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8-4拉格朗日方程首次积分在线视频

8-4拉格朗日方程首次积分

下一节:广义动量守恒

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8-4拉格朗日方程首次积分课程教案、知识点、字幕

好 我们来看一下椭圆摆的运动微分方程

及其积分

这个椭圆摆的话呢 我们应该比较熟悉了

已经做了好几个例题了

那么下面我们来看一看

它的微分方程及其积分

好 我们取x为水平坐标 φ的话呢

是A B相对于A滑块的运动

也就是说 我们取x和φ为广义坐标

我们写出系统的拉氏函数

因为这个题目 前面做过

所以我们就直接写出来了

它包括动能减势能

我们的重点是看它的积分情况

我们一看的话呢 L里面是不显含x的

所以的话呢 x是循环坐标

也就是说我们存在一个循环积分

那么这个循环积分怎么求呢

实际上很简单

只要把∂L ∂x点算出来就可以了

它算出来的结果是什么呢

就这个式子 它的含义是循环积分

是广义动量守恒 那么具体来说的话呢

结合这个题目 就表示是

水平方向的动量守恒

我们可以来验证一下 这个系统的话呢

A滑块水平方向动量是什么呢

就是质量乘以速度 所以是mA乘以x

对于B球的话呢 它包括两部分

一部分是牵连运动 一部分是相对运动

如果要求水平的动量的话呢

就把它投影在水平方向之后

就是mB(x+lφcosφ)

