4-5考虑摩擦的平衡问题在线视频

大家好

今天我们介绍第五节

考虑摩擦的平衡问题

我们先介绍一下

摩擦的基本知识

摩擦可以分为这样几类

第一是干摩擦

比如说我们走路的时候

我们的鞋底

和地面间的摩擦是属于干摩擦

我们系鞋带

有的人鞋带系的时候总是会松开

关于这点以后我们会告诉你有诀窍的

这就属于干摩擦

除了干摩擦之外还有湿摩擦

湿摩擦也称为粘性阻尼

比如像水、油都会有这种摩擦

还有结构内部摩擦

比如说铁丝弯曲

来回地弯曲

过一会你会发现铁丝弯曲的地方发热

就是分子内部之间有摩擦，使它发热

实际上人们很早就

利用摩擦

为人类自己服务，比如说

在早期人们利用

钻木取火的方式

来钻

使得摩擦的地方发热

慢慢地产生火

所以

利用摩擦使人类产生火

是使人走出动物的关键的一步

所以摩擦在这里面还是起了关键作用

摩擦的机理很复杂

至今没有定论

人们一般认为

摩擦可能是，比如说

是由于表面接触不平所导致的

比如说

如果我们的路面

比较平坦的话，我们推个物体还比较轻松

如果很凹凸不平，推起来就推不动了

所以人们最开始提出一个

凹凸接触理论

这个理论

能解释很多现象，但是

后来发现

随着加工工业的提高

人们发现把金属面

削的很平之后

物体间接触的很平了

但是摩擦反而增加了

所以这个（凹凸接触）理论就出现问题了

所以人们就提出来什么呢

分子理论

人们认为

当很平的时候，靠的很近之后

两个物体间的

分子会靠的很近

有静电作用

（克服）静电作用的（结果）

会使得物体的摩擦增加

所以又提出来静电理论

它能解释一部分现象

但是后来又出现问题了

人们又提出一种粘着理论

摩擦是两个物体相互接触

然后运动的时候

会使得物体变形的地方

产生了一些磨损

所以提出了粘着理论等等

也就是说摩擦理论

有很多种，每种理论都能解释一部分现象

但是不能解释所有现象

所以至今还没有定论

那么我们

在我们这门课中

我们主要研究的是干摩擦

其中特别是研究

静滑动摩擦和动滑动摩擦

那么关于这个

静和动滑动摩擦，我们来看看示意图

有个物体在水平面上

一个力P去拉它

这个P的力慢慢慢慢增加

可以看出来

随着这个力增加

在开始的时候，这个物体是不动的

当这个力大于某个（临界值）情况下

物体开始动起来了

这个很容易在生活中得到验证

你推个物体是这样的

如果我们仔细分析，发现什么呢

这个力开始慢慢慢慢增加

一旦动起来之后会下降一点点

所以这个例子表明

这个静摩擦和动摩擦

它们还是有点区别的，就是说

开始有个最大静摩擦

然后，或者说动摩擦比最大静摩擦要稍微小一点点

但是小的程度

可能根据不同的情况有变化

但是一般来说

还是比较接近的，所以

如果不加特别说明的话

我们认为动摩擦

等于最大静摩擦

下面我们介绍

关于摩擦的库仑定律

库仑通过做很多实验

总结出这样几个结论

第一

静摩擦力F的方向

与两接触物体相对滑动趋势相反

大家注意是滑动趋势

因为是静态的，物体它还没动起来

是滑动趋势

那么我们看个例子

比如说在这个图片中

法国作家加缪写的西西弗的神话

西西弗他违反了

天神的旨意，所以被罚

推一个石头上山

每天都要推

推到山顶之后，石头就会滑下来

他又重做这个工作

所以每天都要做这个事情

那么假设在这个时刻

他推累了要稍微休息一会儿

我们想问这个石头

摩擦力是朝什么方向

朝上还是朝下呢

我们说现在还定不下了

这要看他的

在这种状态时候他的用力是怎么样

比如说，我们对石头进行受力分析

它受重力

还受支撑力

如果这个西西弗在这个时刻

虽然静止

但稍微用的力比较大一点呢

石头有向上运动的趋势

这时候摩擦力是（沿斜面）向下的

但是如果在这个时候他很累了

有点顶不住的情况下

他的推力比较小

那么这个时候

