当前课程知识点:理论力学 > 第一章 点的运动学 > 1-3 自然坐标描述法 > 1-3 自然坐标描述法
我们前面介绍了
矢量描述以及直角坐标描述
有同学会不会说
为什么要介绍这些描述方法
是因为在处理某些问题的时候
用不同方法描述的话
可能简便程度是不一样的
比如说 假设我们知道某个点沿着已知的轨迹运动
打个比方说我们的火车
它开的时候是沿着铁道运动的
在这种情况下
点的运动方程,就可以用点在这个轨迹上的长度
或者叫弧长,随时间变化来描述
这样一来的话,就会有它独特的地方
所以我们这样的一种描述方法称之为
自然坐标描述方法
也就是说 我们在这个已知的轨迹上面
取某一点作为它的起点,叫O点
然后呢 从这点开始它运动
它运动的这个弧长我们把它叫做s
s是弧长 它随时间变化
所以是 s = s(t)
这个表达式就是它的运动方程
所以它跟前面的表达式不太一样
好,下面我们着重看一下
有这个运动方程之后,我们如何导出速度和加速度
那么速度的话呢
我们知道根据前面矢量描述方法的话
它等于是dr/dt
那么直接分析的时候不好分析
所以我们利用数学中的技巧, 把它写成是
dr/dt 等于 dr/ds 乘以 ds/dt
其中这里面的r, 是它的矢径或者叫向径
s是它的弧长
这样一来, 我们就把问题变为
如何求 dr/ds 呢? 以及如何求 ds/dt 呢?
我们把它分别来看一下
首先我们看 dr/ds , 就是说r对s求导数
它是等于Δr除以Δs
以及当Δs趋于0的时候的结果
我们从这个图中可以看出
当P点运动到P'点的时候
这个Δs和Δr明显是不一样的
但是我们可以看出来
当它们 如果两个值很趋近0的时候
当Δs趋于0的时候
这时候从数学上来看
Δs和Δr相除就等于1
所以, 利用数学极限的分析方法
可以很快得出这个结果
下面我们着重看看
dr/ds 又等于什么呢?
如果我们记住刚才前面曾经说过的
求导相当于是
一个割线的不断变化
它的极限是它的切线
因此的话 它出来之后应该是一个什么呢
是P点的一个切线的方向
所以是叫τ, 我们把τ称为这点的切线方向
所以的话呢 把它合在一起之后就得出什么呢
速度等于s一点乘以τ
τ的话就是它当地的一个(切线)方向
所以它的速度等于什么呢
等于它的弧长变化的快慢
乘以在当地的方向 切线方向
所以这就叫做速度
那么这一点 正好和我们前面讲的相呼应
就是:速度总是轨迹的切线方向
所以是τ方向
好 有了速度之后我们看看如何求加速度呢
我们以速度为基础
速度等于s一点乘以τ
那么把它再对时间求导数
我们可以看出来等于什么呢
好 利用分步方法
a等于s两点乘以τ,加上s一点乘以τ一点
因此下面关键就是来分析τ一点
τ是切线方向
这个切线方向随着轨迹变化的时候
它也是在变化的
因此 这个τ一点该怎么分析呢
这是我们的重点
好 如果我们想一下
前面我们刚刚用过的那些数学技巧
所以的话呢 τ一点本来是 dτ/ dt
就是说τ对时间求导数
我们把它变成τ对s求导数
再乘以s对t求导数
利用这样的一个分解之后
我们看看它等于什么呢
好我们先看看 dτ/ ds 等于什么
我们把它分为两部分
一个是大小 一个是方向 我们先看看大小
从这个图中我们看出来
dτ/ds 可以认为是 Δτ(与)Δs相除
然后当Δs趋于0情况下的一个结果
从图中我们可以看出来
我们可以把那个τ 以及在新的位置的τ'
两个相减的时候,可以把它(τ')移过来
移完之后形成一个Δτ
这时候 利用数学中的一些概念 我们可以知道
Δτ等于什么呢
Δτ等于两倍的 sin (1/2的Δθ)
这个Δθ就是它们两个τ之间的夹角
一个是τ,一个是τ'
好 这样一来呢 我们就知道这个结果
它是等于 1/Δs乘以2sin(Δθ/2)
好 利用三角函数的一些知识 我们就知道
它最后等于什么呢
等于Δθ除Δs 而这个就等于dθ/ ds
