2-2-2 刚体上任意点的速度和加速度在线视频

我们已经把刚体的运动进行了描述

下面我们求一下刚体的速度和加速度

我们知道，速度是R对时间求导数

因此我们直接看它的投影公式

R=Ro+r

为了方便，下划线我们就不讲了

它的下划线表示投影

同时它等于什么呢

等于Ro加上A乘以ρ

好，我们把这个式子两边对时间求导数

得到什么呢

得到：R一点（导数）=Ro一点+A一点ρ+Aρ一点

然后我们需要利用一些性质

就是：r和ρ是同一矢量在不同坐标系中的表示

它们之间是有关系的

ρ=A转置乘以r

以及，ρ这个矢量

ρ是r矢量在动坐标中看到的投影

它在动坐标中看，是不动的

所以ρ的导数等于0

好，这样一来，

R一点=Ro一点+A导数 乘以A转置 乘以r

好了，A的导数乘以A转置 等于一个矩阵

这个矩阵是一个反对称矩阵

对角线元素为0

它里面元素有ω1、ω2、ω3

我们前面讲过，这个矩阵叫做“叉乘矩阵”

是ω的叉乘矩阵，我们现在这么定义

然后，我们注意

因为这个矩阵里面只有三个量是独立的

ω1、ω2、ω3，我们把它专门抽出来

把它看成矢量ω的投影列阵

这样一来，我们就可以写成

ω的投影=（ω1,ω2,ω3）

这样一来，原来

A的导数 乘以A转置 乘以r =(ω×r)

好，最后我们得到这样一个公式

任一点的速度等于什么呢

它等于O点的速度 加上ω叉乘r

好，这就是关于（刚体上）任一点的速度表达式

有这个公式之后

我们把它进一步结合图来看是什么

就是Vp=Vo+ω×r

那么其中要注意的是：O是基点

Vo就是基点的速度

而ω呢？我们现在把它称之为“刚体的角速度”

它是从（矩阵）A这个里面来的

而A是坐标转换矩阵

它是和基点没有关系的

所以（角速度）它是不依赖于基点的

我们要特别注意一下：

角速度是通过坐标转换矩阵导出来的

这和以前在物理中学过的

定轴转动的角速度是不太一样的

所以（现在的角速度定义）是一个更一般的定义

好了，有了前面的刚体速度（表达式）之后

我们很容易得到一个投影定理

比如说刚体做一般运动的时候

Vp=Vo+ω×r

我们画个图看看

A点速度朝（右下）这边，B点速度朝（右上）那边

这时候我们注意到什么呢

因为VB=VA+ω×rAB，（rAB）就是AB之间矢量

这时候我们注意到

rAB等于它的长度乘以单位向量

因此我们可以看出来

ω×rAB这个矢量，它是垂直于e这个单位向量的

因此，我们把这个式子点积一下就是：

（ω×rAB），和e点积等于0

利用这个结果，我们看出来

VB·e=VA·e+(ω×rAB)·e

同时我们注意到：最后一项是为0的

因此得出什么结果呢

得出来：A点速度在AB的单位向量投影

等于B点速度在AB单位向量的投影

这就是“速度投影定理”

那么这个（定理）是什么意思呢

它实际上表示的是：AB之间的距离是不变的

我们可以想象

如果A点固定不动，B点它要动

但是（因为刚体）它距离又不能变

它只能做一个转动（因此转动速度一点与AB联线垂直）

所以投影定理表示的是这个意思

表示：（刚体）两点之间距离是不变的

当然这是关于速度投影定理

我们可以提一个问题

加速度有没有投影定理呢

考虑一下，不要轻易地回答哦

前面我们介绍了刚体上一点的速度怎么求

我们也已经有了表达式

Vp=Vo+ω×r

那么我们只需要把这个速度对时间再求导数

就能求出加速度关系

我们来看一下

P点速度求导后得到P点的加速度

O点速度求导后得到O点的加速度

那么下面注意的是

ω求导是角加速度，我们用ε表示

然后它加上ε×r，再加上ω×r一点

我们注意到：在上一个章节刚讲过

r一点又等于什么呢

等于ω叉乘以r

所以带进来之后，得到这样一个公式

ap=ao+ε×r+ω(ω×r)

这些公式里面每项都是有特定含义的

其中第一个ao表示的是基点加速度

ε叉乘r的是转动加速度

而最后一项，ω×(ω×r)

是向轴加速度

当然我们可以提个问题

为什么不叫切向加速度？不叫法向加速度呢

大家可以考虑一下

好，最后我们小节一下

我们在讲了刚体的运动之后

我们有刚体的运动方程，写成

Ro等于Ro随时间的变化

A随时间的变化

A是刚体转换矩阵

那么角速度，我们特别强调一下

角速度等于A的导数乘以A转置

它（乘）出来之后是一个矩阵

这个矩阵是一个反对称矩阵

它只有三个独立的元素

我们把这三个元素抽出来，可以构成一个角速度

所以从这个意义上来说

角速度的定义是从A里面出来的

然后角加速度

ε等于ω一点，对时间求导数

那么P点速度是：Vp=Vo+ω×r

而P点的加速度是：ap=ao+ε×r+ω×(ω×r)

这就是关于刚体运动的公式