当前课程知识点:金融工程 > 第九章 期权定价与套期保值 > 第九章 期权定价与套期保值 > 05
接着我们来介绍这一章的第四部分内容
就是这个欧式期权的这个定价公式
我们用的这个定价的方法还是我们前面一章介绍的
鞅定价的方法
这个欧式期权定价模型最开始由他们推导出来的
当然他们的推导和我们现在用的这个方法稍微是有些差异的
他们直接是用无套利的方法构造一个平衡方程最后来
求解这个平衡方程
就来计算出这个欧式看涨期权看跌期权的这个定价的
我们用的这个思路是用的这个鞅定价的方法
最后来求出这个看涨看跌期权的这个定价公式
我们知道这个鞅定价方法
实际上它也是一种无套利定价方法的一种表述方式
所以从根本上来说
我们这个鞅定价方法它也是无套利定价的一个方法
这个BS模型它有很多假设
其中比如说可以卖空没有交易成本可以连续交易
借入无风险资产和贷出无风险资产利率是相同的
等等也就是说没有一些市场摩擦
最重要的它是对这个标的资产的这一个随机过程
有一个假设就是它认为这个标的资产的这个价格
是服从一个几何布朗运动的
也就我们这里9.1式的这个几何布朗运动
其中这个μ和σ实际上σ可以假设为常数
μ是可以假设是一个一般的随机过程
并且我们这里还假设这个标的资产它支付红利率的
红利率为Q
同时市场上还存在一个无风险资产它的连续的复利率是r
我们也假设它是一个常数
也就无风险资产的收益率是一个常数
这是我们对这个就是欧式期权定价的时候最基本的一些假设
下面我们来看是怎么来这个求解这个
欧式看涨和看跌期权的这个定价的
这个定价方法实际上我们在前面这个已经给大家
做了一些表述或者是给大家已经做了一些分析了这个
就是我们现在是把前面两章的这个分析再把它综合起来
前面两章内容实际上已经解决了欧式看涨看跌期权的定价
就是我们再把它综合给大家重新等于复习一下
我们以这个欧式看涨期权为例
这个它到期的支付我们前面刚刚介绍过
也就是用CT来表示它是这个
ST减去K和0之间取一个极值
这个支付我们可以写成9.2式这个形式
就CT就它到期日之后等于ST乘以一个I
再减去KI这个变量I它是这样来定义的
也就是到期的时候如果这个标的资产的价格
大于等于K的时候它取为1当ST小于K的时候它取为0
也就是这个SI是一个01变量
所以这时候这个欧式看涨期权我们可以把它定义为两个期权
第一个期权我们称为欧式的看涨股份数值期权
就是用SDCT来表示它是等于ST乘以I
这个欧式的看涨股份数值期权它表示的如果到期的时候
这个资产价格大于等于这个协议价格的话
它给你是支付一份股票否则它是支付为0
这个第二个期权我们称为欧式的看涨数值期权
用DC来表示
这个DC它是这样定义的就是如果到期的时候
资产价格大于协议价格就给你支付一块钱否则就支付0
当然等于的话放到左边和放到后面这个是没有关系的
也就是I的定义你用这个ST大于K为0或者是大于等于K为0
它对这个期权的定价是没有影响的因为我们后面假设这个
到期的时候这个股票价格它是一个连续的分布
当然我们这里把这个ST
是大于等于K主要是我们这个和我们后面这个
这个累积分布函数的定义是一致的
这要我们把一个欧式看涨期权就分成了两个期权
一个是欧式的看涨股份数值期权和欧式的看涨数值期权
现在我们分别对这两个期权进行定价定出来以后
我们综合起来就可以得到这个欧式看涨期权的这个价格
我们首先对这个数值期权来定价
这数值期权它到期的支付就是支付
要么支付1块钱要么支付为0
对这个数值期权定价我们选择这个无风险资产作为计价物
就无风险资产作为计价物也就这个数值期权
比上这个无风险资产它是一个鞅过程
这个鞅过程的话也就是DCO比上r0它是等于
这个DCT比上e的rT的这个期望值
这个期望值是在风险中性概率下的这个期望值
我们把这个I代进去的话大家可以看到就是
实际上就要求这个
I的这个期望值在风险中性环境下这个期望值
I这个期望值实际上大家稍微考虑一下就可以知道
它就是ST大于等于K在这个风险中性概率下的这个概率
实际上也就是这个在风险概率测度下这个期权被执行的概率
所以对这个数值期权它定价公式我们就可以写成9.4
