值的这个波动率应该是什么样的一个情况

也就说我们现在是有两个几何布朗运动它们的这个

相关系数是ρ

也就是一个X一个是Y下面我们来研究一下这个X乘以Y

也就是Z等于X乘以Y的时候这个Z的波动率

或者它是一个什么样的一个运动以及Z等于X分之Y

这个Z它应该也是一个什么样的运动

实际上对这两个乘积和比值引用一下Ito原理

比如说我们先对这个X乘以Y的波动率

与对这个Z等于XY用一下Ito原理我们就可以得到

这个式子得到这个式子

这个具体的就是一个乘积的公式的一个运用

再把这个dX/X和dY/Y代进来以后得到这个式子

这个式子我们可以看到前面这一部分应该是很清楚的就第一项

它是一个什么趋势项

uXuY确定了ρ确定了ΣS确定了ΣY确定了

这是它的这个趋势项系数或者漂移项系数

后面大家可以看到是两个什么

两个这个布朗运动的一个线性组合

实际上两个布朗运动线性组合它还是一个布朗运动

就大家可以看一下这个dZ/Z的这个波动率是多少

就Z的这个波动率是多少你可以

算一下它的平方大家可以看到它是等于ΣX的平方

加上ΣY的平方再加上两倍ρΣXΣYdt

所以大家可以看到什么Z等于XY它的波动率

就是等于这个什么ΣS的平方加上ΣY的平方再加上

两倍的ρΣXΣY的开方

它的方差的话就这个开方就不需要了

实际上大家可以看到这个dZ/Z它的漂移项系数是这个

uX加上uY加上ρΣXΣY这个扩散项系数是等于

这个我们计算出来这个式子的一个布朗运动

也就是一个布朗运动这个它的比值同样的也用一下Ito原理

我们可以得到dZ/Z它服从这样一个过程

这个前面这个大家可以看到就第一项也就这个方程的这一项

是它的漂移项

它的扩散项实际上大家可以看到也是两个

布朗运动的一个线性组合

它的这个dZ/Z的这个平方

我们可以算出来它也是等于ΣX的平方加上ΣY的平方

再减去两倍的ρΣXΣY乘以dt

所以这个Y/X它的波动率

也是等于ΣX的平方加上ΣY的平方再减去两倍的ρΣXΣY

所以这个Y/X它也是一个几何布朗运动

其中这是它的扩散项系数它的波动率就是这个式子

知道了两个这个随机变量是一个几何布朗运动

那么它的这两个几何布朗运动的乘积也是一个几何布朗运动

以及它的这个比值也是一个几何布朗运动

并且利用我们这里的这个式子可以确定出它这个

乘积的这个扩散项系数和它的波动率

以及它的这个比值的扩散项系数和它的波动率

多个资产的期权的定价的时候我们是要用到的

比如说我们对这个所谓后面介绍的一个交换期权

交换期权的定价的时候要用到这个比值公式

比值来确定它的这个波动率

所以我们今天的课程就是介绍到这里这一章是一个

比较基础性的很多的数学公式很多这个一些这个介绍

这一章是在我们后面这个看涨看跌期权的一个定价

以及后面更复杂的这个期权定价的时候都要用到这个公式的

大家一定要这个熟练掌握课后要自己去把这个公式

推导一下知道它的这个来龙去脉是怎么样的

特别是这个Ito原理它的应用包括我们这个

不同计价物下的这个概率测度变化是怎么出来的

实际上就是我们前面鞅定价公式在这里的一些应用

确定出不同计价物下这个风险资产的这个随机过程

以及在不同计价物下它的尾部概率的计算

是我们这一章最主要的一个重点

当然这是在介绍这个Ito过程以及

几何布朗运动基础上Ito原理的基础上

再有这一些这个资产定价上的运用的

所以这一部分数学上的东西大家一定要熟练掌握的