7-4 质系普遍定理的综合应用在线视频

好 大家好 今天我们讲新的一节

质系普遍定理的综合应用

我们知道的话呢 普遍定理的话提供了

解决质系动力学的一般方法

我们的普遍定理包括两部分方程

一部分叫动量或者叫动量矩方程

一个叫动能定理 这样的方程

所以的话呢动量方法的话呢

可以列出矢量的方程

而动能定理的话呢列出的是标量方程

那么通过分析运动的话

可以选取适当的广义坐标 建立坐标系

然后的话呢进行受力分析 画受力图

分析已知的或未知的约束力的规律等等

是否做功 力矩是否为零等等

那么我们还需要把

已知量和未知量进行分析

这时候要注意要选取相应的普遍定理

那么这个地方需要有点小小技巧就是说

如果你选得合适的话呢

可以很快把它做出来

选得不合适的话呢可能会多费一些篇幅

那么通常来说的话呢

如果是比如说已知主动力求运动的话呢

可能选用动能定理比较方便

它可以直接根据主动力求出运动来

但是呢如果是已知运动求力的话呢

可能更多的用动量或者动量矩定理更方便

那么具体的这个内容的话呢

我们可以通过一个例题来体会一下

那么实际上的话呢

动力学普遍方程应用范围很广

它可以比如说在刚体系统中的应用

还可以包括在定常流体运动中的应用

以及在变质量系统中的应用

等等都可以

其中第一部分的话呢

我们会在后面的力学中加以介绍

而第二部分定常流体的话呢

它属于第三部分的变质量中的特例

因此的话呢 我们在下面的话

着重介绍变质量部分的内容

大家可以看看就变质量怎么应用

我们的现在的这个定理来处理

那么下面我们专门介绍一下

变质量系统的质心运动定理

我们假设的话呢在某一时刻t

有一个质量块m

然后呢有一个Δm小质量块

以u的速度啊并进来

那么m这个质量的话具有一个速度

就叫uc 它质心的速度叫uc

好了我们看看在这样的情况下

它假设在下一时刻已经并入了

在t+Δt时刻

那小质量块已经融入之后的话呢

这时候整个质量的话变成是m+Δm

速度的话变成是uc+Δuc

好我们说的这个uc的话

是指它质心的那个速度

就是我们可以考虑这个由m

以及由Δm组成的系统

我们用一下动量定理 我们看一看

就是在新时刻的动量减掉开始时候的动量

应该等于什么呢 应该等于所受力的增量

那么这个公式的话呢

实际上是我们在动量定理中已经讲过的

它是动量定理的积分形式

好了 那么我们注意到的话呢

就是t时刻的话呢这个系统动量是多少呢

因为它由两部分组成

一部分是m这个质量 它具有的动量

一部分是Δm小质量块它具有的动量

那么加在一起就可以了 就是等于

mvc+Δmu

那么在新的时刻t+Δt时刻的话呢

它们已经融在一起了

这时候的话它们质量是m+Δm

它们共同速度是什么呢

是uc+Δuc

好了下面的话呢我们把这两个式子

带入到动量定理中我们看看有什么结果

好我们考虑由m以及

由Δm组成的的这个系统

带入之后的话呢

会有这样一个公式就是说

t+Δt时刻的动量减掉t时刻动量

应该等于外力的冲量

那么我们把这个式子的话两边都除以Δt

好除过来一下然后呢稍微处理一下之后

可以得到什么呢

我们利用质量是连续变化的

把Δm除以Δt乘以Δvc的话呢

我们把它处理一下

你注意到什么呢就是说

Δm除以Δt的话是个有限量

因为就是质量是连续变化的所以是有限量

有限量的话呢再乘以一个Δvc

因为我们说在这里的话

Δ的话就是表示小量

因此乘完之后的话是个

一阶小量可以暂时不考虑

这样一来的话呢

我们把上面公式就变成下面这样一个公式

变成了是

mdvc/dt=F+dm/dt×vr

其中的话呢vr=u-vc

表示的是这个小质量块并入的时候

相对大质量块的一个速度

这个公式就叫密歇尔斯基方程

它是研究变质量的一个基础