最后我们就是把那个在风险中性概率测度的这个概率下面
这个期权被执行的概率测算出来
这个股份数值期权的定价公式就推导出来了
在前面的一章我们已经给大家推导出来过
当无风险资产作为计价物的时候这个风险资产的随机过程
可以用9.5式表示出来
其中这个BR是这个风险中性概率测度下的一个布朗运动
那么也就是在9.5的这个随机过程下面我们要求出到期的时候
这个ST大于等于K的这个概率
这个推导过程是就是大家可以看到是这样来做的
就是我们先计算出这个到期的时候股票价格对数的分布
就用一下Ito原理我们就可以计算出来的
也就是我们这里的这个9.7式
这个9.7式在前一章的时候已经给大家推导过了我们这里就
大家如果不明白的再回去看一下
利用第八章实际上已经给大家介绍过的这个方式
这个ST大于K的概率也就是等价于ST的对数大于等于
它的斜率价格的对数的概率
我们就可以推导出下面这个式子出来也就是这个
风险中性概率测度下
标的资产价格大于等于协议价格的概率是等于ND2
这个其中ND2是通过下面这个公式计算的
这个ND2它这个N这个函数它是标准正态分布的
累计概率分布函数也就是这个标准正态分布的时候
从负无穷到D2的这个概率这样的话我们就得到了这个
数值期权的这个定价公式也就DC0它是等于e的负rT次方
再乘以ND2这个就是我们的9.8式
对这个股份数值期权它定价的时候
为了这个计算的方便我们要选择这个红利再投资的这个资产
VT作为我们的这个计价物
也就选择这个资产作为计价物的时候
就是这个股份数值期权与这个计价物的比值是一个鞅过程
也就SDC0比上V0它是等于SDCT比上VT的这个在
在这个红利再投资资产作为计价物的概率测度下的期望值
我们把这个SDCT等于ST乘以I代到这个鞅定价公式里面去
我们就可以得到也就是9.10式里面我们可以得到9.11式
9.11式大家可以看到就是这个股份数值期权它的这个价格
就等于这个e的负qT乘以V0
大家也知道这个VO实际上就等于S0
也就是0时刻的时候这个V0就是等于S0
所以这个SDC0它也是等于e的负qT乘以S0再乘以
当V作为计价物的时候这个期权被执行的概率
也就是ST大于等于K的概率
我们前面一章的时候也给出了
当以这个红利再投资这个资产作为计价物的时候
这个风险资产的随机过程也就是9.12式
所以我们最后就是用9.12式这个随机过程下
来计算9.11里面那个ST大于等于K的概率
这个计算和前面的计算是完全一样的
用Ito原理计算出到期的时候这个标的资产
价格对数它服从的这个分布也就是这个对数正态分布
就9.14式
最后这个9.14式利用这个9.14式我们可以计算出
这个到期的时候这个资产价格ST大于等于K的概率
它最后是等于这个ND1
N的话还是前面的这个标准正态分布的累计概率分布函数
那么我们把这个
代进来我们就可以得到了这个股份数值期权的定价公式
公式也就是SDC0它是等于e的负qT乘以S0
再乘以ND1
这个ND1和ND2之前乘的这个数字大家可以看一下
实际上就是说这个数值期权它前面是乘的是e的负rT
这个e的负rT实际上就是1块钱就到期日的1块钱到现在的现值
它再乘一个ND2而这个股份数值期权
它是e的负qTS0再乘以ND2
这个e的负qT乘以S0实际上是到期的时候这个股票
在当前的现值是这个e的负qT乘以S0
所以这个股份数值期权它的这个
价值就是等于这个标的资产的现值乘以这个ND1
或者乘以这个在用V作为计价物下这个期权被执行的概率
而数值期权它是1块钱的现值再乘以一个
无风险资产作为计价物的时候这个期权被执行的概率
最后我们这个综合这个股份数值期权和数值期权这个定价公式
我们就可以得到欧式看涨期权的这个定价公式
也就是我们的9.19式这个9.19式大家可以这样来解读这个
这个股份这个欧式看涨期权的价值它是等于这个
股票的这个现值也就是e的负qT乘以S0是这个股票的现值
再乘以这个用红利再投资这个资产作为计价物的时候
这个期权被执行的概率也就是我们的ND1
再减去K的现值也就这个执行价格的现值
再乘以这个
