当前课程知识点:理论力学 > 第七章 质点系动力学 > 例题 > 7-2-1 质点系动量矩例题1
例1
我们看一下半径为r的圆轮
在水平面上作纯滚动
已知的话呢
圆盘对它圆心的转动惯量是Jc
角速度是ω
质心的速度是Vc
那么求一下
圆盘对水平面上O点的动量矩
O点的话呢是水平面上某一点
那么下面我们看如何求解
我们可以利用这样一个公式
就是 动量矩对O点的话呢
等于对C点的 也就是说对质心的
加上一下roc×mVc
同时的话呢 我们再利用一下
系统对质心的动量矩
等于它的相对运动对质心动量矩
那么用这个公式有什么好处呢
因为相对运动都是做圆周运动
因此可以直接用这样的公式
比如转动惯量乘以角速度
那么我们代入公式之后
Jc的话等于二分之一mr2
所以的话就比较简单了
然后呢 我们再考虑
C点速度的话呢 是
因为作纯滚动 所以满足rω
方向是x方向 水平方向 所以i
这样一来的话呢
roc×mVc等于什么呢 就等于mr2ω
好 这样一来的话呢
我们就代入前面的公式
就算出来了系统对O点的动量矩
等于二分之三倍的mr2ω
方向是与ω方向一致的
好 下面我们看另外一种解法
那么这种解法的话呢 是用的这个公式
就是 系统对O点的动量矩等于
系统对A点的动量矩
但是呢 有个附加项是rOA×mVc
实际上这一项的话就是说它的动量了
好了 那么下面我们看
系统对A点怎么算呢
我们用另外一个公式 用这个公式
它是等于 La=Lar+mrac×Va
那么后面的话照写
也就是说什么呢
这一项是系统绝对运动对A点的动量矩
它等于相对运动对它的动量矩
再加上一个附加项 这是附加项
注意 也就是这两项加在一起之后等于La
那么我们为什么喜欢用相对运动来算呢
这是因为 在相对运动的情况下
如果是刚体的话呢
它就直接可以写成是转动惯量乘以角速度
比如说我们是相对于A点的
那就是 转动惯量 对A点的转动惯量
好 这样一来的话呢 我们下面看
Va 因为我们A点的话呢是瞬心
所以的话Va=0
好 这样一来的话呢
我们就可以直接算出来
比如说C点的速度和roa的话呢是平行的
因为你看
roa的话呢是水平面上的这个线段
Vc的话是和它平行的
因此的话呢
这两个平行的话一叉乘就没有了
所以的话呢
我们上面的公式就简化成这样一个结果
就是系统对O点的动量矩等于
系统对A点的转动惯量乘以角速度
这时候的话呢 Ja的话呢
利用一下 就是平移定理
它等于对C点的转动惯量加上
质量乘以移动的距离
移动的距离A到C之间的话是r
所以的话呢 加上mr2再乘以角速度
那么这样一算的话呢
也是等于二分之三倍的mr2ω
同学们可以把这两种方法比较一下
前面一种和后面一种
然后呢你们自己选一种
你们自己觉得更熟悉的方法来处理
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