就是说我们现在讨论一下

变质量质系的质心运动定理就是

质量乘以质心加速度等于

所受的外力F再加上一个附加项

这个附加项的话呢是这样定义的

刚才根据我们前面说的就是等于什么呢

dm/dt×vr dm/dt

表示的是什么呢

表示质量的流入的一个量 变化

Vr的话是我们说的相对流入的速度

那么如果是有质量并入的话呢

则Φ的话呢与ur是同向的

如果是排出质量的话呢

则Φ与vr是反向的

所以的话呢这个Φ的话呢

可以称为是叫推力或者

有的时候叫反推力都可以

那么如果同时有质量加入和排出

在这种情况下的话呢

我们选这样一个形式 就是

质量乘以质心加速度等于所受的

外力加上由于质量进入所具有的流率

乘以质量相对进入的速度

再减掉质量排出所具有的速率

乘以它的相对的速度

好得出这样一个公式

那么我们接着讨论一下

根据我们刚才说的话呢就是说

对于变质量问题的话呢有这样一个公式

就是说质量乘以加速度

等于所说的外力加上一个附加项

附加项我们称为叫反推力

同时的话呢 我们从牛顿第二定律啊

我们知道牛顿第二定律

可以写成这样一个形式

就是说动量的变化

就是动量对时间的变化

等于所说的外力

我们把这个公式的话呢

形式上我们来处理一下

我们把m×vr两边

都因为m×v的话是两个量嘛

我们都还在变化

因为变质量的话的确可能有时候会变化啊

所以的话就得出这样一个公式

就把它拆开之后变成了

质量×dvdt等于所受的外力

然后后面注意

如果你是把这个公式移项的话

变成了减掉dm/dt×v

好我们看到由牛顿第二定律导出的公式啊

跟我们由变质量导出的公式啊

是不太一样的

粗看起来差不多啊但仔细看的话

第一有正负号的问题

第二的话呢就是反推力里面的

关于速度的这一项啊下标也不太一样

所以它的含义不同的

那么到底是怎么回事情呢

我们应该说由牛顿第二定律形式上

导出来的公式啊是错误的

这是因为在应用牛顿第二定律

以及由它导出来的普遍定理的时候啊

我们的研究对象应该是由

由确定的质点系所组成的系统组成的

显然的话呢它的质量是不变的

而在应用变质量质系

质心运动定理的时候的话呢

研究对象是由

确定的控制面内的质点所组成的系统

这时候的话呢它的界面的质点是在变化的

比如说假设有个水管

这个水管里面的话有这边流进这边流出

因此它这里面的质量的话是不变的

但是呢它的水分子每时每刻都在流动

所以的话呢这就是属于变质量问题

就不能直接用牛顿定律在处理

所以的话呢这两种确定研究对象的方法

在流体力学及流体动力学中

都有重要的应用

第一种方法称为叫拉格朗日方法

第二种方法称为叫欧拉方法

好我们利用变质量的特点的话呢

来研究一下

火箭的特征速度

我们在这的话假设火箭向上发射

我们暂时不考虑重力暂时不考虑空气阻力

我们仅仅研究一下由于燃料的喷射

导致的火箭具有一个速度

我们想看看这个火箭的这个速度啊

最后达到什么样的程度

我们看看它的特征速度是什么

好根据我们前边讲过的就是说

质量×加速度应该等于

它所说的外力+反推力

在这样的话呢我们的外力重力和空气阻力

它是不考虑的所以直接变成反推力了

那么写出来就是

m×dv/dt=-u×dm/dt

-u是因为我们喷出的燃料的话

是相对往下喷的

我们假设向上为x正方向

dm/dt的话就是喷的燃料的速率

好了把这个公式啊稍微处理一下

就是进行分离变量然后进行积分

就得到这样一个结果就是说

dv从0到v微积分等于-u

dm÷m积分是从m0到m

积完之后的话呢得到这样个公式

就是v=uln(m0/m)

那么我们下面来看看

如果这个火箭一直燃烧

烧到什么呢烧到

它最后的把燃料全部烧完之后

得到什么速度呢

比如叫uc的话

uc=uln(m0/mk)

