当前课程知识点:理论力学 > 第七章 质点系动力学 > 例题 > 7-1 质点系动量定理1-4
例1
质量分别为ma和mb的两个物体A和B
用刚度系数为k的弹簧联结
开始的时候B在地面上
A静止时候在O位置 然后向下移动X0
然后突然松开 如图所示
求地面对B块的约束反力Nb
另外X0为多大的时候 B块将会跳起
好 我们来分析系统的运动
取系统为研究对象 画受力图
A物块受的重力 B物块受的重力
以及地面对B的支撑力
A的话作简谐运动 初始条件的话是
在零时刻它有一个X的位移
是沿着坐标的负方向 然后速度为0
那么我们坐标选取是以平衡位置为零点
那么 这样的话我们就可以求出
A点的运动规律是Xa=-X0cosωt
那么相应的求导 就可以求出
速度和加速度
那么系统的动量的话呢就是
A物体的质量乘以A的速度
加上B物体的质量乘以B的速度
那么B物块现在是静止的 所以只有一项
然后系统的动量定理的话呢就是
质量乘以加速度等于系统受的外力
那么 我们考虑是x方向
所以A的质量乘以A的加速度
这个加速度的话呢
把这个公式移进来就可以了
然后等于系统在x方向上受的外力
等于Nb减掉A物块的重量和B物块的重量
通过这个公式的话呢 我们就求出来
B物块受的外力等于两部分
一部分是由于AB的重量所引起的
一部分的话是由于A物块的运动所引起
下面研究
B起跳的条件就是这个支撑力要为0
那么也就是说这个公式要等于0
我们可以求出来X0就有个表达式
那么注意这里面和ωt有关系
那么我们可以取出来的最小值
就是让cosωt等于1 这时候等于什么呢
得出这样一个结果
是等于ma加上mb除以k乘以重力加速度
等于说满足这个条件 B物块就会跳起
那么我们可以讨论一下
就是为什么我们人在起跳之前
必须先弯曲膝盖
其次 通过这个问题你可以知道
什么是简化的物理模型
原来我们一个人的起跳
可以用类似这样一个模型来简单的处理
当然这是最简化的情况
其次的话呢
人的起跳如果从受力角度说该怎么解释
我们刚才解释的话是从动量角度来解释的
例2
椭圆摆由质量为ma的滑块A
和质量为mb的单摆B构成
滑块A的话呢可沿水平面运动 光滑
AB杆的话呢长度为l 质量不计
试建立系统的运动微分方程
并求水平面对滑块A的约束力
那么这个系统的话呢称为叫椭圆摆
那是因为什么呢
如果A点不动的话呢 这就是一个摆 单摆
但是A点动起来之后的话呢
B点的轨迹就是一个椭圆
有兴趣的同学可以研究一下
好下面我们取x和φ为广义坐标
其中x的话呢是表示的是A点的水平运动
φ的话呢是单摆的运动
那么运用一下动量定理
在水平方向和竖直方向
我们把它分别列出来
这就是水平方向的动量
包括A的动量和B的动量
B的话呢包括两部分
一个是牵连运动 一个是相对运动
把它分解到水平方向
所以有这样的表达式
因为是光滑的 所以的话呢
方程的右边为0
在竖直方向上的话呢
也可以这么列一下
就是竖直方向上的动量
只有B滑块它的运动组成
然后的话呢 这个方程的右边
包括的 所有的系统竖直方向的力
包括支撑力和重力
那么两个方程的话呢
这里面有三个未知数
一个是x一点 一个是φ一点 还有N
所以的话 方程不够
我们还需要补充方程
因此我们可以拆开来
我们取单摆为研究对象
我们单独把单摆画这
它的受力包括重力和AB的杆力
因为我们注意 AB的话呢没有质量
所以的话呢是二力构件
所以B是这个方向
那么它受到的加速度的话呢来分解一下
牵连运动和相对运动
相对运动包括两部分
相对向心 相对切向
那么对单摆来说的话呢 我们来列个方程
列一个相对切向的方程 可以把它得出来
质量乘以加速度等于力
然后的话呢 把三个方程联立求解
可以解出一个表达式来
可以解出来N的表达式
它包括两部分组成
一部分是由于A和B的重量导致的
一部分是由于B的运动导致的
那么这里的φ
可以通过方程求解之后把它求出来
