3-1-4 加速度合成定理在线视频

好,大家好,我们现在介绍第四节

加速度合成公式

我们首先先从速度回顾一下

然后我们看看，从速度怎么把它导出来

速度合成公式，我们前面已经讲过了

绝对速度等于牵连速度加相对速度

那么其中

这个牵连速度我们还专门介绍了

Ve=Vo+ω×r，是它的牵连速度

相对速度是ｄr/dt波浪号

它是一个相对的速度

其中，我们在求的时候

利用一个公式叫“科里奥利公式”

这公式我们以前介绍过

但是没说它的名字

它叫“科里奥利公式”

是：绝对量的导数等于

相对量的导数加上ω叉乘这个量本身

好，我们就以这个为基础

看看我们的加速度合成公式该是什么样的

在正式的推导之前

我先讲一段，就是

利用我们的直觉来推导一个公式

因为我们说速度等于牵连（速度）加相对（速度）

那么很自然，容易联想到加速度

是不是也是这样？就是说

绝对加速度等于牵连加速度加相对加速度

这是人们很自然的一个联想

在这儿我们没有利用很严格的数学推导

而是利用直觉、利用联想的方式得出来的

那有的同学可能会说

为什么老师你在这儿不严格推导？

而是一个猜测呢？

实际上

这是一种处理问题的方法

如果看看历史的发展，你会发现

在历史上很多的重大的发明创造

很多情况下都是突然一下想出来的

然后再慢慢地证明它

因为，凡是你能够（一步一步）推出来的一些东西

别人也能推出来

所以

你能推出来的东西都不是大的发明创造

大的发明创造一定是突然一下

蹦出来的一些想法

然后再慢慢去证明它

但是，我们现在要说

我们突然一下想了一个想法

我们也没有严格证明

那对不对呢？下面我们来看一下

假设我们的理论基础

还不是很扎实

它对不对的话

我们一下还不能证明

我们可以先找一些例子

一般来说

如果你能找到很多例子支持你

通常你就很有可能对了

但是，如果能找到一个反例的话

你肯定就不对了

所以我们先找个例子

假设我们先找到，比如说

找个这样例子

一辆小车加速运动

那么小车里的人

看外面电线杆会怎么样运动

因为这个例子比较简单

所以我们会直观地知道它的结果

你看，如果按照我们（猜测的）公式

绝对加速度等于牵连（加速度）加相对（加速度）

我们分析电线杆

因为它相对地面静止

所以它的绝对加速度等于0

同时我们也知道小车运动

是它的牵连运动

牵连运动等于ａ

因此我们带入公式之后，得出结论是

（电线杆）它的相对加速度是等于-ａ

那这样合不合理呢

我们可以想象你坐车上，看外面电线杆

你车子加速往前运动

你看电线杆加速往后运动

因此这个结论符合我们的实际的情况

所以是正确的

也就是说，我们猜出的公式

在这个例子中是正确的

当然我们不能因为有一个例子

就说我们一定是正确的

我们还要再找一些

于是我们还找到另外一个例子

比如说，我们找了一个这样的例子

就是：假设一个圆形的唱片

在以ω这样角速度匀速运动

假设一个甲虫飞到这儿，落到P点

（唱片）它边上某一点

落下来之后，（甲虫）相对边缘爬起来了

爬的方向如题所示 比如往上爬

好了，下面我们来分析一下

用我们刚才学的公式来分析一下

它的结果会怎么样

首先，我们看

我们以P为动点

动系Oｘｙ与这个圆盘固结

动系可以转起来了

好了，由于牵连运动

和相对运动都是圆周运动

我们很容易分析出来它的绝对运动

就是小虫的绝对运动是为0的

就是在地面上看，小虫是不动的

就是唱片（顺时针）这样转，小虫往上爬

它绝对运动不动

因此，它的绝对速度应该为0

绝对加速度也要为0

注意，我们现在没有用任何我们刚才说的公式

我们是根据直观结果看出来的，加速度为0

但是，用猜测的公式来分析

是不是这样呢

我们看看，我们猜的公式是

绝对的加速度等于牵连（加速度）加相对（加速度）

好了，把我们刚才说的

相对运动是圆周运动

牵连运动也是圆周运动

带进去看看之后

发现这两个量，加在一起之后

得出来的绝对加速度等于

两倍的Rω方，不等于0

因为我们知道，不管你做什么运动

只要做圆周运动，它的（法向）加速度总是指向圆心的

所以，得出的是两倍的Rω方，不等于零

因此我们看出来什么呢

我们所猜测的公式在这个例子中是错误的

也许有人说：有的时候对，有的时候错

不管怎么说，只要有一个错的，你就错了

所以，我们刚才猜的公式是错的

为什么会出现这样的错误

可能是我们在潜意识中认为

相对速度的导数等于相对加速度

牵连速度导数等于牵连加速度

这是我们潜意识中没有证明的一个想法

这种想法看上去很自然

但是可能是有问题的

所以这就涉及到

关于什么是相对加速度

以及关于相对速度的导数

该怎么求的问题

好，下面我们来具体推导一下

我们还是从速度公式出发

但是这时候开始严格地推导了

根据速度公式：绝对速度等于

牵连速度加相对速度

其中

牵连速度=Vo+ω×R

相对速度是ｄr/dt加波浪号，相对导数

我们把这式子两边对时间再求导

看看得到什么结果呢

得到：绝对速度等于

