7-1 质点系动量定理1-4在线视频

例1

质量分别为ma和mb的两个物体A和B

用刚度系数为k的弹簧联结

开始的时候B在地面上

A静止时候在O位置 然后向下移动X0

然后突然松开 如图所示

求地面对B块的约束反力Nb

另外X0为多大的时候 B块将会跳起

好 我们来分析系统的运动

取系统为研究对象 画受力图

A物块受的重力 B物块受的重力

以及地面对B的支撑力

A的话作简谐运动 初始条件的话是

在零时刻它有一个X的位移

是沿着坐标的负方向 然后速度为0

那么我们坐标选取是以平衡位置为零点

那么 这样的话我们就可以求出

A点的运动规律是Xa=-X0cosωt

那么相应的求导 就可以求出

速度和加速度

那么系统的动量的话呢就是

A物体的质量乘以A的速度

加上B物体的质量乘以B的速度

那么B物块现在是静止的 所以只有一项

然后系统的动量定理的话呢就是

质量乘以加速度等于系统受的外力

那么 我们考虑是x方向

所以A的质量乘以A的加速度

这个加速度的话呢

把这个公式移进来就可以了

然后等于系统在x方向上受的外力

等于Nb减掉A物块的重量和B物块的重量

通过这个公式的话呢 我们就求出来

B物块受的外力等于两部分

一部分是由于AB的重量所引起的

一部分的话是由于A物块的运动所引起

下面研究

B起跳的条件就是这个支撑力要为0

那么也就是说这个公式要等于0

我们可以求出来X0就有个表达式

那么注意这里面和ωt有关系

那么我们可以取出来的最小值

就是让cosωt等于1 这时候等于什么呢

得出这样一个结果

是等于ma加上mb除以k乘以重力加速度

等于说满足这个条件 B物块就会跳起

那么我们可以讨论一下

就是为什么我们人在起跳之前

必须先弯曲膝盖

其次 通过这个问题你可以知道

什么是简化的物理模型

原来我们一个人的起跳

可以用类似这样一个模型来简单的处理

当然这是最简化的情况

其次的话呢

人的起跳如果从受力角度说该怎么解释

我们刚才解释的话是从动量角度来解释的

例2

椭圆摆由质量为ma的滑块A

和质量为mb的单摆B构成

滑块A的话呢可沿水平面运动 光滑

AB杆的话呢长度为l 质量不计

试建立系统的运动微分方程

并求水平面对滑块A的约束力

那么这个系统的话呢称为叫椭圆摆

那是因为什么呢

如果A点不动的话呢 这就是一个摆 单摆

但是A点动起来之后的话呢

B点的轨迹就是一个椭圆

有兴趣的同学可以研究一下

好下面我们取x和φ为广义坐标

其中x的话呢是表示的是A点的水平运动

φ的话呢是单摆的运动

那么运用一下动量定理

在水平方向和竖直方向

我们把它分别列出来

这就是水平方向的动量

包括A的动量和B的动量

B的话呢包括两部分

一个是牵连运动 一个是相对运动

把它分解到水平方向

所以有这样的表达式

因为是光滑的 所以的话呢

方程的右边为0

在竖直方向上的话呢

也可以这么列一下

就是竖直方向上的动量

只有B滑块它的运动组成

然后的话呢 这个方程的右边

包括的 所有的系统竖直方向的力

包括支撑力和重力

那么两个方程的话呢

这里面有三个未知数

一个是x一点 一个是φ一点 还有N

所以的话 方程不够

我们还需要补充方程

因此我们可以拆开来

我们取单摆为研究对象

我们单独把单摆画这

它的受力包括重力和AB的杆力

因为我们注意 AB的话呢没有质量

所以的话呢是二力构件

所以B是这个方向

那么它受到的加速度的话呢来分解一下

牵连运动和相对运动

相对运动包括两部分

相对向心 相对切向

那么对单摆来说的话呢 我们来列个方程

列一个相对切向的方程 可以把它得出来

质量乘以加速度等于力

然后的话呢 把三个方程联立求解

可以解出一个表达式来

可以解出来N的表达式

它包括两部分组成

一部分是由于A和B的重量导致的

一部分是由于B的运动导致的

那么这里的φ

可以通过方程求解之后把它求出来

φ求出来之后

那么N的表达式就是明确的

好 例3

图示的那个电动机的话

用螺栓固定在刚性基础上

其外壳和定子的总质量是m1

质心的话呢位于转子的中心O1

转子质量为m2

但是由于制造的偏差

转子质心O2的话不在转轴中心上

而是有一个偏心的距离 偏心距离是e

已知的话转子以等角速度ω转动

试求电动机基座的约束反力

我们建立坐标系O1xy 画出受力图

它受力包括 定子的重力还有转子的重力

以及地面对它的约束力

