当前课程知识点：理论力学 > 第八章 分析动力学 > 例题 > 8-4拉格朗日方程首次积分
好 我们来看一下椭圆摆的运动微分方程
及其积分
这个椭圆摆的话呢 我们应该比较熟悉了
已经做了好几个例题了
那么下面我们来看一看
它的微分方程及其积分
好 我们取x为水平坐标 φ的话呢
是A B相对于A滑块的运动
也就是说 我们取x和φ为广义坐标
我们写出系统的拉氏函数
因为这个题目 前面做过
所以我们就直接写出来了
它包括动能减势能
我们的重点是看它的积分情况
我们一看的话呢 L里面是不显含x的
所以的话呢 x是循环坐标
也就是说我们存在一个循环积分
那么这个循环积分怎么求呢
实际上很简单
只要把∂L ∂x点算出来就可以了
它算出来的结果是什么呢
就这个式子 它的含义是循环积分
是广义动量守恒 那么具体来说的话呢
结合这个题目 就表示是
水平方向的动量守恒
我们可以来验证一下 这个系统的话呢
A滑块水平方向动量是什么呢
就是质量乘以速度 所以是mA乘以x
对于B球的话呢 它包括两部分
一部分是牵连运动 一部分是相对运动
如果要求水平的动量的话呢
就把它投影在水平方向之后
就是mB（x+lφcosφ）
投影的话呢 所以有个cosφ
所以的话呢 这个积分的含义就是
水平方向的动量守恒
其次的话呢 我们看一下拉氏函数不显含t
所以的话呢 存在广义能量积分
那么具体到这个题目中 我们可以看一下
它应该就是动能+势能=常数
所以的话呢 也就是说它是一个机械能守恒
所以 这就是我们
从拉氏函数中直接找出来的它的积分
一个是循环积分 一个是广义能量积分
我们把上面的结果
跟前面的拉氏函数作比较
我们曾经求出拉氏方程的函数是这样的
x处理之后是这样的一个方程
对φ得到这样一个方程
这两个方程的话呢
我们现在说 它存在这样的积分结果
一个是能量积分 一个是动量积分
那么我们需要说明的是
这两个积分的话呢
是从这个方程里面积分出来的
但是呢 它又不是直接积分出来的
有兴趣的同学们可以自己尝试一下
如果你想直接把这个对x 对φ的这个方程
进行积分的话呢 你还很难积出来
其次的话呢 积的结果
可能还不是我们的这个结果
也就是说拉氏函数的积分 它给了一套方法
它是属于我们微分方程的积分
但是它不是直接从方程里积出来的
而是走的另外一条路
所以的话呢 这是很有意思的事情
那么拉氏函数的话呢
不但告诉我们如何列方程
还告诉我们如何求积分
下面我们讨论一下
如果这个滑块做匀速运动
也就是说x=v0
在这种情况下 它的积分会有什么变化吗
我们先把拉氏函数先写出来
这个前面已经写了 我们照搬就可以了
然后呢我们把x换成v0
好 我们注意一下 换成v0之后
这时候我们需要强调一下
这时候的话呢 只有φ是广义坐标了
x已经不是广义坐标了
所以只有一个广义坐标
那么下面我们看看存在什么积分呢
首先我们也可以看出它显含φ的
所以的话呢 它不存在循环积分了
它显含这个广义坐标
那么它不显含t 所以的话呢
还是存在广义能量积分
不过这个时候的话呢
因为它是个匀速运动
所以的话呢 这是个限制
这是个约束 这个约束的话呢
和时间有关系 因为某一时刻的话呢
它的位置是等于v0乘以t的
所以的话 存在一个
和时间有关的一个约束
因此的话呢 它的积分要这样写
是T2-T0+V=E 这个T2和T0的话呢
是表示的是和广义速度
有关的几次项 也就是说
T2的话呢 是这样的一个表达式
是1/2的mBl²φ²
它是和广义速度的平方有关系
大家注意 这一项的话呢
也是和速度平方有关系
但是这个速度的话呢
它不是广义坐标的导数
所以的话呢 它不算是T2里面的
所以要注意是φ²在出现
那么类似的话呢 T0是表示这个项的话呢
和φ没有关系
也就是说
虽然这一项是和速度平方有关系
但是它不是广义坐标的速度平方
所以的话 这是属于T0
这样一来的话呢
我们就得到一个积分是这样一个结果
这个结果就是T2-T0+V=E
那么 它的含义是什么呢
是广义能量积分 注意 它已经不是
机械能守恒了 当然我们可以想象一下
为什么这系统间能不守恒呢
你可以想象A物块
它为什么能够匀速运动呢
那一定是有外界的一个主动力推着它
这个力的话呢 可以根据B的速度和位置
要随时调整 所以说呢
外界有个力要做功 因此的话呢
这个系统的机械能已经不守恒了
但是呢 它的广义能量守恒
所以 我们要从这里面理解
就是这个广义能量的话呢 是
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