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势力场中的平衡方程在线视频

势力场中的平衡方程

下一节:5-3 虚位移原理例题

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势力场中的平衡方程课程教案、知识点、字幕

好 那么今天我们进入到第五节

势力场中的平衡方程

我们前面的话介绍了就是

静力学普通方程方程是一般形式

那么今天考虑如果有势力场的话怎么样

所以我们先介绍什么是力场

那么假设空间某一区域

质点所受的作用力的话

只依赖于空间的位置和时间

而与速度没有关系

则称这样的空间区域存在力场

比如说重力场 引力场 弹性力场

电场 磁场等等 这都是力场

那么如果存在一个标量函数V

它只依赖于质点P的坐标xyz

并且是话这个质点Pi

在力场中所受的力等于这样一个形式

就是Fx方向等于负的偏V偏x

y方向的力的话是Fy等于负的偏V偏y

z方向的力是Fz等于负的偏V偏z的话

那么则称力场是有势的

把这个函数V的话称为势能

F的话就称为有势力

那么下面我们研究一下

如果主动力是有势的情况下

这个静力学方程会变成什么样子呢

我们先假设这个质系所受主动力是有势的

那么存在这个质能函数V

它是和位置和时间有关系的一个函数

那么根据刚才的介绍的话呢

有势力的话可以写成

Fi等于负的偏V偏xi在i方向

减掉负的偏V偏y在j方向

再减掉负的偏V偏z在k方向

这是有势力的表达式

然后我们曾经说过

具体静力学的普通方程可以等价于什么呢

就是说广义力等于0

好我们把广义力写在这

就是广义力等于

∑里面F点乘以偏r偏q

现在的话F的话如果是

主动力是有势的话呢

我们把它代进去之后

得到这样一个式子

那么我们前面说

静力学普通方程方程等价于是

广义力等于0

因此我们就得到这样一个结果

就是变成什么呢

广义力等于负的偏V偏q

这个q是广义坐标 它等于0

因此我们得到一个新的质系的平衡方程

就是偏V偏qj等于0

这就是新的质系的平衡方程

这是在主动力有势情况下的一个方程

那么这个方程是什么含义呢

就是负的偏V偏qj等于0是什么含义

我们来看一下

从数位上看的话呢

如果我们画一个坐标

水平坐标是q广义坐标

数据坐标的话是V它的势能函数

偏V偏q等于0的话就意味着什么呢

就是说它要 函数要取一个极值

因此我们看出来

就是说对于主动力有势的质系

它势能在平衡位置上取驻值

驻值的话就是说它可以是极大值

也可以是极小值

也就是说可以在这个最低点

或最高点都可以

别的位置就不是平衡位置

只有在这个取驻值的点才能平衡

那么相应的下面有一个拉格朗日定理

就是对于完整的保守的系统

如果势能函数在平衡位置

取孤立的极小值的话呢

则该平衡是稳定的

那这是什么意思呢

如果我们画个图来看

假设我们水平是广义坐标

数据是势能函数

根据拉格朗日定理的话呢就是说

如果在这个最小的位置

局部最小位置有一个小球放这

它是可以平衡的

在局部最高位置放一个小球也是平衡的

但是呢如果在斜面上面某个位置放的话

它是会咕噜咕噜滚下去就不平衡

所以的话呢要取势能的极小值

或者是极大值都可以

但是这个拉格朗日定理中为什么还强调

取孤立的极小值呢

这是因为如果你这本来是个平面

你放在每个地方的话都是取一个极值

它是平的

这时候的话呢它不是稳定的

因为你稍微碰它一下它就可以滚走了

所以的话呢加这个值之后

就是孤立极小值之后才是稳定的

所以的话我们的定理是很严格的

理论力学课程列表:

绪论

-绪论

--绪论

第一章 点的运动学

-1-1 矢量描述法

--第一章运动的描述

--1-1 矢量描述法

--矢量及其运算

-1-2 直角坐标描述法

--1-2直角坐标描述法

--例题1 椭圆规

--例题2 圆轮滚动

-1-3 自然坐标描述法

--1-3 自然坐标描述法

--例题3 单摆

-1-4 极坐标描述法

--1-4 极坐标描述法

--例题4 演员

--讨论题 多种方法求解

-扩展内容

--a 点的运动学扩展

--b 观察与思考

--c 时间与方向

--d 仰望星空

--e 兔子追击问题

-第一章 点的运动学--作业

第二章 刚体运动学

-2-1 刚体的定义与运动形式

--2-1 刚体的定义与刚体的运动形式

-2-2 刚体的矢量-矩阵描述

--2-2 刚体运动的矢量-矩阵描述

--2-2-0 刚体运动的矢量-矩阵描述

--2-2-1 刚体的运动方程

--2-2-2 刚体上任意点的速度和加速度

--2-2刚体的矢量-矩阵描述例题1-2

-2-3 刚体平面运动

--2-3 刚体平面运动

--2-3-1 平面运动的运动方程

--2-3-2 刚体上任意点的速度和加速度

--2-3-3 速度分析 基点法

--2-3-3 速度分析 瞬心法

--2-3-3 速度分析 速度投影定理

--2-3-3速度分析 刚体平面运动的瞬心轨迹

--2-3-4 刚体平面运动的加速度分析

--2-3-3速度分析例题1-4

--2-3-4加速度分析例题1-4

-2-4 刚体定点运动

--2-4-1 刚体定点运动几何分析

--2-4-2 刚体定点运动的解析描述

-扩展内容

--2-扩展-a加速度是否存在投影定理

--2-扩展-b图形放大器

--2-扩展-c连弩射击

--2-扩展-d关于刚体的转动

--2-扩展-e欧拉角探秘

-第二章 刚体运动学--作业

第三章 复合运动

-3-1 点的复合运动

--3-1 点的复合运动

--3-1-1 运动方程

--3-1-2 矢量的绝对导数与相对导数

--3-1-3 速度合成定理

--3-1-4 加速度合成定理

-3-2 刚体复合运动

--3-2 刚体复合运动

-例题

--3-1-1 运动方程例题1 工件轨迹

--3-1-3 速度合成定理例题1-3

--3-1-4 加速度合成定理例题1-4

--3-2-1 角速度合成例题1-3

--3-2-2 刚体定点运动例题1-2

-扩展内容

--钟表的设计

--寻找四叶草

--差动齿轮

--指南车

--逆行风车

-第三章 复合运动--作业

第四章 几何静力学

-4-0 静力学公理序言

--4-0 静力学公理序言

-4-1 主矢量和主矩

--4-1 主矢量和主矩

-4-2 力系的等效与简化

--4-2 力系的等效与简化

-4-3 受力分析与刚体平衡

--4-3 受力分析与刚体平衡

-4-4 平面力系的平衡方程

--4-4平面力系的平衡方程

-4-5 考虑摩擦的平衡问题

--4-5考虑摩擦的平衡问题

-4-6 刚体系的平衡

--4-6-1 组合结构

--4-6-2 桁架

--4-6-3 机构

-例题

--4-1 主矢量和主矩例题1-3

--4-2 力系的等效与简化例题1-3

--4-3 受力分析与刚体平衡例题1-3

--4-4 平面力系的平衡方程例题1-2

--4-5 考虑摩擦的平衡问题例题1-6

--4-6-1 刚体系的平衡例题1-3

--4-6-2 桁架例题1-4

-扩展内容

--4-扩展-a纸桥过车

--气球的平衡

--平衡大师

--4-扩展-d动物爬绳

--4-扩展-e力学与考古

-第四章 几何静力学--作业

第五章 分析静力学

-5-1 约束及其分类

--约束及其分类

-5-2 虚位移

--虚位移

-5-3 虚功原理

--虚功原理

-5-4 广义坐标和广义力

--广义坐标和广义力

-5-5 势力场中的平衡

--势力场中的平衡方程

-例题

--5-3 虚位移原理例题

--5-4 广义坐标和广义力例题

--5-5 势力场中的平衡方程例题

-扩展内容

--关于投影

--不倒翁

--5-扩展-c欹器

--冈布茨

-第五章 分析静力学--作业

第六章 质点动力学

-6-1 质点运动微分方程

--6-1质点运动微分方程

--6-1质点运动微分方程例题

-6-2 质点在非惯性系中的运动

--6-2 质点在非惯性系中的运动

--6-2质点在非惯性系中的运动例题1

-6-3 相对地球的运动

--6-3 相对地球的运动

-扩展内容

--宇航员的问题

--6-扩展-b在小行星上打台球

--失重现象及模拟失重

--非线性方程的近似解

--落体问题在惯性系中解释

-第六章 质点动力学--作业

第七章 质点系动力学

-7-1 质点系动量定理

--7-1 质点系动量定理

-7-2 质点系动量矩定理

--7-2-1 质点系的动量矩

--7-2-2 质点系动量矩定量

--7-2-3 刚体定轴转动微分方程

--7-2-4 刚体平面运动微分方程

-7-3 质点系动能定理

--7-3 质点系的动能定理

-7-4 质系普遍定理的综合应用

--7-4 质系普遍定理的综合应用

-7-5 碰撞

--7-5 碰撞

-例题

--7-1 质点系动量定理1-4

--7-2-1 质点系动量矩例题1

--7-2-2 质点系动量矩定理例题1-2

--7-2-3 刚体定轴转动微分方程例题1-2

--7-3 质点系动能定理例题1-2

--7-4 质系普遍定理的综合应用例题1-2

--7-5 碰撞例题1-4

-扩展内容

--7-拓展-a跳高

--7-扩展-b跳水

--7-拓展-c手机吊冰箱

--7-扩展-d小鸭下山

--7-扩展-e飞针穿玻璃

--第七章 质点系动力学--作业

第八章 分析动力学

-8-1 达朗贝尔原理

--8-1达朗贝尔原理

-8-2 达朗贝尔-拉格朗日原理

--8-2达朗贝尔-拉格朗日原理

-8-3 第二类拉格朗日方程

--8-3第二类拉格朗日方程

-8-4 拉格朗日方程首次积分

--8-4拉格朗日方程首次积分

-例题

--达朗贝尔原理例题

--8-2达朗贝尔原理-拉格朗日

--8-3第二类拉格朗日方程

--8-4拉格朗日方程首次积分

-扩展内容

--广义动量守恒

--广义能量守恒

--非定常约束

--无轮小车

-第八章 分析动力学--作业

势力场中的平衡方程笔记与讨论

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