φ求出来之后
那么N的表达式就是明确的
好 例3
图示的那个电动机的话
用螺栓固定在刚性基础上
其外壳和定子的总质量是m1
质心的话呢位于转子的中心O1
转子质量为m2
但是由于制造的偏差
转子质心O2的话不在转轴中心上
而是有一个偏心的距离 偏心距离是e
已知的话转子以等角速度ω转动
试求电动机基座的约束反力
我们建立坐标系O1xy 画出受力图
它受力包括 定子的重力还有转子的重力
以及地面对它的约束力
那么由动量定理的话呢我们可以知道
水平方向和竖直方向
我们可以把它写出来
就是 质量乘以它的加速度等于力
那么 包括两部分
m1的话呢 因为是定子
固定在地上不动 所以的话加速度为0
m2的话呢 匀速运动起来之后
有一个向心加速度 所以的话
我们在这个位置是指向圆心的
是负的 有个负号
好 类似的话在y方向上也把它写出来
那么 支座反力的话呢
把它延长之后可以把它求出来
Fx=-m2eω2sinωt
Fy的话呢 包括两部分
一部分由于它的重量导致的
一部分由于转子的不平衡导致的
那么这个动约束力的话呢和ω方成比例
我们知道的话呢 在工程中的话呢
这个转子是高速旋转
每分钟的话上千转甚至上万转
所以的话这个力还是很大的
只要有一点偏差
这个力的话可能会比重力部分还要大
所以的话呢
在工程上常在电动机和基础之间安装
具有弹性和阻尼的橡胶垫
以减少基础的动反力
那么这种方法称为叫隔振方法
例4
如果上面的这个例子的话
这个螺栓去掉
那么不考虑地面的摩擦
同时的话初始时候电动机静止
我们求一下
转子以匀角速度ω转动的时候
电动机外壳在水平方向上是如何运动的
以及第二问 电动机要跳起来的话呢
它需要的最小角速度应该是多少
下面我们来分析一下
电动机外壳在水平方向上的运动方程
我们先列出系统的质心位置
比如说假如是L
我们开始的时候在这个位置
在这一时刻的话呢
我们假设φ是等于0度的
那么当它动起来之后的话呢
可能O2点往这边动了一下
O1点往这边动 因为系统要守恒嘛
好 假设动的话会是s
这时候的话呢 我们可以写出
系统新的质心位置是等于
m1乘以它的质心位置
加上m2乘以它的质心位置 除以总质量
那么具体来看的话呢 m1的是多少呢
看 从这开始往后退了s 所以是L-s
那么类似的话呢 m2的话呢是
L-s之后再加上它的偏心的那个分量
好了 由于系统的话是在水平上面
因此的话呢
要满足0时刻和t时刻的话呢
质心位置相同 从而可以求出
s等于质量2除以质量1加质量2
再乘以e乘以sinφ
这就是系统的运动的规律
按照sinφ这样的规律运动
下面我们看一下 电动机的起跳条件
电动机要起跳的话呢必须满足
在竖直方向的话这个支撑力要为0
因此我们可以利用一下质心运动定理
可以写出来
质量乘以加速度等于力这样的方程
那么具体来说就是
m1乘以它的加速度
因为这个m1的话是定子
所以的话加速度为0
加上m2的加速度
m2的加速度的话呢
在竖直方向上的分量的话呢是
eω2cosωt 然后等于系统受的外力
在竖直方向上的分量
等于支撑力和重力
那么从这里可以解出来
基座的约束反力是
Fy等于两部分组成
一部分是由于重力导致的
一部分是由于m2偏心质量运动导致的
那么这一部分的话呢
是由cosω限定的
所以它是有正负的变化的
因此 我们可以看出来
它的最小值的话呢是
重力的部分减掉m2eω2
那么如果是Fy=0
就能求出起跳的最小角速度
那么是多少呢 我们看一下
可以算出来 角速度最小值是
m1加上m2除以m2再除以e
然后这个值乘以重力加速度开方
那么这个数值的话呢
就是电动机起跳的最小的角速度
那么这个问题我们可以讨论一下
转子偏心的电动机
没有用螺栓固定的时候
将会在水平面上作往复运动
这个具体表达式的话
我们前面已经推出来了
不过我们需要说明的是
这个结果的话呢
只是一个纯理论上的结果