而这个值的话 在数学中呢 是有专门的研究的
它叫什么呢 它叫P点的曲率
叫1/ρ 叫P点的曲率
如果把它倒过来,ρ就是曲率半径
1/ρ 叫曲率
好 这是它的大小
那么下面的话 我们再看看
这个dτ/ds 的方向又怎么样呢
我们来看一下
因为我们前面说 dτ/ds 它是与τ垂直的
所以 我们令dτ/ds 等于n/ρ
n就是它(曲线)的法向方向
它是一个单位向量
那么 我们知道
如果一个曲线是平面运动(形成的)
它这个n是什么呢 就是曲线在P点的法向单位向量
如果是个空间的话呢
我们还要进一步的把它分解为主法线和副法线方向
所以 它的方向就是和τ垂直
因此 合在一起之后的话就等于什么呢
τ一点 等于n/ρ
所以它的大小方向都知道了
这样一来的话 我们带进去之后
就能知道什么呢 就是说
加速度 等于s两点 乘以τ
加上ρ分之s一点的平方乘以n
这两个项 是有它的特定物理含义的
我们看看等于什么呢
第一项 s两点乘以τ是切向加速度
而ρ分之s一点的平方是法向加速度
切向和法向的话 分别用τ和 n 表示
那么这个公式我们是不是看到比较熟悉呢
你们回想一下中学时候 你们学过的
如果一个物体做圆周运动 是什么样子的(公式)?
我们会发现
圆周运动啊 就是我们这个运动的一个特殊的情况
我们今天小结一下就是
我们(介绍了)自然坐标的描述方法
以及它得到的速度和加速度
那么它中间用到很多的技巧
利用很多数学中的求导以及三角函数的一些知识
得出相关的结果
那么它的物理含义是什么 大家稍微理解一下
好 我们今天到这儿
-绪论
--绪论
-1-1 矢量描述法
--第一章运动的描述
--矢量及其运算
-1-2 直角坐标描述法
--例题1 椭圆规
--例题2 圆轮滚动
-1-3 自然坐标描述法
--例题3 单摆
-1-4 极坐标描述法
--例题4 演员
-扩展内容
--b 观察与思考
--c 时间与方向
--d 仰望星空
--e 兔子追击问题
-第一章 点的运动学--作业
-2-1 刚体的定义与运动形式
-2-2 刚体的矢量-矩阵描述
-2-3 刚体平面运动
-2-4 刚体定点运动
-扩展内容
-第二章 刚体运动学--作业
-3-1 点的复合运动
-3-2 刚体复合运动
-例题
-扩展内容
--钟表的设计
--寻找四叶草
--差动齿轮
--指南车
--逆行风车
-第三章 复合运动--作业
-4-0 静力学公理序言
-4-1 主矢量和主矩
-4-2 力系的等效与简化
-4-3 受力分析与刚体平衡
-4-4 平面力系的平衡方程
-4-5 考虑摩擦的平衡问题
-4-6 刚体系的平衡
--4-6-2 桁架
--4-6-3 机构
-例题
-扩展内容
--气球的平衡
--平衡大师
-第四章 几何静力学--作业
-5-1 约束及其分类
--约束及其分类
-5-2 虚位移
--虚位移
-5-3 虚功原理
--虚功原理
-5-4 广义坐标和广义力
--广义坐标和广义力
-5-5 势力场中的平衡
-例题
-扩展内容
--关于投影
--不倒翁
--5-扩展-c欹器
--冈布茨
-第五章 分析静力学--作业
-6-1 质点运动微分方程
-6-2 质点在非惯性系中的运动
-6-3 相对地球的运动
-扩展内容
--宇航员的问题
-第六章 质点动力学--作业
-7-1 质点系动量定理
-7-2 质点系动量矩定理
-7-3 质点系动能定理
-7-4 质系普遍定理的综合应用
-7-5 碰撞
--7-5 碰撞
-例题
-扩展内容
--7-拓展-a跳高
--7-扩展-b跳水
--第七章 质点系动力学--作业
-8-1 达朗贝尔原理
-8-2 达朗贝尔-拉格朗日原理
-8-3 第二类拉格朗日方程
-8-4 拉格朗日方程首次积分
-例题
--达朗贝尔原理例题
-扩展内容
--广义动量守恒
--广义能量守恒
--非定常约束
--无轮小车
-第八章 分析动力学--作业