当前课程知识点:理论力学 > 第二章 刚体运动学 > 扩展内容 > 2-扩展-a加速度是否存在投影定理
好 那么我们已经学过了一些速度的和加速度的公式
比如说
速度 我们知道 有投影定理
那么加速度的话
是不是有投影定理呢
我们今天来分析一下
首先的话 我们前面说过
就是 我们要学会联想和猜测
那么在这个时候
我们想 速度既然有投影定理
那么加速度会不会有呢
当然我们首先我们说一下
速度投影定理是什么
涉及的是
刚体上任意两点它的速度在它的连线上面投影相等
它实际上反应的是刚体的距离不变
那么加速度会不会有这样类似的结论呢
当然我们马上可以说
没有 因为什么呢
因为我们可以马上举出一个反例出来
比如说 一个圆盘 做定轴转动
O点的话 速度为0 加速度为0
但是A点有一个向心加速度
所以没法投影
一投影不等
所以说 加速度不能像速度一样
类似有这样的投影定理
但是我们可能有疑问
就是说
加速度如果投影的话可不可以有附加项呢
第二个
我们可不可以不直接向它的A和O点连线投影
向另外一个线投影呢
所以的话 我们先不着急马上下结论
我们先研究一下
看有没有其他的结果
比如说 我们来猜测一下
会不会存在一种投影定理
它是有附加项的
比如说
我们先从圆周上来看
我们看看特例
从特例上中看出来的话
A点它有一个
比如说 做匀速圆周运动的时候
有一个向心加速度
这个时候 我们如果把A点加速度
向OA的方向投影
假设n是它的单位向量
投影之后 不等
因为它投影的话
A点加速度点乘n等于rω0
而o点加速点乘n等于0
它不等 不等它差一个什么呢
差一个rω方
因此我们可以加一个项
就直接加一个rω方
这样行不行呢 我们来看一下
假设我们猜出这样的一个公式
A点加速度点乘n等于B点加速度点乘n加上rAB乘以ω方
那么这个公式成不成立呢
我们来看一下
首先
对于A点是成立的
同时的话
你可以验证一下
比如说 作匀速圆周运动
对B点也成立
对C点还是成立
所以我们说
这个公式已经对很多点成立了
但是我们可以还有疑问
这是不是对定轴转动的特例呢
如果它不是做定轴转动
如果还有角加速度
会不会还成立呢
好 我们现在就研究一下
好 现在我们提出个猜测的命题
就是 刚体作平面运动的时候
A B是它上面任意两点
两点加速度在其连线上投影之后
相差rABω方
这是我们猜测的一个命题
那么我们怎么证明这个命题呢
利用我们前面说的基点法
我们以A点为基点
来分析B的加速度
我们可以得出来
aB=aA+ε*r+ω*(ω*r)
好 这是我们基点法的基本公式
那么在平面运动的时候
这个公式还进一步简化
变成是 B点加速的等于
A点加速度加ω叉乘r减掉rω方乘以n的方向
好了 我们把这个公式
两边都向n点乘
我们看看
点乘完之后
你稍微处理下之后
你会发现什么呢
你会发现
就等于 B点加速度点乘n等于A点加速度点乘n减掉rω方
你会发现它的确有这样的一个附加项
而且我们发现
这个附加项是什么意思呢
就是向心加速度
是个相对向心加速度
所以我们的猜测是有道理的
那么我们接着猜测
刚才我们说有附加项之后是可以成立的
那么我们现在猜测
如果没有附加项
但是我向某个另外一个方向投影行不行呢
也就是说 我们如果不是直接投影
是间接投影行不行
向某个线投影
我们还是以圆周运动为例
作定轴转动
我们希望通过一些特殊的例子得这个结果之后
能够引出一个一般的结果出来
这是一种研究方法
我们来看看
我们发现的话呢
如果对于匀速圆周运动
在OA连线上的垂直方向上的投影是成立的
因为O点的投影为0
A点的加速度是指向O点的
但是你在OA垂直方向投影为0
所以 这样投影是可以的
同时 你可以再找另外一点
比如说C点 C点是向上的
你会发现也是成立的
好 你说
再找一点
比如说找B点
你会发现
在B点上投影也是成立的
比如说
你研究A和B这两个点也是成立的
当然你可能会说
这会不会是匀速定轴转动的结果呢
会不会在一般情况下不成立呢
那么下面我们来看一看
在一般情况下会怎么样
我们先抛出个猜测的命题
就是 刚体作平面运动时
两点的加速度在其连线上旋转某个角度之后
投影相等
当然这旋转某个角度
具体什么角度等会儿我们再说
好 那么我们看看这个猜测成不成立呢
我们还是以基点法为例
以A为基点分析B的加速度