以无风险资产作为计价物的时候这个期权被执行的概率
也就是这个ND2
为了方便记这个公式大家还可以看一下我们这个
D1D2的这个计算公式
大家可以看这个D1的计算公式它是这个期权执行的时候
这个标的资产的价格的现值
也就S0乘以e的负qT再除以这个执行价格的现值
这个比值或者这个除出来的这个商的对数加上1/2
这个股票价格的波动率Σ平方再乘以T
它再除以Σ根号T这是D1
实际上这个D2的话它是等于D1减去Σ根号T的
这样的话我们计这个看涨期权的这个公式就比较容易计算了
就是说它是两个资产一个是风险资产的现值
还有呢无风险资产的现值K等于是一个无风险资产的现值
这是一个比值
它取它的这个对数就是大家一定要看到就是它的这个都是两个
资产的现值的比值在这个9.19式的时候它也是
前面这一部分也是这个风险资产的现值后面这个K的现值
实际上大家可以看到就是这个
资产的现值风险资产的现值它收回的资产
而K的现值是它支付出去的那个确定的那个现金
当然也求出它的现值出来
就是我们这样把这个9.19式这个
也就是看涨期权的这个定价公式是能够方便的把它记下来
对欧式的看跌期权的话我们也可以类似的
用前面的方式给它写出来
实际上这个看跌期权它不同的计价物下
这个概率测度我们前面一章的时候也给大家推导出来了
就是ST小于等于K的概率它是等于1减去
这个ST大于等于K的概率也就是ST小于等于K的概率加上
ST大于等于K的概率它是加起来是等于1的
也就股票价格肯定是在什么0到正无穷之间
就在这个之间的
所以你小于等于K再加上大于等于K的概率那么肯定是等于1
最后我们可以看到它就是
那么这个小于等于K的概率就是等于1减去ND
不同计价物下那个D是不一样的要么D1要么D2
大家注意到这个标准正态分布的密度函数它是对称的
那么这时候我们就可以得到这个1减去ND的概率
ND它就是等于N的负D这个关系大家简单再
拿个标准正态分布的密度函数你画一画
就可以得到的这里我就不做这个再深入分析了
那么我们这样的话把这个看跌期权它也可以分解成一个
两个一个数值期权当然是一个看跌的数值期权
再加上一个看跌的股份数值期权的一个组合
那么我们就可以得到9.20式
就9.20式就给出了这个看跌期权的这个定价公式
也就K的现值减去N的负D2再减去S0的现值
再乘以N的负D1
这个D1D2和这个看涨期权的这个D1D2的计算
式子是完全一样的
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-如何确定远期和期货的价格
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--习题
-小节
-第五章 如何确定远期和期货的价格 (2)--小节
-第一节 利率互换
--第六章 互换01
--第六章 互换02
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--第六章 互换04
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--第六章 互换13
-第六章 互换--习题
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-第八章 连续时间模型
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-第九章 期权定价与套期保值
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-第十章 波动率建模
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-第十一章 期权定价数值方法
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-第十二章 复杂衍生产品
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