绝对速度导数等于牵连速度导数加上

下面注意

这个ω×R也求导

出来两项

就是dω/dt叉乘r

加上ω叉乘dr/dt

再加上后面相对导数的导数

就是：d/dt

后面是dr/dt的波浪号

所以我们需要注意一下

我们要利用，我们要两次利用

科里奥利公式

第一次，我们把dr/dt直接利用(科里奥利公式)，变成什么

dr/dt等于dr/dt波浪号

加上ω×ｒ

好，这个是直接利用

然后

我们再把这个dr/dt的波浪号

就是相对的导数，把它本身作为一个矢量来看

因为我们记住，我们曾经说过

科里奥利公式那个r

可以换成任意的矢量

好，换完之后我们看出这样一个公式

就是说：d/dt，就是dr/dt

对时间求出导数

等于它的二阶导数加上

ω叉乘这个量本身

好，这样一来

我们发现我们公式

就得出这样一个结果

绝对加速度等于Ｏ点加速度

加上ε，ε是角加速度

ε×R+ω×dr／dt

再加上dr／dt波浪号再（对时间）求导数

好，我们稍微整理一下之后

得到什么结果呢

得到：绝对加速度等于O点加速度

加上ε×ｒ，加上

ω×(ω×ｒ)

再加上ｒ的二阶导数波浪号

再加上两倍的ω×Vr

这式子很长

通常我们把它分解为几个部分

把前面的三项合在一起

叫做ａｅ，牵连加速度

把那个ｒ对时间的2阶导数

相对导数称为ａｒ

而把两倍的ω×Vr

称为ａｃ

ａc称为“科氏加速度”

其中为什么叫“科氏加速度”

它是科里奥利发现的

他在早期（1835年）

他指出来：动系运动时会存在

科氏惯性力

并在1843年给出了证明

他最早是研究水轮机运动的时候

从这里面导出来的

所以记住：绝对加速度等于什么呢

等于牵连加速度加上相对加速度

再加上一个科氏加速度

那么，这个牵连加速度有什么物理含义呢

它为什么有这么多项呢

我们说：牵连加速度ae等于ao加上ε×r

加上ω×(ω×r)

有很多项在一起

我们可以想象：某刚体和动系固结

O点和P点是刚体上两点

那么我们可以看出来

P点所具有的加速度，这个加速度

正好就是牵连加速度

所以

所谓牵连加速度就是P点加速度

也就是说牵连加速度ae

是动系上和动点P重合的点

所具有的加速度

但是注意这一点本身

可以是在实际刚体上面

也可以在刚体之外

因为我们注意：动系是和刚体固结

但是延伸到整个空间的

所以这是要特别注意的一点

好了，那么我们再稍微小结一下

现在我们说

绝对加速度等于牵连加速度

加上相对加速度加上科氏加速度

而我们刚开始猜测的时候

我们猜的公式漏了一下

少了个ac

也就是说我们的直觉

只是部分反映了上面的（正确）公式

好，那么为什么我们要猜测

而不是直接证明前面的公式呢

这里我们来回顾一下量子力学的发展历史

当时，物理学家根据很多实验

根据很多经验和直觉

提出了很多的理论和假设

那么从现在来看

绝大部分都是错误的

但是，真理慢慢从中显现出来了

当时的实验证明

通过光电实验证明：光是粒子的

但是还有些实验

光的干涉实验证明：光是波动的

所以当时有个笑话

物理学家们星期一、三、五相信光是波

到了星期二、四、六呢相信光是粒子

到星期天，放假了

就是说：上帝啊，爱是什么就是什么！不管了！

所以当时的物理学家很痛苦

因为他们都有各自的物理实验

证明光的波动性和粒子性

同时

人们根据物体加热时发光

总结出某个公式

具体公式我们不写了

假设是公式1

然后，赫兹在1887年

注意到一个现象：“紫外灾变”的现象

就是有紫外线之后

更容易使他的装置产生火花

用公式1就解释不对了，所以

人们总结出公式2

那么公式1它对低频效果很好

但是对高频不合适

而公式2对高频合适对低频不合适

所以人们当时用的时候

就是根据情况，各取所需

当时普朗克也是这样

需要什么就用什么

到了1900年

他偶然想出一个新的公式

可以把这两个公式都概括

那么他提了什么概念呢

他凭自己的运气和见识

他发现了，或者说

他猜测出了一个新的公式

但是没有理论依据

因为当时没有相关理论支持这个（新公式）

所以他当时的处境是什么呢

就是他知道答案

但是还是做不出这个问题来

就好像学生偷偷看老师答案

知道答案之后还做不出来（因为难度太大）

所以它变成这样一个问题了

所以他为了解决这个问题

他提出一个新的观点

提出新的概念

能量必须一点一点发射（而不能连续发射）

这就是“能量子”的概念

正是因为他提出这个概念，17年之后

他为此获得了诺贝尔物理奖

他首先提出了“量子”的概念

开创了量子力学的全新局面

所以我们回顾历史

看出来人们对于问题的认识

有的时候是突然凭着灵感猜测出来的

而不是一步步推出来的

因为按当时的理论推不出来

所以说：科学家有这样一种才能

这在他们各种天赋当中不算是最不重要的

他们能从后来被证明是错误的前提中

得出有价值的结论

这段话是《量子史话》的作者霍夫曼说的

希望大家从这里面得到一些有益的启示

好，谢谢大家