05在线视频

接着我们来介绍这一章的第四部分内容

就是这个欧式期权的这个定价公式

我们用的这个定价的方法还是我们前面一章介绍的

鞅定价的方法

这个欧式期权定价模型最开始由他们推导出来的

当然他们的推导和我们现在用的这个方法稍微是有些差异的

他们直接是用无套利的方法构造一个平衡方程最后来

求解这个平衡方程

就来计算出这个欧式看涨期权看跌期权的这个定价的

我们用的这个思路是用的这个鞅定价的方法

最后来求出这个看涨看跌期权的这个定价公式

我们知道这个鞅定价方法

实际上它也是一种无套利定价方法的一种表述方式

所以从根本上来说

我们这个鞅定价方法它也是无套利定价的一个方法

这个BS模型它有很多假设

其中比如说可以卖空没有交易成本可以连续交易

借入无风险资产和贷出无风险资产利率是相同的

等等也就是说没有一些市场摩擦

最重要的它是对这个标的资产的这一个随机过程

有一个假设就是它认为这个标的资产的这个价格

是服从一个几何布朗运动的

也就我们这里9.1式的这个几何布朗运动

其中这个μ和σ实际上σ可以假设为常数

μ是可以假设是一个一般的随机过程

并且我们这里还假设这个标的资产它支付红利率的

红利率为Q

同时市场上还存在一个无风险资产它的连续的复利率是r

我们也假设它是一个常数

也就无风险资产的收益率是一个常数

这是我们对这个就是欧式期权定价的时候最基本的一些假设

下面我们来看是怎么来这个求解这个

欧式看涨和看跌期权的这个定价的

这个定价方法实际上我们在前面这个已经给大家

做了一些表述或者是给大家已经做了一些分析了这个

就是我们现在是把前面两章的这个分析再把它综合起来

前面两章内容实际上已经解决了欧式看涨看跌期权的定价

就是我们再把它综合给大家重新等于复习一下

我们以这个欧式看涨期权为例

这个它到期的支付我们前面刚刚介绍过

也就是用CT来表示它是这个

ST减去K和0之间取一个极值

这个支付我们可以写成9.2式这个形式

就CT就它到期日之后等于ST乘以一个I

再减去KI这个变量I它是这样来定义的

也就是到期的时候如果这个标的资产的价格

大于等于K的时候它取为1当ST小于K的时候它取为0

也就是这个SI是一个01变量

所以这时候这个欧式看涨期权我们可以把它定义为两个期权

第一个期权我们称为欧式的看涨股份数值期权

就是用SDCT来表示它是等于ST乘以I

这个欧式的看涨股份数值期权它表示的如果到期的时候

这个资产价格大于等于这个协议价格的话

它给你是支付一份股票否则它是支付为0

这个第二个期权我们称为欧式的看涨数值期权

用DC来表示

这个DC它是这样定义的就是如果到期的时候

资产价格大于协议价格就给你支付一块钱否则就支付0

当然等于的话放到左边和放到后面这个是没有关系的

也就是I的定义你用这个ST大于K为0或者是大于等于K为0

它对这个期权的定价是没有影响的因为我们后面假设这个

到期的时候这个股票价格它是一个连续的分布

当然我们这里把这个ST

是大于等于K主要是我们这个和我们后面这个

这个累积分布函数的定义是一致的

这要我们把一个欧式看涨期权就分成了两个期权

一个是欧式的看涨股份数值期权和欧式的看涨数值期权

现在我们分别对这两个期权进行定价定出来以后

我们综合起来就可以得到这个欧式看涨期权的这个价格

我们首先对这个数值期权来定价

这数值期权它到期的支付就是支付

要么支付1块钱要么支付为0

对这个数值期权定价我们选择这个无风险资产作为计价物

就无风险资产作为计价物也就这个数值期权

比上这个无风险资产它是一个鞅过程

这个鞅过程的话也就是DCO比上r0它是等于

这个DCT比上e的rT的这个期望值

这个期望值是在风险中性概率下的这个期望值

我们把这个I代进去的话大家可以看到就是

实际上就要求这个

I的这个期望值在风险中性环境下这个期望值

I这个期望值实际上大家稍微考虑一下就可以知道

它就是ST大于等于K在这个风险中性概率下的这个概率

实际上也就是这个在风险概率测度下这个期权被执行的概率

所以对这个数值期权它定价公式我们就可以写成9.4

最后我们就是把那个在风险中性概率测度的这个概率下面

这个期权被执行的概率测算出来

这个股份数值期权的定价公式就推导出来了

在前面的一章我们已经给大家推导出来过

当无风险资产作为计价物的时候这个风险资产的随机过程

可以用9.5式表示出来

其中这个BR是这个风险中性概率测度下的一个布朗运动

那么也就是在9.5的这个随机过程下面我们要求出到期的时候

这个ST大于等于K的这个概率

这个推导过程是就是大家可以看到是这样来做的

就是我们先计算出这个到期的时候股票价格对数的分布

就用一下Ito原理我们就可以计算出来的

也就是我们这里的这个9.7式

这个9.7式在前一章的时候已经给大家推导过了我们这里就

大家如果不明白的再回去看一下

利用第八章实际上已经给大家介绍过的这个方式

这个ST大于K的概率也就是等价于ST的对数大于等于

它的斜率价格的对数的概率

我们就可以推导出下面这个式子出来也就是这个

风险中性概率测度下

标的资产价格大于等于协议价格的概率是等于ND2

这个其中ND2是通过下面这个公式计算的

这个ND2它这个N这个函数它是标准正态分布的

累计概率分布函数也就是这个标准正态分布的时候

从负无穷到D2的这个概率这样的话我们就得到了这个