摩擦力还是（沿斜面）向上的

所以

仅仅通过这个图片

你还看不出

摩擦力到底朝什么方向，还得进一步分析

所以要注意的是

摩擦力的方向

是和物体相对滑动趋势相反的

物体这时还没有动

它只有一个运动趋势

那么库仑还总结出

摩擦力的第二个定律

最大静摩擦力Fmax它的大小

和正压力N成正比

那么写成公式是什么呢

F≤F max

而这个最大摩擦力等于什么呢

摩擦系数μ乘以正压力

那么这个是可以很容易做实验来验证的

比如说

桌上放个物体，来拉它

我们看弹簧的读数

比如说拉出来三格

下面（图中）加个砝码之后再拉它

出来4格

压力增加之后

摩擦力增加，拉力相应也要增加

我们需要注意的是

摩擦力是一种约束力

它是和主动力有关系的

那么比如说一个物体放到这儿

我们去推它

开始的时候，还没有动的时候

P力在增加的时候

摩擦力也在增加

所以在物体平衡的时候有F=P

同时还要注意

这个F≤最大的摩擦力

F＜μ*N

两个要同时满足

好，知道这个摩擦的基本知识之后

我们可以来判断一下

亚里斯多德他的错误

他由于没考虑摩擦影响，他得出一个错误的结论

比如说，我们看这个例子

一个小女孩推着一个书柜

推不动了

她一不使力书柜就停下来了

亚里斯多德说

他说你这个现象啊我早就说过了

力是维持物体运动的原因

他说的也有道理

因为你推这个书柜

你推它，它就走起来了

你不推，它就马上停下来了

所以他说的有道理

但是我们现在认为

亚里斯多德说的

“力是维持物体运动的原因”是错误的

为什么呢

这小女孩她就知道，因为

没考虑摩擦力

所以说

伟大的人物有的时候也会犯一些错误

但是这个错误

也不是说太过于离谱

他也是从现实生活中得出来的

只是他没有注意到某些现象

所以犯了这个错误

好下面我们介绍第三节

摩擦角与自锁现象

我们看这个示意图

我们经常能看到有些小孩

喜欢在斜面上滑下来

我们注意到

这个小男孩

他就滑下来了，滑的很快

还有一个小女孩

她坐在斜面上就滑不下来

我们仔细看，区别在哪儿呢

这个男孩

坐的这个斜面角度稍微大一点

这个女孩这个角度稍微小一点

那么从这里面

我们就引出关于摩擦角的一些现象

好，我们介绍摩擦角与摩擦锥

当摩擦力

达到最大静摩擦力的时候

全约束反力R

这个R表示的是摩擦力

与支撑力的合力

这个R

与约束面的法向的夹角

称为叫摩擦角

我们比方说叫θm

在图中我们看出来

支撑力N、摩擦力F

这两个合在一起之后

一个总的合力R

这个R

和这个法向方向的夹角

θm

就形成了摩擦角

那么我们很容易根据

力的受力分析得出来

这个摩擦角的正切

就是等于摩擦系数

好，那么以约束面法向为中心轴

以两倍的θm为顶角

所形成的一个正圆锥就叫摩擦锥

看示意图

那么摩擦自锁是什么意思呢

就是当主动力合力P的作用线

处于摩擦锥之内时

比如这个P力作用的时候

如果这个P力和竖直线的夹角比较小

在摩擦锥之内的时候

无力这个主动力P多大

约束反力都可以与之平衡

这一现象称为摩擦自锁

好，我们看这示意图

P力在摩擦锥之内

不管（P力）它怎么增加

因为当P力增加的时候

压力也会增加

摩擦力也会增加

所以，总是可以平衡的

好，我们根据这个示意图看出来

由于全反力

与法线的最大夹角是θm

所以根据二力平衡原理

当主动力在摩擦锥之内的时候

系统总是可以平衡

所以不管P力怎么增加

它都是会平衡

所以这个就叫摩擦自锁现象

那么我们可以看看这个例子

比如说一本书放桌上

它存在一个摩擦角（或摩擦锥）

那么当我们手去推这本书的时候

如果你的手在这个摩擦锥的外面

我们现在画的是摩擦锥

因为你可以从各个方向推它

一个锥形

如果你的手在摩擦锥之外

你可以把这本书推动起来

但是你的手在摩擦锥里面