实际问题的话呢 比较复杂
我们还要考虑其他因素 比如说
两个螺栓受力是不一样的
它的质心的位置偏前一点
偏后一点 以及材料的变形等等
这些因素考虑之后
我们前面说的往复运动这个结论
可能就不一定成立了
那么下面的话呢
给大家看一下实际情况
一 我们看一下 单独的电动机
如果不加限制的话 它会怎么运动
其次的话呢
我们把它稍微改造一下
变成一个最小的行走装置
大家通过这两个例子可以看一下
我们的结论是纯理论上的结论
好 这里有 电动机 电池 开关
然后呢 还有导线 以及大头针
和我们特别设计的小木头片
那么把它适当的拼装之后
你猜猜会有什么现象吗
好 我们看看我们已经做好了这个装置
这个装置的话呢 大头钉的话呢
是为了让它不容易侧倒
这是它的转子
一通电转子会转起来
好 我们看看 它的运动方向
是不是和转子垂直呢
很调皮 一开机就跑掉了
它在做圆周运动
-绪论
--绪论
-1-1 矢量描述法
--第一章运动的描述
--矢量及其运算
-1-2 直角坐标描述法
--例题1 椭圆规
--例题2 圆轮滚动
-1-3 自然坐标描述法
--例题3 单摆
-1-4 极坐标描述法
--例题4 演员
-扩展内容
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--c 时间与方向
--d 仰望星空
--e 兔子追击问题
-第一章 点的运动学--作业
-2-1 刚体的定义与运动形式
-2-2 刚体的矢量-矩阵描述
-2-3 刚体平面运动
-2-4 刚体定点运动
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-第二章 刚体运动学--作业
-3-1 点的复合运动
-3-2 刚体复合运动
-例题
-扩展内容
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--寻找四叶草
--差动齿轮
--指南车
--逆行风车
-第三章 复合运动--作业
-4-0 静力学公理序言
-4-1 主矢量和主矩
-4-2 力系的等效与简化
-4-3 受力分析与刚体平衡
-4-4 平面力系的平衡方程
-4-5 考虑摩擦的平衡问题
-4-6 刚体系的平衡
--4-6-2 桁架
--4-6-3 机构
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-扩展内容
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--平衡大师
-第四章 几何静力学--作业
-5-1 约束及其分类
--约束及其分类
-5-2 虚位移
--虚位移
-5-3 虚功原理
--虚功原理
-5-4 广义坐标和广义力
--广义坐标和广义力
-5-5 势力场中的平衡
-例题
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--不倒翁
--5-扩展-c欹器
--冈布茨
-第五章 分析静力学--作业
-6-1 质点运动微分方程
-6-2 质点在非惯性系中的运动
-6-3 相对地球的运动
-扩展内容
--宇航员的问题
-第六章 质点动力学--作业
-7-1 质点系动量定理
-7-2 质点系动量矩定理
-7-3 质点系动能定理
-7-4 质系普遍定理的综合应用
-7-5 碰撞
--7-5 碰撞
-例题
-扩展内容
--7-拓展-a跳高
--7-扩展-b跳水
--第七章 质点系动力学--作业
-8-1 达朗贝尔原理
-8-2 达朗贝尔-拉格朗日原理
-8-3 第二类拉格朗日方程
-8-4 拉格朗日方程首次积分
-例题
--达朗贝尔原理例题
-扩展内容
--广义动量守恒
--广义能量守恒
--非定常约束
--无轮小车
-第八章 分析动力学--作业