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1-3 自然坐标描述法在线视频

1-3 自然坐标描述法

下一节:例题3 单摆

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1-3 自然坐标描述法课程教案、知识点、字幕

我们前面介绍了

矢量描述以及直角坐标描述

有同学会不会说

为什么要介绍这些描述方法

是因为在处理某些问题的时候

用不同方法描述的话

可能简便程度是不一样的

比如说 假设我们知道某个点沿着已知的轨迹运动

打个比方说我们的火车

它开的时候是沿着铁道运动的

在这种情况下

点的运动方程,就可以用点在这个轨迹上的长度

或者叫弧长,随时间变化来描述

这样一来的话,就会有它独特的地方

所以我们这样的一种描述方法称之为

自然坐标描述方法

也就是说 我们在这个已知的轨迹上面

取某一点作为它的起点,叫O点

然后呢 从这点开始它运动

它运动的这个弧长我们把它叫做s

s是弧长 它随时间变化

所以是 s = s(t)

这个表达式就是它的运动方程

所以它跟前面的表达式不太一样

好,下面我们着重看一下

有这个运动方程之后,我们如何导出速度和加速度

那么速度的话呢

我们知道根据前面矢量描述方法的话

它等于是dr/dt

那么直接分析的时候不好分析

所以我们利用数学中的技巧, 把它写成是

dr/dt 等于 dr/ds 乘以 ds/dt

其中这里面的r, 是它的矢径或者叫向径

s是它的弧长

这样一来, 我们就把问题变为

如何求 dr/ds 呢? 以及如何求 ds/dt 呢?

我们把它分别来看一下

首先我们看 dr/ds , 就是说r对s求导数

它是等于Δr除以Δs

以及当Δs趋于0的时候的结果

我们从这个图中可以看出

当P点运动到P'点的时候

这个Δs和Δr明显是不一样的

但是我们可以看出来

当它们 如果两个值很趋近0的时候

当Δs趋于0的时候

这时候从数学上来看

Δs和Δr相除就等于1

所以, 利用数学极限的分析方法

可以很快得出这个结果

下面我们着重看看

dr/ds 又等于什么呢?

如果我们记住刚才前面曾经说过的

求导相当于是

一个割线的不断变化

它的极限是它的切线

因此的话 它出来之后应该是一个什么呢

是P点的一个切线的方向

所以是叫τ, 我们把τ称为这点的切线方向

所以的话呢 把它合在一起之后就得出什么呢

速度等于s一点乘以τ

τ的话就是它当地的一个(切线)方向

所以它的速度等于什么呢

等于它的弧长变化的快慢

乘以在当地的方向 切线方向

所以这就叫做速度

那么这一点 正好和我们前面讲的相呼应

就是:速度总是轨迹的切线方向

所以是τ方向

好 有了速度之后我们看看如何求加速度呢

我们以速度为基础

速度等于s一点乘以τ

那么把它再对时间求导数

我们可以看出来等于什么呢

好 利用分步方法

a等于s两点乘以τ,加上s一点乘以τ一点

因此下面关键就是来分析τ一点

τ是切线方向

这个切线方向随着轨迹变化的时候

它也是在变化的

因此 这个τ一点该怎么分析呢

这是我们的重点

好 如果我们想一下

前面我们刚刚用过的那些数学技巧

所以的话呢 τ一点本来是 dτ/ dt

就是说τ对时间求导数

我们把它变成τ对s求导数

再乘以s对t求导数

利用这样的一个分解之后

我们看看它等于什么呢

好我们先看看 dτ/ ds 等于什么

我们把它分为两部分

一个是大小 一个是方向 我们先看看大小

从这个图中我们看出来

dτ/ds 可以认为是 Δτ(与)Δs相除

然后当Δs趋于0情况下的一个结果

从图中我们可以看出来

我们可以把那个τ 以及在新的位置的τ'

两个相减的时候,可以把它(τ')移过来

移完之后形成一个Δτ

这时候 利用数学中的一些概念 我们可以知道

Δτ等于什么呢

Δτ等于两倍的 sin (1/2的Δθ)

这个Δθ就是它们两个τ之间的夹角

一个是τ,一个是τ'

好 这样一来呢 我们就知道这个结果

它是等于 1/Δs乘以2sin(Δθ/2)