其中的话呢mk是表示的

是火箭外壳的质量

m0的话是它起飞时候的一个重量

好了那么这个vc就称为叫

火箭的特征速度

大家注意这个火箭的特征速度的话呢

第一是和u有关系

也就是喷射的燃料的速度有关系

第二是和你的质量比有关系

m0比上mk也就是说

你充满燃料时候的质量

和你火箭的外壳的质量相比

因此的话呢

我们想提高火箭的特征速度的话

有什么方法呢

有这样几个方法

第一就是说首先注意

特征速度的话呢和质量的变化没关系

所以的话你的质量是

喷的快一点 喷的慢一点

并不影响我们的特征速度

当然注意这个结论是不考虑

重力和空气阻力的影响

也就是说它已经飞的

比较高之后的这样一个影响

所以如果考虑重力和空气阻力之后的话

这个结论稍微要变化一下

所以在不考虑空气阻力和重力的情况下

特征速度和你喷射燃料的变化规律没关系

你是快点喷 慢点喷没关

其次的话呢 增加喷出来的速度啊

我们从公式中看的话

至少有两种途径

第一就是说你提高喷射的速度

你要你的燃料啊喷的快一些

其次的话呢是提高你的质量比

就是让m0/mk就是充满了燃料

和那个空壳的比啊要大一些

那么当然我们来具体讨论下就是说

第一提高喷射速度u

那怎么才能叫它提高的话呢

那就需要研究新型的推进器

那么我们可以来看参考一下

就是早期的火箭或者是卫星啊

它里面的燃料它燃烧时候

具有的速度是多少呢

比如说以苏联的

卫星号 芯级来看的话呢

它采用的是煤油+液氧

它燃烧速度是达到3000m/s

所以这是应该还比较快的一个速度

那么后来的话呢

又研究了新的一些材料比如说

对长城一号的话呢

它的一级和二级的话呢采用的是

偏二甲肼+红烟硝酸

它的速度是2500m/s

那么到了长征三号的话呢

它一级二级的话呢

就采用了新的一种燃料就是说

偏二甲肼+四氧化二氮

它的喷射速度的话达到

u是2900m/s

那么长征三号的它的三级的话呢

就是采用的是液氢+液氧

那么它的速度就比较快了

达到4300m/8

那么我们可以看提高火箭特征速度

还有另为一个途径就是什么呢

就是提高质量比

就是让它的壳尽可能的轻

这就需要采用新的材料或新的结构

我们来看一下目前的话呢可以采用

比如说

铝合金 镁合金 钛合金等等

采用高分子材料 采用薄壁结构

蜂窝结构等等

按照我们目前的水平的话

达到什么呢就是m0/mk

达到9这样一个比值

这个比值是什么概念呢

我们可以看一下我们的鸡蛋

鸡蛋的外壳和它鸡蛋里面的就是那个

就是鸡蛋整个质量和它鸡蛋壳之比的话呢

有人曾经测过它是等于7这样一个量值

所以的话呢

我们现在技术所产生的那个火箭呢

它的壳的确是很薄很薄

所以看它是庞然大物

但是相对来说很薄的一个

很脆弱的一个物体

所以需要专门研究它的芯的结构

那么按照目前的技术水平的话呢

我们在发射的时候啊可以达到

这个发射速度达到每秒钟9.5公里

大家注意这个速度的话呢

是理论上得出的值

实际上的话来考虑空气阻力

考虑重力的影响的话呢

实际上达到的速度啊比较小

可能达到是比7.9公里每秒要小

而我们注意到这个7.9公里每秒的话呢

是低于这个速度

你只有大于等于这个速度的话

你才能脱离地球绕地球飞行

否则的话你就会发射上去又掉回来了

所以的话呢

目前我们的火箭都采用多级入轨

额 多级入轨的话呢它的特点是什么呢

就是比如说它带了好多级

发射完了一部分燃料之后

把多的把空的那个火箭壳扔掉它

这样做的话呢相当于是提高了质量比

那么目前的话呢 就是采用多级火箭入轨

那么未来的话呢

可能通过新的改革的话呢

燃料喷度提高了 那结构提高之后

可能可以实现单级入轨

好今天的话呢

我们了解了一下火箭的特征速度

希望大家对那个变质量的话有更深的理解