那么由动量定理的话呢我们可以知道

水平方向和竖直方向

我们可以把它写出来

就是 质量乘以它的加速度等于力

那么 包括两部分

m1的话呢 因为是定子

固定在地上不动 所以的话加速度为0

m2的话呢 匀速运动起来之后

有一个向心加速度 所以的话

我们在这个位置是指向圆心的

是负的 有个负号

好 类似的话在y方向上也把它写出来

那么 支座反力的话呢

把它延长之后可以把它求出来

Fx=-m2eω2sinωt

Fy的话呢 包括两部分

一部分由于它的重量导致的

一部分由于转子的不平衡导致的

那么这个动约束力的话呢和ω方成比例

我们知道的话呢 在工程中的话呢

这个转子是高速旋转

每分钟的话上千转甚至上万转

所以的话这个力还是很大的

只要有一点偏差

这个力的话可能会比重力部分还要大

所以的话呢

在工程上常在电动机和基础之间安装

具有弹性和阻尼的橡胶垫

以减少基础的动反力

那么这种方法称为叫隔振方法

例4

如果上面的这个例子的话

这个螺栓去掉

那么不考虑地面的摩擦

同时的话初始时候电动机静止

我们求一下

转子以匀角速度ω转动的时候

电动机外壳在水平方向上是如何运动的

以及第二问 电动机要跳起来的话呢

它需要的最小角速度应该是多少

下面我们来分析一下

电动机外壳在水平方向上的运动方程

我们先列出系统的质心位置

比如说假如是L

我们开始的时候在这个位置

在这一时刻的话呢

我们假设φ是等于0度的

那么当它动起来之后的话呢

可能O2点往这边动了一下

O1点往这边动 因为系统要守恒嘛

好 假设动的话会是s

这时候的话呢 我们可以写出

系统新的质心位置是等于

m1乘以它的质心位置

加上m2乘以它的质心位置 除以总质量

那么具体来看的话呢 m1的是多少呢

看 从这开始往后退了s 所以是L-s

那么类似的话呢 m2的话呢是

L-s之后再加上它的偏心的那个分量

好了 由于系统的话是在水平上面

因此的话呢

要满足0时刻和t时刻的话呢

质心位置相同 从而可以求出

s等于质量2除以质量1加质量2

再乘以e乘以sinφ

这就是系统的运动的规律

按照sinφ这样的规律运动

下面我们看一下 电动机的起跳条件

电动机要起跳的话呢必须满足

在竖直方向的话这个支撑力要为0

因此我们可以利用一下质心运动定理

可以写出来

质量乘以加速度等于力这样的方程

那么具体来说就是

m1乘以它的加速度

因为这个m1的话是定子

所以的话加速度为0

加上m2的加速度

m2的加速度的话呢

在竖直方向上的分量的话呢是

eω2cosωt 然后等于系统受的外力

在竖直方向上的分量

等于支撑力和重力

那么从这里可以解出来

基座的约束反力是

Fy等于两部分组成

一部分是由于重力导致的

一部分是由于m2偏心质量运动导致的

那么这一部分的话呢

是由cosω限定的

所以它是有正负的变化的

因此 我们可以看出来

它的最小值的话呢是

重力的部分减掉m2eω2

那么如果是Fy=0

就能求出起跳的最小角速度

那么是多少呢 我们看一下

可以算出来 角速度最小值是

m1加上m2除以m2再除以e

然后这个值乘以重力加速度开方

那么这个数值的话呢

就是电动机起跳的最小的角速度

那么这个问题我们可以讨论一下

转子偏心的电动机

没有用螺栓固定的时候

将会在水平面上作往复运动

这个具体表达式的话

我们前面已经推出来了

不过我们需要说明的是

这个结果的话呢

只是一个纯理论上的结果

实际问题的话呢 比较复杂

我们还要考虑其他因素 比如说

两个螺栓受力是不一样的

它的质心的位置偏前一点

偏后一点 以及材料的变形等等

这些因素考虑之后

我们前面说的往复运动这个结论

可能就不一定成立了

那么下面的话呢

给大家看一下实际情况

一 我们看一下 单独的电动机

如果不加限制的话 它会怎么运动

其次的话呢

我们把它稍微改造一下

变成一个最小的行走装置

大家通过这两个例子可以看一下

我们的结论是纯理论上的结论

好 这里有 电动机 电池 开关

然后呢 还有导线 以及大头针

和我们特别设计的小木头片

那么把它适当的拼装之后

你猜猜会有什么现象吗

好 我们看看我们已经做好了这个装置

这个装置的话呢 大头钉的话呢

是为了让它不容易侧倒

这是它的转子

一通电转子会转起来

好 我们看看 它的运动方向

是不是和转子垂直呢

很调皮 一开机就跑掉了

它在做圆周运动