当前课程知识点:理论力学 > 第二章 刚体运动学 > 2-2 刚体的矢量-矩阵描述 > 2-2-2 刚体上任意点的速度和加速度
我们已经把刚体的运动进行了描述
下面我们求一下刚体的速度和加速度
我们知道,速度是R对时间求导数
因此我们直接看它的投影公式
R=Ro+r
为了方便,下划线我们就不讲了
它的下划线表示投影
同时它等于什么呢
等于Ro加上A乘以ρ
好,我们把这个式子两边对时间求导数
得到什么呢
得到:R一点(导数)=Ro一点+A一点ρ+Aρ一点
然后我们需要利用一些性质
就是:r和ρ是同一矢量在不同坐标系中的表示
它们之间是有关系的
ρ=A转置乘以r
以及,ρ这个矢量
ρ是r矢量在动坐标中看到的投影
它在动坐标中看,是不动的
所以ρ的导数等于0
好,这样一来,
R一点=Ro一点+A导数 乘以A转置 乘以r
好了,A的导数乘以A转置 等于一个矩阵
这个矩阵是一个反对称矩阵
对角线元素为0
它里面元素有ω1、ω2、ω3
我们前面讲过,这个矩阵叫做“叉乘矩阵”
是ω的叉乘矩阵,我们现在这么定义
然后,我们注意
因为这个矩阵里面只有三个量是独立的
ω1、ω2、ω3,我们把它专门抽出来
把它看成矢量ω的投影列阵
这样一来,我们就可以写成
ω的投影=(ω1,ω2,ω3)
这样一来,原来
A的导数 乘以A转置 乘以r =(ω×r)
好,最后我们得到这样一个公式
任一点的速度等于什么呢
它等于O点的速度 加上ω叉乘r
好,这就是关于(刚体上)任一点的速度表达式
有这个公式之后
我们把它进一步结合图来看是什么
就是Vp=Vo+ω×r
那么其中要注意的是:O是基点
Vo就是基点的速度
而ω呢?我们现在把它称之为“刚体的角速度”
它是从(矩阵)A这个里面来的
而A是坐标转换矩阵
它是和基点没有关系的
所以(角速度)它是不依赖于基点的
我们要特别注意一下:
角速度是通过坐标转换矩阵导出来的
这和以前在物理中学过的
定轴转动的角速度是不太一样的
所以(现在的角速度定义)是一个更一般的定义
好了,有了前面的刚体速度(表达式)之后
我们很容易得到一个投影定理
比如说刚体做一般运动的时候
Vp=Vo+ω×r
我们画个图看看
A点速度朝(右下)这边,B点速度朝(右上)那边
这时候我们注意到什么呢
因为VB=VA+ω×rAB,(rAB)就是AB之间矢量
这时候我们注意到
rAB等于它的长度乘以单位向量
因此我们可以看出来
ω×rAB这个矢量,它是垂直于e这个单位向量的
因此,我们把这个式子点积一下就是:
(ω×rAB),和e点积等于0
利用这个结果,我们看出来
VB·e=VA·e+(ω×rAB)·e
同时我们注意到:最后一项是为0的
因此得出什么结果呢
得出来:A点速度在AB的单位向量投影
等于B点速度在AB单位向量的投影
这就是“速度投影定理”
那么这个(定理)是什么意思呢
它实际上表示的是:AB之间的距离是不变的
我们可以想象
如果A点固定不动,B点它要动
但是(因为刚体)它距离又不能变
它只能做一个转动(因此转动速度一点与AB联线垂直)
所以投影定理表示的是这个意思
表示:(刚体)两点之间距离是不变的
当然这是关于速度投影定理
我们可以提一个问题
加速度有没有投影定理呢
考虑一下,不要轻易地回答哦
前面我们介绍了刚体上一点的速度怎么求
我们也已经有了表达式
Vp=Vo+ω×r
那么我们只需要把这个速度对时间再求导数
就能求出加速度关系
我们来看一下
P点速度求导后得到P点的加速度
O点速度求导后得到O点的加速度
那么下面注意的是
ω求导是角加速度,我们用ε表示
然后它加上ε×r,再加上ω×r一点
我们注意到:在上一个章节刚讲过
r一点又等于什么呢
等于ω叉乘以r
所以带进来之后,得到这样一个公式
ap=ao+ε×r+ω(ω×r)
这些公式里面每项都是有特定含义的
其中第一个ao表示的是基点加速度
ε叉乘r的是转动加速度
而最后一项,ω×(ω×r)
是向轴加速度
当然我们可以提个问题
为什么不叫切向加速度?不叫法向加速度呢
大家可以考虑一下
好,最后我们小节一下
我们在讲了刚体的运动之后
我们有刚体的运动方程,写成
Ro等于Ro随时间的变化
A随时间的变化
A是刚体转换矩阵
那么角速度,我们特别强调一下
角速度等于A的导数乘以A转置
它(乘)出来之后是一个矩阵
这个矩阵是一个反对称矩阵
它只有三个独立的元素
我们把这三个元素抽出来,可以构成一个角速度
所以从这个意义上来说
角速度的定义是从A里面出来的
然后角加速度
ε等于ω一点,对时间求导数
那么P点速度是:Vp=Vo+ω×r
而P点的加速度是:ap=ao+ε×r+ω×(ω×r)
这就是关于刚体运动的公式
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