当前课程知识点:理论力学 > 第五章 分析静力学 > 5-5 势力场中的平衡 > 势力场中的平衡方程
好 那么今天我们进入到第五节
势力场中的平衡方程
我们前面的话介绍了就是
静力学普通方程方程是一般形式
那么今天考虑如果有势力场的话怎么样
所以我们先介绍什么是力场
那么假设空间某一区域
质点所受的作用力的话
只依赖于空间的位置和时间
而与速度没有关系
则称这样的空间区域存在力场
比如说重力场 引力场 弹性力场
电场 磁场等等 这都是力场
那么如果存在一个标量函数V
它只依赖于质点P的坐标xyz
并且是话这个质点Pi
在力场中所受的力等于这样一个形式
就是Fx方向等于负的偏V偏x
y方向的力的话是Fy等于负的偏V偏y
z方向的力是Fz等于负的偏V偏z的话
那么则称力场是有势的
把这个函数V的话称为势能
F的话就称为有势力
那么下面我们研究一下
如果主动力是有势的情况下
这个静力学方程会变成什么样子呢
我们先假设这个质系所受主动力是有势的
那么存在这个质能函数V
它是和位置和时间有关系的一个函数
那么根据刚才的介绍的话呢
有势力的话可以写成
Fi等于负的偏V偏xi在i方向
减掉负的偏V偏y在j方向
再减掉负的偏V偏z在k方向
这是有势力的表达式
然后我们曾经说过
具体静力学的普通方程可以等价于什么呢
就是说广义力等于0
好我们把广义力写在这
就是广义力等于
∑里面F点乘以偏r偏q
现在的话F的话如果是
主动力是有势的话呢
我们把它代进去之后
得到这样一个式子
那么我们前面说
静力学普通方程方程等价于是
广义力等于0
因此我们就得到这样一个结果
就是变成什么呢
广义力等于负的偏V偏q
这个q是广义坐标 它等于0
因此我们得到一个新的质系的平衡方程
就是偏V偏qj等于0
这就是新的质系的平衡方程
这是在主动力有势情况下的一个方程
那么这个方程是什么含义呢
就是负的偏V偏qj等于0是什么含义
我们来看一下
从数位上看的话呢
如果我们画一个坐标
水平坐标是q广义坐标
数据坐标的话是V它的势能函数
偏V偏q等于0的话就意味着什么呢
就是说它要 函数要取一个极值
因此我们看出来
就是说对于主动力有势的质系
它势能在平衡位置上取驻值
驻值的话就是说它可以是极大值
也可以是极小值
也就是说可以在这个最低点
或最高点都可以
别的位置就不是平衡位置
只有在这个取驻值的点才能平衡
那么相应的下面有一个拉格朗日定理
就是对于完整的保守的系统
如果势能函数在平衡位置
取孤立的极小值的话呢
则该平衡是稳定的
那这是什么意思呢
如果我们画个图来看
假设我们水平是广义坐标
数据是势能函数
根据拉格朗日定理的话呢就是说
如果在这个最小的位置
局部最小位置有一个小球放这
它是可以平衡的
在局部最高位置放一个小球也是平衡的
但是呢如果在斜面上面某个位置放的话
它是会咕噜咕噜滚下去就不平衡
所以的话呢要取势能的极小值
或者是极大值都可以
但是这个拉格朗日定理中为什么还强调
取孤立的极小值呢
这是因为如果你这本来是个平面
你放在每个地方的话都是取一个极值
它是平的
这时候的话呢它不是稳定的
因为你稍微碰它一下它就可以滚走了
所以的话呢加这个值之后
就是孤立极小值之后才是稳定的
所以的话我们的定理是很严格的
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