好 利用三角函数的一些知识 我们就知道

它最后等于什么呢

等于Δθ除Δs 而这个就等于dθ/ ds

而这个值的话 在数学中呢 是有专门的研究的

它叫什么呢 它叫P点的曲率

叫1/ρ 叫P点的曲率

如果把它倒过来,ρ就是曲率半径

1/ρ 叫曲率

好 这是它的大小

那么下面的话 我们再看看

这个dτ/ds 的方向又怎么样呢

我们来看一下

因为我们前面说 dτ/ds 它是与τ垂直的

所以 我们令dτ/ds 等于n/ρ

n就是它(曲线)的法向方向

它是一个单位向量

那么 我们知道

如果一个曲线是平面运动(形成的)

它这个n是什么呢 就是曲线在P点的法向单位向量

如果是个空间的话呢

我们还要进一步的把它分解为主法线和副法线方向

所以 它的方向就是和τ垂直

因此 合在一起之后的话就等于什么呢

τ一点 等于n/ρ

所以它的大小方向都知道了

这样一来的话 我们带进去之后

就能知道什么呢 就是说

加速度 等于s两点 乘以τ

加上ρ分之s一点的平方乘以n

这两个项 是有它的特定物理含义的

我们看看等于什么呢

第一项 s两点乘以τ是切向加速度

而ρ分之s一点的平方是法向加速度

切向和法向的话 分别用τ和 n 表示

那么这个公式我们是不是看到比较熟悉呢

你们回想一下中学时候 你们学过的

如果一个物体做圆周运动 是什么样子的(公式)?

我们会发现

圆周运动啊 就是我们这个运动的一个特殊的情况

我们今天小结一下就是

我们(介绍了)自然坐标的描述方法

以及它得到的速度和加速度

那么它中间用到很多的技巧

利用很多数学中的求导以及三角函数的一些知识

得出相关的结果

那么它的物理含义是什么 大家稍微理解一下

好 我们今天到这儿

理论力学课程列表:

绪论

-绪论

--绪论

第一章 点的运动学

-1-1 矢量描述法

--第一章运动的描述

--1-1 矢量描述法

--矢量及其运算

-1-2 直角坐标描述法

--1-2直角坐标描述法

--例题1 椭圆规

--例题2 圆轮滚动

-1-3 自然坐标描述法

--1-3 自然坐标描述法

--例题3 单摆

-1-4 极坐标描述法

--1-4 极坐标描述法

--例题4 演员

--讨论题 多种方法求解

-扩展内容

--a 点的运动学扩展

--b 观察与思考

--c 时间与方向

--d 仰望星空

--e 兔子追击问题

-第一章 点的运动学--作业

第二章 刚体运动学

-2-1 刚体的定义与运动形式

--2-1 刚体的定义与刚体的运动形式

-2-2 刚体的矢量-矩阵描述

--2-2 刚体运动的矢量-矩阵描述

--2-2-0 刚体运动的矢量-矩阵描述

--2-2-1 刚体的运动方程

--2-2-2 刚体上任意点的速度和加速度

--2-2刚体的矢量-矩阵描述例题1-2

-2-3 刚体平面运动

--2-3 刚体平面运动

--2-3-1 平面运动的运动方程

--2-3-2 刚体上任意点的速度和加速度

--2-3-3 速度分析 基点法

--2-3-3 速度分析 瞬心法

--2-3-3 速度分析 速度投影定理

--2-3-3速度分析 刚体平面运动的瞬心轨迹

--2-3-4 刚体平面运动的加速度分析

--2-3-3速度分析例题1-4

--2-3-4加速度分析例题1-4

-2-4 刚体定点运动

--2-4-1 刚体定点运动几何分析

--2-4-2 刚体定点运动的解析描述

-扩展内容

--2-扩展-a加速度是否存在投影定理

--2-扩展-b图形放大器

--2-扩展-c连弩射击

--2-扩展-d关于刚体的转动

--2-扩展-e欧拉角探秘

-第二章 刚体运动学--作业

第三章 复合运动

-3-1 点的复合运动

--3-1 点的复合运动

--3-1-1 运动方程

--3-1-2 矢量的绝对导数与相对导数

--3-1-3 速度合成定理

--3-1-4 加速度合成定理

-3-2 刚体复合运动

--3-2 刚体复合运动

-例题

--3-1-1 运动方程例题1 工件轨迹

--3-1-3 速度合成定理例题1-3

--3-1-4 加速度合成定理例题1-4

--3-2-1 角速度合成例题1-3

--3-2-2 刚体定点运动例题1-2

-扩展内容

--钟表的设计

--寻找四叶草

--差动齿轮

--指南车

--逆行风车

-第三章 复合运动--作业

第四章 几何静力学

-4-0 静力学公理序言

--4-0 静力学公理序言

-4-1 主矢量和主矩

--4-1 主矢量和主矩

-4-2 力系的等效与简化

--4-2 力系的等效与简化

-4-3 受力分析与刚体平衡

--4-3 受力分析与刚体平衡

-4-4 平面力系的平衡方程

--4-4平面力系的平衡方程

-4-5 考虑摩擦的平衡问题

--4-5考虑摩擦的平衡问题

-4-6 刚体系的平衡

--4-6-1 组合结构

--4-6-2 桁架

--4-6-3 机构

-例题

--4-1 主矢量和主矩例题1-3

--4-2 力系的等效与简化例题1-3

--4-3 受力分析与刚体平衡例题1-3

--4-4 平面力系的平衡方程例题1-2

--4-5 考虑摩擦的平衡问题例题1-6

--4-6-1 刚体系的平衡例题1-3

--4-6-2 桁架例题1-4

-扩展内容

--4-扩展-a纸桥过车

--气球的平衡

--平衡大师

--4-扩展-d动物爬绳

--4-扩展-e力学与考古

-第四章 几何静力学--作业

第五章 分析静力学

-5-1 约束及其分类

--约束及其分类

-5-2 虚位移

--虚位移

-5-3 虚功原理

--虚功原理

-5-4 广义坐标和广义力

--广义坐标和广义力

-5-5 势力场中的平衡

--势力场中的平衡方程

-例题

--5-3 虚位移原理例题

--5-4 广义坐标和广义力例题

--5-5 势力场中的平衡方程例题

-扩展内容

--关于投影

--不倒翁

--5-扩展-c欹器

--冈布茨

-第五章 分析静力学--作业

第六章 质点动力学

-6-1 质点运动微分方程

--6-1质点运动微分方程

--6-1质点运动微分方程例题

-6-2 质点在非惯性系中的运动

--6-2 质点在非惯性系中的运动

--6-2质点在非惯性系中的运动例题1

-6-3 相对地球的运动

--6-3 相对地球的运动

-扩展内容

--宇航员的问题

--6-扩展-b在小行星上打台球

--失重现象及模拟失重

--非线性方程的近似解

--落体问题在惯性系中解释

-第六章 质点动力学--作业

第七章 质点系动力学

-7-1 质点系动量定理

--7-1 质点系动量定理

-7-2 质点系动量矩定理

--7-2-1 质点系的动量矩

--7-2-2 质点系动量矩定量

--7-2-3 刚体定轴转动微分方程

--7-2-4 刚体平面运动微分方程

-7-3 质点系动能定理

--7-3 质点系的动能定理

-7-4 质系普遍定理的综合应用

--7-4 质系普遍定理的综合应用

-7-5 碰撞

--7-5 碰撞

-例题

--7-1 质点系动量定理1-4

--7-2-1 质点系动量矩例题1

--7-2-2 质点系动量矩定理例题1-2

--7-2-3 刚体定轴转动微分方程例题1-2

--7-3 质点系动能定理例题1-2

--7-4 质系普遍定理的综合应用例题1-2

--7-5 碰撞例题1-4

-扩展内容

--7-拓展-a跳高

--7-扩展-b跳水

--7-拓展-c手机吊冰箱

--7-扩展-d小鸭下山

--7-扩展-e飞针穿玻璃

--第七章 质点系动力学--作业

第八章 分析动力学

-8-1 达朗贝尔原理

--8-1达朗贝尔原理

-8-2 达朗贝尔-拉格朗日原理

--8-2达朗贝尔-拉格朗日原理

-8-3 第二类拉格朗日方程

--8-3第二类拉格朗日方程

-8-4 拉格朗日方程首次积分

--8-4拉格朗日方程首次积分

-例题

--达朗贝尔原理例题

--8-2达朗贝尔原理-拉格朗日

--8-3第二类拉格朗日方程

--8-4拉格朗日方程首次积分

-扩展内容

--广义动量守恒

--广义能量守恒

--非定常约束

--无轮小车

-第八章 分析动力学--作业

1-3 自然坐标描述法笔记与讨论

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