它可以写出来 B点加速度等于A点加速度加相对加速度
其中的话 我们注意
相对加速度等于ε*r+ω*(ω*r)
其中ar的大小
它是等于 r根号下面ε平方加上ω四次方
而这个角度 tanα等于什么呢
等于r乘以ε除以r乘以ω方
也就是等于ε除以ω方
我们注意到 刚体在转动的时候
在每一瞬时
角速度和角加速度
是整个刚体固有的一个属性
因此 这个角度是固定不变的
也就是说 在这个情况下
如果我们看这个图中
我们可以这样想
如果我们找到某个角度
这个角度和我们这个连线
和AB连线成一个角度β
如果我们把β取一个什么呢
二分之π剪掉α
就会出现一个投影定理成立的情况
所以 我们通过一个猜测
通过特例猜测 可以猜出一个结果
然后通过一般性的论证 证明这一点
也就是说我们通过猜测获得新的知识
也就是说 加速度存在投影定理
好 下面为了让大家把学的知识来运用
我们给大家留一个问题
一个研究问题
就是 作图题
假设有个刚体作平面运动
上面有A B两点
我们已经知道A B两点的加速度大小和方向如图所示
能否用几何方法找出它的加速度瞬心
就是 在这一时刻
加速度哪一点为0呢
能否找出来
那么问题的答案给大家自己先思考一下
如果你觉得有问题
可以接着往下看
我们看看 有两种方法来做
第一种方法是利用
加速度它的分布它有个特定的角度
我们把它的角度给找出来
比如说 我们可以看图上
以A为基点分析加速度
B点的加速度
它的相对加速度和它AB连线总是成一个角度α
这个α角是特定的
就是在每一个时候任何情况下都是一样的
利用这种方式可以找出来
具体找的时候可以怎么找
大家可以来思考一下
这是第一种方法
第二种方法
是可以利用另外一种思路来做
具体的话 我就不详细说了 留大家思考
大家可以看一下它画的一些辅助线
把它做出来
那么通过作图可以找出来加速度瞬心
作出来之后 你还要证明一下
为什么这也是加速度瞬心
好了 下面的工作就留给你们去做
好 到这 我们今天的讲座到这
-绪论
--绪论
-1-1 矢量描述法
--第一章运动的描述
--矢量及其运算
-1-2 直角坐标描述法
--例题1 椭圆规
--例题2 圆轮滚动
-1-3 自然坐标描述法
--例题3 单摆
-1-4 极坐标描述法
--例题4 演员
-扩展内容
--b 观察与思考
--c 时间与方向
--d 仰望星空
--e 兔子追击问题
-第一章 点的运动学--作业
-2-1 刚体的定义与运动形式
-2-2 刚体的矢量-矩阵描述
-2-3 刚体平面运动
-2-4 刚体定点运动
-扩展内容
-第二章 刚体运动学--作业
-3-1 点的复合运动
-3-2 刚体复合运动
-例题
-扩展内容
--钟表的设计
--寻找四叶草
--差动齿轮
--指南车
--逆行风车
-第三章 复合运动--作业
-4-0 静力学公理序言
-4-1 主矢量和主矩
-4-2 力系的等效与简化
-4-3 受力分析与刚体平衡
-4-4 平面力系的平衡方程
-4-5 考虑摩擦的平衡问题
-4-6 刚体系的平衡
--4-6-2 桁架
--4-6-3 机构
-例题
-扩展内容
--气球的平衡
--平衡大师
-第四章 几何静力学--作业
-5-1 约束及其分类
--约束及其分类
-5-2 虚位移
--虚位移
-5-3 虚功原理
--虚功原理
-5-4 广义坐标和广义力
--广义坐标和广义力
-5-5 势力场中的平衡
-例题
-扩展内容
--关于投影
--不倒翁
--5-扩展-c欹器
--冈布茨
-第五章 分析静力学--作业
-6-1 质点运动微分方程
-6-2 质点在非惯性系中的运动
-6-3 相对地球的运动
-扩展内容
--宇航员的问题
-第六章 质点动力学--作业
-7-1 质点系动量定理
-7-2 质点系动量矩定理
-7-3 质点系动能定理
-7-4 质系普遍定理的综合应用
-7-5 碰撞
--7-5 碰撞
-例题
-扩展内容
--7-拓展-a跳高
--7-扩展-b跳水
--第七章 质点系动力学--作业
-8-1 达朗贝尔原理
-8-2 达朗贝尔-拉格朗日原理
-8-3 第二类拉格朗日方程
-8-4 拉格朗日方程首次积分
-例题
--达朗贝尔原理例题
-扩展内容
--广义动量守恒
--广义能量守恒
--非定常约束
--无轮小车
-第八章 分析动力学--作业