当前课程知识点：理论力学 > 第七章 质点系动力学 > 例题 > 7-3 质点系动能定理例题1-2
好 图示重物A质量为M
它下落的时候通过绳子
以及这个不计质量的滚轮
让C和B的话转动起来
滚轮C的话半径为小r
B的话半径为大R
两者的话呢质量是大M
对O轴的转动惯量
或者叫回转半径是ρ
求重物A 的加速度
那么对于这样一个题目的话呢
我们可以考虑一下
如果用动量定律
或者是动量矩定律
会有什么问题呢
好 比如说
假如考虑动量定理
我们不管是在水平方向
还是竖直方向来列方程的时候
这个地方
铰链会出现约束反应
这地方也会有摩擦力啊或者是支撑力等等
也就是说我们必须要联立方程
那么
如果用动量矩的话呢行不行呢
比如说我们对这点取矩
好 对这点取矩的话呢
D点这个约束反力不出现
但是呢在这一点还会出现 支撑力
以及相关的摩擦力等等
所以说的话呢
不管是用动量定律
或者是动量矩定律
都要出现一些
未知的约束反力
然后的话呢 你需要把系统拆开
可能在补充方程
也许会比较麻烦
因此我们看看这个题目
我们用新的方法
用动能做怎么样
我们取系统
为研究对象 就整个系统
然后呢 我们来分析一下运动关系
如果A往下运动
速度是U的话
那么他 通过绳子带动物体
物体就转动起来有了这样一个ω
导致圆心也有一个速度
同时的话呢因为是
不打滑所以的话接触点C*
是瞬心
好 这样一来的话呢 我们就知道
有下面的运动学关系
首先我们把动能写出来
动能的话包括几部分
一个是物体A的话呢
做平动比如动的是2分之一的MV²
然后这个鼓轮的话呢
有两部分动能 一部分是
平动的动能
一部分是转动动能
然后
我们根据刚才分析的运动学关系
这个速度的话呢在这一点
速度和这点速度是一样的
所以的话呢
C心是瞬心
因此的话呢
应该等于角速度乘以一个距离
所以是这样的速度v
等于（R-r）ω
那么通过这个式子可以找出
角速度和速度的关系
然后进一步的求出
O点速度
O点速度也是由这个瞬心乘这个的距离
所以就把它求出来
好了 我们把相关的角速度
和VO都代入动能中
可以求出
动能和速度的关系
然后呢 我们利用一下
动能定理
这个动能的变化
应该等于什么呢
等于所有力
做的元功
在这里面的我们看看哪些力要做功呢
只有我们这个A的重力要做功
其他的话呢虽然有很多力
但是都是不做功
比如说这个地方可能有摩擦力
但是做纯滚动 不做功
所以的话呢 只有重力他做功
然后根据动能定理的微分形式
动能的变化等于所以力作的元功
好 通过这个方程的话呢
我们这个得出
我们把这两个联立之后
得到这样一个表达式 注意
在这边的话呢
是括号里面是和质量有关系的一些量
然后外面是速度乘以低V
然后等于MGV乘以DT
然后两边的话呢
我们都除以一个DT
这边DT就没了
这边除DT之后的话呢
就会出现一个加速度
然后这个速度那个速度抵消掉之后
就求出加速度关系
就得到这样一个表达式
加速度和它的重力
以及它的相关的尺寸有关系
我们注意到这个方程
我们是以整体
为研究对象没有拆开所以的话呢
用动量定理
求解一个自由度的问题是最方便的
例2
传动轴由电动机带动
好 这是传动轴这是电动机
电动机的话呢 通过胶带
和传动轴相连
在电动机上面作用一个
力偶M
电动机轴和安装机上的滑轮
转动方向是J1 这是J1
然后传动轴
和安装机上的滑轮转动方向是J2
电动机上的滑轮半径是R1
传动轴上的半径是R2
胶带的质量是M
轴承的摩擦可以忽略不计
求一下这个角加速度
好 我们来看看
这个系统的 话呢有一个自由度
我们选取
φ1作为广义坐标
来研究整个系统的运动
我们可以把系统的动能写出来
它包括三部分动能
一部分是
这个系统的这部分的话呢做定轴转动
有一个动能是2分之一的转动惯量
乘以角速度平方
然后这个系统的话呢
也在做定轴转动
所以也是2分之一的转动惯量乘以角速度平方
那么
这个皮带的话呢
他是在做平动
所以的话呢只有一部分是2分之一的
质量乘以速度平方
那么下面的话呢我们找一下
角速度关系和速度关系
首先第一部分的话呢
这是个定轴转动
因此的话呢满足
角速度的
之比等于半径的反比
那么关于总承力的话呢
在求角加速度也是类似这样关系
同时的话呢速度的话呢
根据这个连切关系的话呢
他是等于R1乘以ω1
也等于R2乘以ω2
好了 这样一来的话呢
我们就可以把动量定理写成
和ω1有关系的一个表达式
括号里面是
是它的转动换量以及质量相关
然后我们利用一下
动能定理的微分形式
动能的变化
等于所有力做的元功
那么就会得到
括号里面作为转动惯量的表达式
等于ω1
dω1等于Mdφ1
那么这个式子的话呢
两边都除以一下
dt那么
Dφ1DT的话呢就除以φ1
而Dω1DT的话就是叫加速度
因此就会求出角加速度
等于力矩除以
相关的转动惯量的表达式
因此这个式子的话呢
就是
我们这个所关心的角加速度表达式
那么这个题目
大家做完之后可以考虑一下
如果用动量定理做
或者是动量矩的话会遇到什么问题
也会遇到
你所不关心的
约束力而出现 比如说
如果用动量定理做的时候
水平竖直方向都有这个
轴的约束反力所以是
消不掉的必须拆开再求解
如果用动量矩的话呢
比如说你对这个
取矩那么这边会出现约束反力
对这个取矩话呢这边就反力所以
总是会出现一些你不关心的
约束反力你必须 要拆开求解
所以的话呢用动量定理求解是最方便的
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--第七章 质点系动力学--作业
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-8-2 达朗贝尔-拉格朗日原理
-8-3 第二类拉格朗日方程
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-第八章 分析动力学--作业
