1-3 自然坐标描述法在线视频

我们前面介绍了

矢量描述以及直角坐标描述

有同学会不会说

为什么要介绍这些描述方法

是因为在处理某些问题的时候

用不同方法描述的话

可能简便程度是不一样的

比如说 假设我们知道某个点沿着已知的轨迹运动

打个比方说我们的火车

它开的时候是沿着铁道运动的

在这种情况下

点的运动方程，就可以用点在这个轨迹上的长度

或者叫弧长，随时间变化来描述

这样一来的话，就会有它独特的地方

所以我们这样的一种描述方法称之为

自然坐标描述方法

也就是说 我们在这个已知的轨迹上面

取某一点作为它的起点，叫O点

然后呢 从这点开始它运动

它运动的这个弧长我们把它叫做s

s是弧长 它随时间变化

所以是 s = s(t)

这个表达式就是它的运动方程

所以它跟前面的表达式不太一样

好，下面我们着重看一下

有这个运动方程之后，我们如何导出速度和加速度

那么速度的话呢

我们知道根据前面矢量描述方法的话

它等于是dr/dt

那么直接分析的时候不好分析

所以我们利用数学中的技巧, 把它写成是

dr/dt 等于 dr/ds 乘以 ds/dt

其中这里面的r, 是它的矢径或者叫向径

s是它的弧长

这样一来, 我们就把问题变为

如何求 dr/ds 呢? 以及如何求 ds/dt 呢?

我们把它分别来看一下

首先我们看 dr/ds , 就是说r对s求导数

它是等于Δr除以Δs

以及当Δs趋于0的时候的结果

我们从这个图中可以看出

当P点运动到P'点的时候

这个Δs和Δr明显是不一样的

但是我们可以看出来

当它们 如果两个值很趋近0的时候

当Δs趋于0的时候

这时候从数学上来看

Δs和Δr相除就等于1

所以, 利用数学极限的分析方法

可以很快得出这个结果

下面我们着重看看

dr/ds 又等于什么呢?

如果我们记住刚才前面曾经说过的

求导相当于是

一个割线的不断变化

它的极限是它的切线

因此的话 它出来之后应该是一个什么呢

是P点的一个切线的方向

所以是叫τ， 我们把τ称为这点的切线方向

所以的话呢 把它合在一起之后就得出什么呢

速度等于s一点乘以τ

τ的话就是它当地的一个（切线）方向

所以它的速度等于什么呢

等于它的弧长变化的快慢

乘以在当地的方向 切线方向

所以这就叫做速度

那么这一点 正好和我们前面讲的相呼应

就是：速度总是轨迹的切线方向

所以是τ方向

好 有了速度之后我们看看如何求加速度呢

我们以速度为基础

速度等于s一点乘以τ

那么把它再对时间求导数

我们可以看出来等于什么呢

好 利用分步方法

a等于s两点乘以τ，加上s一点乘以τ一点

因此下面关键就是来分析τ一点

τ是切线方向

这个切线方向随着轨迹变化的时候

它也是在变化的

因此 这个τ一点该怎么分析呢

这是我们的重点

好 如果我们想一下

前面我们刚刚用过的那些数学技巧

所以的话呢 τ一点本来是 dτ/ dt

就是说τ对时间求导数

我们把它变成τ对s求导数

再乘以s对t求导数

利用这样的一个分解之后

我们看看它等于什么呢

好我们先看看 dτ/ ds 等于什么

我们把它分为两部分

一个是大小 一个是方向 我们先看看大小

从这个图中我们看出来

dτ/ds 可以认为是 Δτ(与)Δs相除

然后当Δs趋于0情况下的一个结果

从图中我们可以看出来

我们可以把那个τ 以及在新的位置的τ'

两个相减的时候，可以把它（τ'）移过来

移完之后形成一个Δτ

这时候 利用数学中的一些概念 我们可以知道

Δτ等于什么呢

Δτ等于两倍的 sin (1/2的Δθ)

这个Δθ就是它们两个τ之间的夹角

一个是τ，一个是τ'

好 这样一来呢 我们就知道这个结果

它是等于 1/Δs乘以2sin（Δθ/2）

好 利用三角函数的一些知识 我们就知道

它最后等于什么呢

等于Δθ除Δs 而这个就等于dθ/ ds

而这个值的话 在数学中呢 是有专门的研究的

它叫什么呢 它叫P点的曲率

叫1/ρ 叫P点的曲率

如果把它倒过来,ρ就是曲率半径

1/ρ 叫曲率

好 这是它的大小

那么下面的话 我们再看看

这个dτ/ds 的方向又怎么样呢

我们来看一下

因为我们前面说 dτ/ds 它是与τ垂直的

所以 我们令dτ/ds 等于n/ρ

n就是它（曲线）的法向方向

它是一个单位向量

那么 我们知道

如果一个曲线是平面运动（形成的）

它这个n是什么呢 就是曲线在P点的法向单位向量

如果是个空间的话呢

我们还要进一步的把它分解为主法线和副法线方向

所以 它的方向就是和τ垂直

因此 合在一起之后的话就等于什么呢

τ一点 等于n/ρ

所以它的大小方向都知道了

这样一来的话 我们带进去之后

就能知道什么呢 就是说

加速度 等于s两点 乘以τ

加上ρ分之s一点的平方乘以n

这两个项 是有它的特定物理含义的

我们看看等于什么呢

第一项 s两点乘以τ是切向加速度

而ρ分之s一点的平方是法向加速度

切向和法向的话 分别用τ和 n 表示

那么这个公式我们是不是看到比较熟悉呢

你们回想一下中学时候 你们学过的

如果一个物体做圆周运动 是什么样子的（公式）？

我们会发现

圆周运动啊 就是我们这个运动的一个特殊的情况

我们今天小结一下就是

我们（介绍了）自然坐标的描述方法

以及它得到的速度和加速度

那么它中间用到很多的技巧

利用很多数学中的求导以及三角函数的一些知识

得出相关的结果

那么它的物理含义是什么 大家稍微理解一下

好 我们今天到这儿