当前课程知识点：理论力学 > 第七章 质点系动力学 > 例题 > 7-2-3 刚体定轴转动微分方程例题1-2
好 例1
我们假设质量为m的刚体悬挂在O点
然后呢 可绕这个 这个转动
那么C的话呢是它的质心 已知的话呢
质心到悬挂点的距离是a
求一下这个装置的
微振动周期 注意 这个装置啊称为叫复摆
它跟单摆是不一样的 我们等会再解释
好 下面我们分析一下 这个刚体的话呢
绕O做定轴转动
因此可以写出运动微分方程
就是转动惯量乘以角加速度
等于系统对O点的力矩
那么具体写出来就是JOφ两点=-mgasinφ
那么正负号的话是因为我们以
φ逆时针为正 所以的话呢 重力的话
对它的矩是负号 我们令一下l=JO/ma
也就是说l是个长度
我们就把这个方程简化成
φ两点+g/l sinφ=0
那么这就是个振动方程
如果这个运动是个小运动 比如说φ很小
这时候就是sinφ≈φ
因此我们可以把方程进一步简化 得到
φ两点+g/l φ=0
因此这个方程的话呢 就是一个
简谐振动方程 那么在这种情况下
复摆的微振动周期就是
T=2π√l/g 那么这个l的话呢是长度
我们把它代进来之后就等于2π√Jo /mga
好 这就是复摆的周期
下面我们讨论一下 第一种的话就是考虑
如果角度啊大于等于5°的话
那么这个复摆的运动就称为叫非线性运动
非线性运动的话它周期啊就和初始条件
等等有关系了 很复杂
另外的话呢 我们可以用复摆的方法
来测出刚体的转动惯量
因为前面我们看到公式
它转动起来之后
周期和转动惯量是有关系的
我们前面定义的l的话呢
称为叫复摆的等效摆长 它是复摆的运动
相对于摆长为l的单摆的运动
那么我们前面曾经说过
单摆的话呢 是一根绳子挂一个小质点
那么复摆的话呢 就是整个刚体
比如整个刚体绕着这个点的运动
那么它的差别在什么地方呢
我们知道单摆的话呢 它的绳长是有限的
比如说你悬挂一个长度10米
已经相当困难了 然后它摆动起来之后
周期有了 但是呢复摆的话呢
它的周期他很容易调节
我们只需要把a的距离
通过悬挂点不同的话呢 让它变化
我们可以把复摆的这个周期啊
可以任意的让它变化
可以很容易让它大 很容易让它小
其次的话呢 这个复摆还有一个特点
就是 他的悬挂中心O 我们悬挂的O点
和它的摆动中心O'点 具有互易性
也就是说可以相互的交换 是什么意思呢
就是你放到O点的悬挂得到相关的
那个摆动周期 和放到O'悬挂
它得到的周期是相同的
那么利用这个特点的话有什么好处呢
比如说你要测某个物体的转动惯量
你想O点测 但是呢O点可能正好这地方
有些别的东西妨碍着你
你可以放在另外一点测 所以利用这个特点
可以测量一些复杂物体的转动惯量
那么这个互易性怎么证明呢
我们可以来这样看看
我们前面说了转动惯量O
它可以等于质心的转动惯量加上移轴定理ma²
因为这个距离是a 所以的话加上ma²
然后的话我们l是这样定义的 等于JO/ma
好 你带进来之后的话呢 就会等于什么
等于a+a'也就是说的话呢 这个l等于什么 a+a'
这个a'的话是什么呢 是转动惯量除以ma
好 利用这个关系的话呢
我们可以很容易证明这样一点
就是 你悬挂在O的时候
它的周期可以是这样一个结果
然后你悬挂在O'的时候有另外个周期
这两个周期的话呢
你利用前面的这个相关的公式啊
很容易证明是相等的
所以的话它的互易性是可以证明的
例2 两个质量为m1和m2的重物
分别系在两根绳子上 然后呢
绕在半径为r1和r2
并且固定在一起的鼓轮上面
也就是说m1 m2悬挂在这个鼓轮上面
我们假设鼓轮对O转动惯量是JO
它自身的重量是W 求鼓轮的角加速度
好 下面我们来分析一下
我们研究一下鼓轮的角加速度
首先的话呢 我们取系统为研究对象
然后列出系统对O点的动量矩
那么这个动量矩包括几部分
一部分是这个鼓轮本身转动时候有动量矩
然后呢还有m1 m2物体运动起来
对它的动量矩 那么在算的时候呢
这个鼓轮的话呢 很好算
是转动惯量乘以角速度就可以了
那么m1 m2怎么算呢
回忆一下 我们以前做过一题目
这两个人往上爬的时候 那就该怎么算的话
就是说动量叉乘一个矢径乘之后的话等于是
动量乘以个距离 好利用这样的关系的话呢
我们可以写出LO等于什么呢
（JO+m1r1²+m2r2²）ω
这就是系统对O点的动量矩
然后利用一下动量矩定理就是
转动惯量乘以角加速度等于相应的力矩
那么一看的话呢 对O点力矩的话呢
只有m1 m2所产生的重力对它的影响
这样一来的话呢 我们就求出来
ε=（m1r1-m2r2）/（JO+m1r1²+m2r2²）·g
那么我们可以提几个问题 在这个题目中啊
如果把m1和m2这两个物块换成力
那么力的大小的话呢等于mg 的话
这样是不是等效 为什么
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