投影的话呢 所以有个cosφ

所以的话呢 这个积分的含义就是

水平方向的动量守恒

其次的话呢 我们看一下拉氏函数不显含t

所以的话呢 存在广义能量积分

那么具体到这个题目中 我们可以看一下

它应该就是动能+势能=常数

所以的话呢 也就是说它是一个机械能守恒

所以 这就是我们

从拉氏函数中直接找出来的它的积分

一个是循环积分 一个是广义能量积分

我们把上面的结果

跟前面的拉氏函数作比较

我们曾经求出拉氏方程的函数是这样的

x处理之后是这样的一个方程

对φ得到这样一个方程

这两个方程的话呢

我们现在说 它存在这样的积分结果

一个是能量积分 一个是动量积分

那么我们需要说明的是

这两个积分的话呢

是从这个方程里面积分出来的

但是呢 它又不是直接积分出来的

有兴趣的同学们可以自己尝试一下

如果你想直接把这个对x 对φ的这个方程

进行积分的话呢 你还很难积出来

其次的话呢 积的结果

可能还不是我们的这个结果

也就是说拉氏函数的积分 它给了一套方法

它是属于我们微分方程的积分

但是它不是直接从方程里积出来的

而是走的另外一条路

所以的话呢 这是很有意思的事情

那么拉氏函数的话呢

不但告诉我们如何列方程

还告诉我们如何求积分

下面我们讨论一下

如果这个滑块做匀速运动

也就是说x=v0

在这种情况下 它的积分会有什么变化吗

我们先把拉氏函数先写出来

这个前面已经写了 我们照搬就可以了

然后呢我们把x换成v0

好 我们注意一下 换成v0之后

这时候我们需要强调一下

这时候的话呢 只有φ是广义坐标了

x已经不是广义坐标了

所以只有一个广义坐标

那么下面我们看看存在什么积分呢

首先我们也可以看出它显含φ的

所以的话呢 它不存在循环积分了

它显含这个广义坐标

那么它不显含t 所以的话呢

还是存在广义能量积分

不过这个时候的话呢

因为它是个匀速运动

所以的话呢 这是个限制

这是个约束 这个约束的话呢

和时间有关系 因为某一时刻的话呢

它的位置是等于v0乘以t的

所以的话 存在一个

和时间有关的一个约束

因此的话呢 它的积分要这样写

是T2-T0+V=E 这个T2和T0的话呢

是表示的是和广义速度

有关的几次项 也就是说

T2的话呢 是这样的一个表达式

是1/2的mBl²φ²

它是和广义速度的平方有关系

大家注意 这一项的话呢

也是和速度平方有关系

但是这个速度的话呢

它不是广义坐标的导数

所以的话呢 它不算是T2里面的

所以要注意是φ²在出现

那么类似的话呢 T0是表示这个项的话呢

和φ没有关系

也就是说

虽然这一项是和速度平方有关系

但是它不是广义坐标的速度平方

所以的话 这是属于T0

这样一来的话呢

我们就得到一个积分是这样一个结果

这个结果就是T2-T0+V=E

那么 它的含义是什么呢

是广义能量积分 注意 它已经不是

机械能守恒了 当然我们可以想象一下

为什么这系统间能不守恒呢

你可以想象A物块

它为什么能够匀速运动呢

那一定是有外界的一个主动力推着它

这个力的话呢 可以根据B的速度和位置

要随时调整 所以说呢

外界有个力要做功 因此的话呢

这个系统的机械能已经不守恒了

但是呢 它的广义能量守恒

所以 我们要从这里面理解

就是这个广义能量的话呢 是

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绪论

-绪论

--绪论

第一章 点的运动学

-1-1 矢量描述法

--第一章运动的描述

--1-1 矢量描述法

--矢量及其运算

-1-2 直角坐标描述法

--1-2直角坐标描述法

--例题1 椭圆规

--例题2 圆轮滚动

-1-3 自然坐标描述法

--1-3 自然坐标描述法

--例题3 单摆

-1-4 极坐标描述法

--1-4 极坐标描述法

--例题4 演员

--讨论题 多种方法求解

-扩展内容

--a 点的运动学扩展

--b 观察与思考

--c 时间与方向

--d 仰望星空

--e 兔子追击问题

-第一章 点的运动学--作业

第二章 刚体运动学

-2-1 刚体的定义与运动形式

--2-1 刚体的定义与刚体的运动形式

-2-2 刚体的矢量-矩阵描述

--2-2 刚体运动的矢量-矩阵描述

--2-2-0 刚体运动的矢量-矩阵描述

--2-2-1 刚体的运动方程

--2-2-2 刚体上任意点的速度和加速度

--2-2刚体的矢量-矩阵描述例题1-2

-2-3 刚体平面运动

--2-3 刚体平面运动

--2-3-1 平面运动的运动方程

--2-3-2 刚体上任意点的速度和加速度

--2-3-3 速度分析 基点法

--2-3-3 速度分析 瞬心法

--2-3-3 速度分析 速度投影定理

--2-3-3速度分析 刚体平面运动的瞬心轨迹

--2-3-4 刚体平面运动的加速度分析

--2-3-3速度分析例题1-4

--2-3-4加速度分析例题1-4

-2-4 刚体定点运动

--2-4-1 刚体定点运动几何分析

--2-4-2 刚体定点运动的解析描述

-扩展内容

--2-扩展-a加速度是否存在投影定理

--2-扩展-b图形放大器

--2-扩展-c连弩射击

--2-扩展-d关于刚体的转动

--2-扩展-e欧拉角探秘

-第二章 刚体运动学--作业

第三章 复合运动

-3-1 点的复合运动

--3-1 点的复合运动

--3-1-1 运动方程

--3-1-2 矢量的绝对导数与相对导数

--3-1-3 速度合成定理

--3-1-4 加速度合成定理

-3-2 刚体复合运动

--3-2 刚体复合运动

-例题

--3-1-1 运动方程例题1 工件轨迹

--3-1-3 速度合成定理例题1-3

--3-1-4 加速度合成定理例题1-4

--3-2-1 角速度合成例题1-3

--3-2-2 刚体定点运动例题1-2

-扩展内容

--钟表的设计

--寻找四叶草

--差动齿轮

--指南车

--逆行风车

-第三章 复合运动--作业

第四章 几何静力学

-4-0 静力学公理序言

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-4-1 主矢量和主矩

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-4-2 力系的等效与简化

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-4-3 受力分析与刚体平衡

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-4-4 平面力系的平衡方程

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-4-5 考虑摩擦的平衡问题

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-4-6 刚体系的平衡

--4-6-1 组合结构

--4-6-2 桁架

--4-6-3 机构

-例题

--4-1 主矢量和主矩例题1-3

--4-2 力系的等效与简化例题1-3

--4-3 受力分析与刚体平衡例题1-3

--4-4 平面力系的平衡方程例题1-2

--4-5 考虑摩擦的平衡问题例题1-6

--4-6-1 刚体系的平衡例题1-3

--4-6-2 桁架例题1-4

-扩展内容

--4-扩展-a纸桥过车

--气球的平衡

--平衡大师

--4-扩展-d动物爬绳

--4-扩展-e力学与考古

-第四章 几何静力学--作业

第五章 分析静力学

-5-1 约束及其分类

--约束及其分类

-5-2 虚位移

--虚位移

-5-3 虚功原理

--虚功原理

-5-4 广义坐标和广义力

--广义坐标和广义力

-5-5 势力场中的平衡

--势力场中的平衡方程

-例题

--5-3 虚位移原理例题

--5-4 广义坐标和广义力例题

--5-5 势力场中的平衡方程例题

-扩展内容

--关于投影

--不倒翁

--5-扩展-c欹器

--冈布茨

-第五章 分析静力学--作业

第六章 质点动力学

-6-1 质点运动微分方程

--6-1质点运动微分方程

--6-1质点运动微分方程例题

-6-2 质点在非惯性系中的运动

--6-2 质点在非惯性系中的运动

--6-2质点在非惯性系中的运动例题1

-6-3 相对地球的运动

--6-3 相对地球的运动

-扩展内容

--宇航员的问题

--6-扩展-b在小行星上打台球

--失重现象及模拟失重

--非线性方程的近似解

--落体问题在惯性系中解释

-第六章 质点动力学--作业

第七章 质点系动力学

-7-1 质点系动量定理

--7-1 质点系动量定理

-7-2 质点系动量矩定理

--7-2-1 质点系的动量矩

--7-2-2 质点系动量矩定量

--7-2-3 刚体定轴转动微分方程

--7-2-4 刚体平面运动微分方程

-7-3 质点系动能定理

--7-3 质点系的动能定理

-7-4 质系普遍定理的综合应用

--7-4 质系普遍定理的综合应用

-7-5 碰撞

--7-5 碰撞

-例题

--7-1 质点系动量定理1-4

--7-2-1 质点系动量矩例题1

--7-2-2 质点系动量矩定理例题1-2

--7-2-3 刚体定轴转动微分方程例题1-2

--7-3 质点系动能定理例题1-2

--7-4 质系普遍定理的综合应用例题1-2

--7-5 碰撞例题1-4

-扩展内容

--7-拓展-a跳高

--7-扩展-b跳水

--7-拓展-c手机吊冰箱

--7-扩展-d小鸭下山

--7-扩展-e飞针穿玻璃

--第七章 质点系动力学--作业

第八章 分析动力学

-8-1 达朗贝尔原理

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-8-2 达朗贝尔-拉格朗日原理

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-8-3 第二类拉格朗日方程

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-8-4 拉格朗日方程首次积分

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-例题

--达朗贝尔原理例题

--8-2达朗贝尔原理-拉格朗日

--8-3第二类拉格朗日方程

--8-4拉格朗日方程首次积分

-扩展内容

--广义动量守恒

--广义能量守恒

--非定常约束

--无轮小车

-第八章 分析动力学--作业

8-4拉格朗日方程首次积分笔记与讨论

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