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2-2-2 刚体上任意点的速度和加速度在线视频

2-2-2 刚体上任意点的速度和加速度

下一节:2-2刚体的矢量-矩阵描述例题1-2

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2-2-2 刚体上任意点的速度和加速度课程教案、知识点、字幕

我们已经把刚体的运动进行了描述

下面我们求一下刚体的速度和加速度

我们知道,速度是R对时间求导数

因此我们直接看它的投影公式

R=Ro+r

为了方便,下划线我们就不讲了

它的下划线表示投影

同时它等于什么呢

等于Ro加上A乘以ρ

好,我们把这个式子两边对时间求导数

得到什么呢

得到:R一点(导数)=Ro一点+A一点ρ+Aρ一点

然后我们需要利用一些性质

就是:r和ρ是同一矢量在不同坐标系中的表示

它们之间是有关系的

ρ=A转置乘以r

以及,ρ这个矢量

ρ是r矢量在动坐标中看到的投影

它在动坐标中看,是不动的

所以ρ的导数等于0

好,这样一来,

R一点=Ro一点+A导数 乘以A转置 乘以r

好了,A的导数乘以A转置 等于一个矩阵

这个矩阵是一个反对称矩阵

对角线元素为0

它里面元素有ω1、ω2、ω3

我们前面讲过,这个矩阵叫做“叉乘矩阵”

是ω的叉乘矩阵,我们现在这么定义

然后,我们注意

因为这个矩阵里面只有三个量是独立的

ω1、ω2、ω3,我们把它专门抽出来

把它看成矢量ω的投影列阵

这样一来,我们就可以写成

ω的投影=(ω1,ω2,ω3)

这样一来,原来

A的导数 乘以A转置 乘以r =(ω×r)

好,最后我们得到这样一个公式

任一点的速度等于什么呢

它等于O点的速度 加上ω叉乘r

好,这就是关于(刚体上)任一点的速度表达式

有这个公式之后

我们把它进一步结合图来看是什么

就是Vp=Vo+ω×r

那么其中要注意的是:O是基点

Vo就是基点的速度

而ω呢?我们现在把它称之为“刚体的角速度”

它是从(矩阵)A这个里面来的

而A是坐标转换矩阵

它是和基点没有关系的

所以(角速度)它是不依赖于基点的

我们要特别注意一下:

角速度是通过坐标转换矩阵导出来的

这和以前在物理中学过的

定轴转动的角速度是不太一样的

所以(现在的角速度定义)是一个更一般的定义

好了,有了前面的刚体速度(表达式)之后

我们很容易得到一个投影定理

比如说刚体做一般运动的时候

Vp=Vo+ω×r

我们画个图看看

A点速度朝(右下)这边,B点速度朝(右上)那边

这时候我们注意到什么呢

因为VB=VA+ω×rAB,(rAB)就是AB之间矢量

这时候我们注意到

rAB等于它的长度乘以单位向量

因此我们可以看出来

ω×rAB这个矢量,它是垂直于e这个单位向量的

因此,我们把这个式子点积一下就是:

(ω×rAB),和e点积等于0

利用这个结果,我们看出来

VB·e=VA·e+(ω×rAB)·e

同时我们注意到:最后一项是为0的

因此得出什么结果呢

得出来:A点速度在AB的单位向量投影

等于B点速度在AB单位向量的投影

这就是“速度投影定理”

那么这个(定理)是什么意思呢

它实际上表示的是:AB之间的距离是不变的

我们可以想象

如果A点固定不动,B点它要动

但是(因为刚体)它距离又不能变

它只能做一个转动(因此转动速度一点与AB联线垂直)

所以投影定理表示的是这个意思

表示:(刚体)两点之间距离是不变的

当然这是关于速度投影定理

我们可以提一个问题

加速度有没有投影定理呢

考虑一下,不要轻易地回答哦

前面我们介绍了刚体上一点的速度怎么求

我们也已经有了表达式

Vp=Vo+ω×r

那么我们只需要把这个速度对时间再求导数

就能求出加速度关系

我们来看一下

P点速度求导后得到P点的加速度

O点速度求导后得到O点的加速度

那么下面注意的是

ω求导是角加速度,我们用ε表示

然后它加上ε×r,再加上ω×r一点

我们注意到:在上一个章节刚讲过

r一点又等于什么呢

等于ω叉乘以r

所以带进来之后,得到这样一个公式

ap=ao+ε×r+ω(ω×r)