这本书是不动的

我们看看特殊情况，你可能很容易想象

如果你从竖直方向推这本书

它当然是不动的，所以这个特殊情况

就暗示了摩擦自锁的现象

好，我们再来看，比如说

我们把一个物块放在一个斜面上面

这个物块会不会动起来？

就看它的重力是不是在这个摩擦锥里面

我们可以建立起一个法线方向

把摩擦锥画出来

如果这个重力

处于摩擦锥之内

它就处于平衡

如果这个重力在摩擦锥之外

它就会滑下来

那么利用这一个事实

我们可以来测量摩擦

就是物体和斜面之间的摩擦系数

怎么测呢？比如说

我们找到一个

我们想要研究的某个物体

把它放在一个滑板上面

我们慢慢增加（滑板）它的角度

一开始的时候（物体）它是处于平衡的，因为这个角度小

这个物体的重力还是落在摩擦锥之内

但是到某一角度之后

重力已经超出了摩擦角

它就会动起来

我们把它这个物体

刚刚动的这一瞬时的这个角度

把它定下来

那个角度就叫摩擦角

所以利用这种方式

很容易找出物体的摩擦角

那么下面介绍摩擦自锁现象

我们可能都见过在工地上面

汽车运了很多沙子，堆下来

堆下来之后地上就形成一个沙堆

在没有特殊情况下

沙堆会形成比较尖的情况

而且这个角度啊

是有一定的讲究的

我们来把它测一下

发现这个角度是不大于它的摩擦角

那么这是可以解释的

因为我们假设它的

角度大于摩擦角

那么某一颗沙子就会滚下来

所以它最后滚、滚、滚就自然形成一个

锥面，这个锥面（的角度）就是摩擦角

那么这个现象在自然界中可以找到很多类似的地方

我们看一下，比如说

日本的那个富士山火山

我们可以想象它当年喷发的时候

喷出很多岩浆

岩浆就往下流

慢慢地形成了石头

干化之后就成了石头

这石头又风化

你可以想象

风化之后

如果这个（山坡）角度大于摩擦角

风化的石头就会往下滚

所以最后（山坡）就会形成一个角度

这个角度基本上反映的是

石头之间的摩擦角

还比如说

我们常见的千斤顶

一般汽车后面都放一个千斤顶备用

如果汽车出现故障，可以把汽车顶起来

这个千斤顶

实际上，本质上是一个

就是一个

这个螺纹

在这个斜面上处于平衡的情况

那么你给它推力之后可以把汽车顶起来

但汽车本身它有一个自重，下不来

这就是

你设计时候要使得这个

千斤顶螺纹的角度

要小于一个物体之间的摩擦角就可以

利用摩擦角

和摩擦自锁现象可以设计一些工具

比如说，这是一个偏心夹具

这个夹具

在O点处和一个杠杆相连接

我们只要在这个

扳手往下一按

它就可以把这个砖头夹住

这边就可以进行加工了

在这个时候要考虑它设计

要满足什么条件呢

要满足这个角C O A

这个角C O A

要小于摩擦角

这就可以了

那么还比如说

如果有的时候你要转动一个东西

但是你

扳手没有

你可以临时做一个

轻便的扳钳，怎么做呢

就一根棍儿、一根绳子就可以了

在这种情况下

一扳它就可以转过去了

那么这个也是利用了摩擦自锁现象

那么下面我们介绍一下

求解有摩擦的平衡问题的特点

第一就是摩擦面的

全约束反力R的作用线

一定处于摩擦锥之内

这是第一个要点

第二个

平衡的充分必要条件是

主动力的作用线

在摩擦锥内且方向指向接触点

第三个

受力图中多了摩擦力

另外一方面

除了静力学平衡方程式之外，还补充一个

这个摩擦力是小于等于

摩擦系数乘重压力

就是摩擦力小于最大摩擦力，这有一个条件

此外很关键一点要注意

在考虑有摩擦的情况下

得到的结果通常是一个范围

它不是某一个确定解

通常是一个范围

另外还要注意

因为解是一个范围，所以说

本质上是求一个

求解一个不等式

因为我们一般来说

求不等式比较麻烦

所以我们可以在极限情况下求等式

然后再根据物理条件来判断

是大于还是小于，确定一下范围

好，这就是关于求解摩擦问题的特点

我们下面会介绍一些例题来分析