8-1达朗贝尔原理在线视频

今天我们学新的一章即第八章 分析力学

在这章的话呢我们会接触很多新的概念

我们先介绍第一节达朗贝尔原理

首先的话呢我们考虑一下

就是说对于非自由质点的运动

我们根据牛顿定理的话应该等于是

质量×加速度等于力

那么我们特别的话把这个力分解为

受到主动力以及约束力

因为是非自由质点嘛

所以是主动力+约束力

然后呢我们把它换成以下项

变成是F+N-ma=0

那么这个式子的话移完项之后

从数学上说是完全一样的

但是从物理上的话呢

我们可以给它一个新的解释

特别是我们引入一个惯性力

S=-ma这样引完之后的话呢

就使得我们原来的方程啊牛顿定理啊

变成什么呢 变成F+N+S=0

那么注意引入这个力之后的话得个新的方程啊

这个方程的话就有新的解释了

它是什么意思呢

就是说如果假想的在运动的质点上加上惯性力

则质点在主动力F 约束力N以及惯性力S

作用下处于平衡所以这个解释叫达朗贝尔原理

好大家注意 这个移完项之后的话呢

从数学上说还是一回事

但是说它有新的物理解释了

那么它就是一个新的名词叫达朗贝尔原理了

那么研究质点动力学问题的话呢

这种方法叫做动静法

利用动静法的话呢可以把动学问题

转化为静学问题

可以把我们以前所学的静力学的所有知识

用进来 所以的话呢

动力学问题在我们现在的话就变成什么呢

变成如何求N和如何求S了

如何求N相当于是如何求未知力

如何求S的话相当于如何求运动

那么这里面涉及到惯性力的概念

我们来稍微解释一下

是对于所研究的质点的话呢

这个惯性力啊我们注意是我们假想的

但是呢现在问题是

是不是真的存在一个力S=-ma呢

好 当然是存在的

那么我们看这个示意图啊

就是假设一个人拉这个小车跑起来了

小车有一个加速度

那么在这个问题中的话呢

这个S=-ma在哪儿呢

注意不在车上而是作用到人的手上

正是因为作用在人的手上的话呢

使我们感觉到惯性的存在

哎所以这点要注意

这个惯性力的话呢不是作用在车上面

而是作用在他这个人的手上面

因此 我们特别来强调下什么呢

惯性力的大小它等于质量×加速度

方向的话呢和加速度相反

同时还要特别强调是

它作用在使此物体产生加速度的其它物体上

这是要特别强调一点

好下面我们介绍质系的动静法

前面介绍质点的那么质系的话呢

就相当于把质点的话合在一起就可以了

那么我们看一下

就是如果在质系的每个质点上

都假想地加上相应的惯性力

那么则此质系的话在主动力 约束力

和惯性力的作用下处于平衡

那么根据以前我们所学过的

静力学知识的话我们知道

我们在质系上全部加上惯性力之后啊

这个惯性力是体积力

是每个质点上都要有的力 是体积力

那么一个分布力系的话呢

当然我们要简化

那么如何简化呢

这时候可以把我们以前学的静力学知识用进来

根据以前关于力系的简化结果可以知道什么呢

惯性力系可以简化成一个主矢量和主矩

那么下面我们就来具体分析主矢量和主矩

该怎么计算

我们先来讨论一下惯性力系的主矢量

根据定义的话呢惯性力的主矢量是什么呢

Rs=∑S-∑-ma

好我们看对于一般的问题

一个刚体里面很多质点

我们把C作为质心然后呢我们建立坐标系

额但把那个OXYZ作为惯性坐标系

然后的话呢以C刚体的质心C作为坐标原点

建立一个平动坐标系

额 因为我们坐标系的原点在C点

所以的话我们很容易知道ρc=0

好我们这个结果等会会用到

同时的话呢我们等会还要证明什么呢

证明这样一个结果

就是加速度对它对应的质量积分之后啊

等于总质量×质心加速度

我们有个重心公式

就是每个质点的重量×它对应的相近

把它积分起来后÷它总的重量的话呢