这些公式里面每项都是有特定含义的

其中第一个ao表示的是基点加速度

ε叉乘r的是转动加速度

而最后一项,ω×(ω×r)

是向轴加速度

当然我们可以提个问题

为什么不叫切向加速度?不叫法向加速度呢

大家可以考虑一下

好,最后我们小节一下

我们在讲了刚体的运动之后

我们有刚体的运动方程,写成

Ro等于Ro随时间的变化

A随时间的变化

A是刚体转换矩阵

那么角速度,我们特别强调一下

角速度等于A的导数乘以A转置

它(乘)出来之后是一个矩阵

这个矩阵是一个反对称矩阵

它只有三个独立的元素

我们把这三个元素抽出来,可以构成一个角速度

所以从这个意义上来说

角速度的定义是从A里面出来的

然后角加速度

ε等于ω一点,对时间求导数

那么P点速度是:Vp=Vo+ω×r

而P点的加速度是:ap=ao+ε×r+ω×(ω×r)

这就是关于刚体运动的公式

理论力学课程列表:

绪论

-绪论

--绪论

第一章 点的运动学

-1-1 矢量描述法

--第一章运动的描述

--1-1 矢量描述法

--矢量及其运算

-1-2 直角坐标描述法

--1-2直角坐标描述法

--例题1 椭圆规

--例题2 圆轮滚动

-1-3 自然坐标描述法

--1-3 自然坐标描述法

--例题3 单摆

-1-4 极坐标描述法

--1-4 极坐标描述法

--例题4 演员

--讨论题 多种方法求解

-扩展内容

--a 点的运动学扩展

--b 观察与思考

--c 时间与方向

--d 仰望星空

--e 兔子追击问题

-第一章 点的运动学--作业

第二章 刚体运动学

-2-1 刚体的定义与运动形式

--2-1 刚体的定义与刚体的运动形式

-2-2 刚体的矢量-矩阵描述

--2-2 刚体运动的矢量-矩阵描述

--2-2-0 刚体运动的矢量-矩阵描述

--2-2-1 刚体的运动方程

--2-2-2 刚体上任意点的速度和加速度

--2-2刚体的矢量-矩阵描述例题1-2

-2-3 刚体平面运动

--2-3 刚体平面运动

--2-3-1 平面运动的运动方程

--2-3-2 刚体上任意点的速度和加速度

--2-3-3 速度分析 基点法

--2-3-3 速度分析 瞬心法

--2-3-3 速度分析 速度投影定理

--2-3-3速度分析 刚体平面运动的瞬心轨迹

--2-3-4 刚体平面运动的加速度分析

--2-3-3速度分析例题1-4

--2-3-4加速度分析例题1-4

-2-4 刚体定点运动

--2-4-1 刚体定点运动几何分析

--2-4-2 刚体定点运动的解析描述

-扩展内容

--2-扩展-a加速度是否存在投影定理

--2-扩展-b图形放大器

--2-扩展-c连弩射击

--2-扩展-d关于刚体的转动

--2-扩展-e欧拉角探秘

-第二章 刚体运动学--作业

第三章 复合运动

-3-1 点的复合运动

--3-1 点的复合运动

--3-1-1 运动方程

--3-1-2 矢量的绝对导数与相对导数

--3-1-3 速度合成定理

--3-1-4 加速度合成定理

-3-2 刚体复合运动

--3-2 刚体复合运动

-例题

--3-1-1 运动方程例题1 工件轨迹

--3-1-3 速度合成定理例题1-3

--3-1-4 加速度合成定理例题1-4

--3-2-1 角速度合成例题1-3

--3-2-2 刚体定点运动例题1-2

-扩展内容

--钟表的设计

--寻找四叶草

--差动齿轮

--指南车

--逆行风车

-第三章 复合运动--作业

第四章 几何静力学

-4-0 静力学公理序言

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-4-1 主矢量和主矩

--4-1 主矢量和主矩

-4-2 力系的等效与简化

--4-2 力系的等效与简化

-4-3 受力分析与刚体平衡

--4-3 受力分析与刚体平衡

-4-4 平面力系的平衡方程