数值期权的这个定价公式也就DC0它是等于e的负rT次方

再乘以ND2这个就是我们的9.8式

对这个股份数值期权它定价的时候

为了这个计算的方便我们要选择这个红利再投资的这个资产

VT作为我们的这个计价物

也就选择这个资产作为计价物的时候

就是这个股份数值期权与这个计价物的比值是一个鞅过程

也就SDC0比上V0它是等于SDCT比上VT的这个在

在这个红利再投资资产作为计价物的概率测度下的期望值

我们把这个SDCT等于ST乘以I代到这个鞅定价公式里面去

我们就可以得到也就是9.10式里面我们可以得到9.11式

9.11式大家可以看到就是这个股份数值期权它的这个价格

就等于这个e的负qT乘以V0

大家也知道这个VO实际上就等于S0

也就是0时刻的时候这个V0就是等于S0

所以这个SDC0它也是等于e的负qT乘以S0再乘以

当V作为计价物的时候这个期权被执行的概率

也就是ST大于等于K的概率

我们前面一章的时候也给出了

当以这个红利再投资这个资产作为计价物的时候

这个风险资产的随机过程也就是9.12式

所以我们最后就是用9.12式这个随机过程下

来计算9.11里面那个ST大于等于K的概率

这个计算和前面的计算是完全一样的

用Ito原理计算出到期的时候这个标的资产

价格对数它服从的这个分布也就是这个对数正态分布

就9.14式

最后这个9.14式利用这个9.14式我们可以计算出

这个到期的时候这个资产价格ST大于等于K的概率

它最后是等于这个ND1

N的话还是前面的这个标准正态分布的累计概率分布函数

那么我们把这个

代进来我们就可以得到了这个股份数值期权的定价公式

公式也就是SDC0它是等于e的负qT乘以S0

再乘以ND1

这个ND1和ND2之前乘的这个数字大家可以看一下

实际上就是说这个数值期权它前面是乘的是e的负rT

这个e的负rT实际上就是1块钱就到期日的1块钱到现在的现值

它再乘一个ND2而这个股份数值期权

它是e的负qTS0再乘以ND2

这个e的负qT乘以S0实际上是到期的时候这个股票

在当前的现值是这个e的负qT乘以S0

所以这个股份数值期权它的这个

价值就是等于这个标的资产的现值乘以这个ND1

或者乘以这个在用V作为计价物下这个期权被执行的概率

而数值期权它是1块钱的现值再乘以一个

无风险资产作为计价物的时候这个期权被执行的概率

最后我们这个综合这个股份数值期权和数值期权这个定价公式

我们就可以得到欧式看涨期权的这个定价公式

也就是我们的9.19式这个9.19式大家可以这样来解读这个

这个股份这个欧式看涨期权的价值它是等于这个

股票的这个现值也就是e的负qT乘以S0是这个股票的现值

再乘以这个用红利再投资这个资产作为计价物的时候

这个期权被执行的概率也就是我们的ND1

再减去K的现值也就这个执行价格的现值

再乘以这个

以无风险资产作为计价物的时候这个期权被执行的概率

也就是这个ND2

为了方便记这个公式大家还可以看一下我们这个

D1D2的这个计算公式

大家可以看这个D1的计算公式它是这个期权执行的时候

这个标的资产的价格的现值

也就S0乘以e的负qT再除以这个执行价格的现值

这个比值或者这个除出来的这个商的对数加上1/2

这个股票价格的波动率Σ平方再乘以T

它再除以Σ根号T这是D1

实际上这个D2的话它是等于D1减去Σ根号T的

这样的话我们计这个看涨期权的这个公式就比较容易计算了

就是说它是两个资产一个是风险资产的现值

还有呢无风险资产的现值K等于是一个无风险资产的现值

这是一个比值

它取它的这个对数就是大家一定要看到就是它的这个都是两个

资产的现值的比值在这个9.19式的时候它也是

前面这一部分也是这个风险资产的现值后面这个K的现值

实际上大家可以看到就是这个

资产的现值风险资产的现值它收回的资产

而K的现值是它支付出去的那个确定的那个现金

当然也求出它的现值出来

就是我们这样把这个9.19式这个

也就是看涨期权的这个定价公式是能够方便的把它记下来

对欧式的看跌期权的话我们也可以类似的

用前面的方式给它写出来

实际上这个看跌期权它不同的计价物下

这个概率测度我们前面一章的时候也给大家推导出来了

就是ST小于等于K的概率它是等于1减去

这个ST大于等于K的概率也就是ST小于等于K的概率加上

ST大于等于K的概率它是加起来是等于1的

也就股票价格肯定是在什么0到正无穷之间

就在这个之间的

所以你小于等于K再加上大于等于K的概率那么肯定是等于1

最后我们可以看到它就是

那么这个小于等于K的概率就是等于1减去ND

不同计价物下那个D是不一样的要么D1要么D2

大家注意到这个标准正态分布的密度函数它是对称的

那么这时候我们就可以得到这个1减去ND的概率

ND它就是等于N的负D这个关系大家简单再

拿个标准正态分布的密度函数你画一画

就可以得到的这里我就不做这个再深入分析了

那么我们这样的话把这个看跌期权它也可以分解成一个

两个一个数值期权当然是一个看跌的数值期权

再加上一个看跌的股份数值期权的一个组合

那么我们就可以得到9.20式

就9.20式就给出了这个看跌期权的这个定价公式

也就K的现值减去N的负D2再减去S0的现值

再乘以N的负D1

这个D1D2和这个看涨期权的这个D1D2的计算

式子是完全一样的