同时的话呢 如果我们这个重力场

在局部范围的话考虑是均匀的重力场的话呢

可以把那个重力加速度啊g可以去掉它

就变成一个变成质心公式了

好然后呢我们再进一步的

把质心公式啊稍微处理一下之后

就变成这样一个公式就是说

那么这个公式的话总成力

两边求导之后的话是得到这个公式

就等于什么呢

所以质点对于加速度积分之后

等于总质量×质心的加速度

那么这个公式的话和我们以前讲过的

就是质心运动定理应该差不多是一样的

好了从这个公式的话呢

类似的还有这样的公式就是

每个质点和它相应的ρ乘在一起之后积分

等于什么呢等于总质量×ρc

这个是完全可以类似的把它导出来

好了下面我们就以这些为基础

导出我们的就惯性力的主矢量和主矩

好我们写出来是

Si=-miai=mir:

然后把它积分之后得到什么结果呢

根据我们刚才说的结果之后

等于这样一个结果就是说

Rs=-Mac

好这就是惯性力的主矢量

即惯性力系的主矢量

只与系统的质心加速度有关系

额我们注意的话呢就是说

力系的简化是和简化中心没关系的

因此的话呢我们简化中心可以任意选取

通常的话呢在实际问题中的话

当然不是随便选它是从选什么呢

或者是选择质点或者是选择在悬挂的点

或者在某个定点

好 那么这是关于主向量的问题或者叫主矢量

那么下面的话研究一下惯性力系的主矩

额这部分的话就比较复杂

我们稍微来展开介绍一下

首先的话呢把定义式写出来

额对于某一个质点的话呢

它的主矩点多少呢是

Mi=ρi×S S是惯性力了

把这个积分之后的话呢

也得出很长的式子

那么这样式子的话呢通常啊

积起来是很复杂的

是不好处理的

所以的话下面的话呢

我们考虑的是刚体如果是做平面运动

在这种特殊情况下的话呢

它里面很多项啊就可以得到简化

那么下面注意我们处理的是

刚体做平面运动时候的情况

好我们把它分解成三个部分

比如把Ms分解成Ms1

Ms1的话是看作什么

是把-∫ρi×rc:dm再积分

那么这个出来之后的话呢

我们需要注意的是

因为是rc:是公共部分把它提出来之后啊

出来之后得到什么结果呢

得到-Mρc×rc:

记住我们前边曾经说过

ρc是等于0的

所以这个积分之后就等于总的等于0了

好再看第二项Ms2

它是等于ρ×ε×ρ然后对质量进行积分

这时候注意ε×ρ我们假设是

刚体做平面运动的情况下

ε和ρ是垂直的

垂直的话呢它可以提出一个

可以简化变成什么等于

-∫ερi2dm加上积分

这时候积分出来是什么呢

ε是公共的

刚体转动是公共的具有加速度可以提出来

所以变成了什么呢变成了最后得出一个

-Jcε

Jc的话就是刚体的转动惯量

所以第二部分简化成

和转动惯量和角加速度有关系

那么再看第三部分

第三部分的话呢经过适当处理之后啊

它最后出来的是什么呢

它和ρi×ρi有关系

而两个量叉乘的时候

它是自己叉乘自己是等于0的

所以的话Ms3=0

哎就是说刚体做平面运动的时候

刚体对质心的惯性力矩等于看很简单

=-Jcε

好注意这个前提是

对于刚体做平面运动才成立

那么我们可以讨论一下

这个公式的话呢

是在做刚体平面运动成立的

为什么呢因为我们用到这几个前提

哎大家注意一下就是

额有这样几个就是

第一就是ω×（ω×ρi）是不是会等于

-ω2ρi

这个有没有什么前提

以及ρ×（ε×ρi）这个=ρi2ε

其次的话呢我们要说明一下

这个转动惯量Jc的话呢是

刚体对过C点的转轴的转动惯量

它表示质量的分布

那么通常的物体的转动惯量的话呢

在我们的课本219页啊列了一些

你可以把比如说圆盘

这个就是细长轴等等球体这样几个常见的话

你要把它记住就可以了

好今天我们就介绍到这