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-4-5 考虑摩擦的平衡问题

--4-5考虑摩擦的平衡问题

-4-6 刚体系的平衡

--4-6-1 组合结构

--4-6-2 桁架

--4-6-3 机构

-例题

--4-1 主矢量和主矩例题1-3

--4-2 力系的等效与简化例题1-3

--4-3 受力分析与刚体平衡例题1-3

--4-4 平面力系的平衡方程例题1-2

--4-5 考虑摩擦的平衡问题例题1-6

--4-6-1 刚体系的平衡例题1-3

--4-6-2 桁架例题1-4

-扩展内容

--4-扩展-a纸桥过车

--气球的平衡

--平衡大师

--4-扩展-d动物爬绳

--4-扩展-e力学与考古

-第四章 几何静力学--作业

第五章 分析静力学

-5-1 约束及其分类

--约束及其分类

-5-2 虚位移

--虚位移

-5-3 虚功原理

--虚功原理

-5-4 广义坐标和广义力

--广义坐标和广义力

-5-5 势力场中的平衡

--势力场中的平衡方程

-例题

--5-3 虚位移原理例题

--5-4 广义坐标和广义力例题

--5-5 势力场中的平衡方程例题

-扩展内容

--关于投影

--不倒翁

--5-扩展-c欹器

--冈布茨

-第五章 分析静力学--作业

第六章 质点动力学

-6-1 质点运动微分方程

--6-1质点运动微分方程

--6-1质点运动微分方程例题

-6-2 质点在非惯性系中的运动

--6-2 质点在非惯性系中的运动

--6-2质点在非惯性系中的运动例题1

-6-3 相对地球的运动

--6-3 相对地球的运动

-扩展内容

--宇航员的问题

--6-扩展-b在小行星上打台球

--失重现象及模拟失重

--非线性方程的近似解

--落体问题在惯性系中解释

-第六章 质点动力学--作业

第七章 质点系动力学

-7-1 质点系动量定理

--7-1 质点系动量定理

-7-2 质点系动量矩定理

--7-2-1 质点系的动量矩

--7-2-2 质点系动量矩定量

--7-2-3 刚体定轴转动微分方程

--7-2-4 刚体平面运动微分方程

-7-3 质点系动能定理

--7-3 质点系的动能定理

-7-4 质系普遍定理的综合应用

--7-4 质系普遍定理的综合应用

-7-5 碰撞

--7-5 碰撞

-例题

--7-1 质点系动量定理1-4

--7-2-1 质点系动量矩例题1

--7-2-2 质点系动量矩定理例题1-2

--7-2-3 刚体定轴转动微分方程例题1-2

--7-3 质点系动能定理例题1-2

--7-4 质系普遍定理的综合应用例题1-2

--7-5 碰撞例题1-4

-扩展内容

--7-拓展-a跳高

--7-扩展-b跳水

--7-拓展-c手机吊冰箱

--7-扩展-d小鸭下山

--7-扩展-e飞针穿玻璃

--第七章 质点系动力学--作业

第八章 分析动力学

-8-1 达朗贝尔原理

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-8-2 达朗贝尔-拉格朗日原理

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-8-3 第二类拉格朗日方程

--8-3第二类拉格朗日方程

-8-4 拉格朗日方程首次积分

--8-4拉格朗日方程首次积分

-例题

--达朗贝尔原理例题

--8-2达朗贝尔原理-拉格朗日

--8-3第二类拉格朗日方程

--8-4拉格朗日方程首次积分

-扩展内容

--广义动量守恒

--广义能量守恒

--非定常约束

--无轮小车

-第八章 分析动力学--作业

2-2-2 刚体上任意点的速度和加速度笔记与讨论

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