2-扩展-a加速度是否存在投影定理在线视频

好 那么我们已经学过了一些速度的和加速度的公式

比如说

速度 我们知道 有投影定理

那么加速度的话

是不是有投影定理呢

我们今天来分析一下

首先的话 我们前面说过

就是 我们要学会联想和猜测

那么在这个时候

我们想 速度既然有投影定理

那么加速度会不会有呢

当然我们首先我们说一下

速度投影定理是什么

涉及的是

刚体上任意两点它的速度在它的连线上面投影相等

它实际上反应的是刚体的距离不变

那么加速度会不会有这样类似的结论呢

当然我们马上可以说

没有 因为什么呢

因为我们可以马上举出一个反例出来

比如说 一个圆盘 做定轴转动

O点的话 速度为0 加速度为0

但是A点有一个向心加速度

所以没法投影

一投影不等

所以说 加速度不能像速度一样

类似有这样的投影定理

但是我们可能有疑问

就是说

加速度如果投影的话可不可以有附加项呢

第二个

我们可不可以不直接向它的A和O点连线投影

向另外一个线投影呢

所以的话 我们先不着急马上下结论

我们先研究一下

看有没有其他的结果

比如说 我们来猜测一下

会不会存在一种投影定理

它是有附加项的

比如说

我们先从圆周上来看

我们看看特例

从特例上中看出来的话

A点它有一个

比如说 做匀速圆周运动的时候

有一个向心加速度

这个时候 我们如果把A点加速度

向OA的方向投影

假设n是它的单位向量

投影之后 不等

因为它投影的话

A点加速度点乘n等于rω0

而o点加速点乘n等于0

它不等 不等它差一个什么呢

差一个rω方

因此我们可以加一个项

就直接加一个rω方

这样行不行呢 我们来看一下

假设我们猜出这样的一个公式

A点加速度点乘n等于B点加速度点乘n加上rAB乘以ω方

那么这个公式成不成立呢

我们来看一下

首先

对于A点是成立的

同时的话

你可以验证一下

比如说 作匀速圆周运动

对B点也成立

对C点还是成立

所以我们说

这个公式已经对很多点成立了

但是我们可以还有疑问

这是不是对定轴转动的特例呢

如果它不是做定轴转动

如果还有角加速度

会不会还成立呢

好 我们现在就研究一下

好 现在我们提出个猜测的命题

就是 刚体作平面运动的时候

A B是它上面任意两点

两点加速度在其连线上投影之后

相差rABω方

这是我们猜测的一个命题

那么我们怎么证明这个命题呢

利用我们前面说的基点法

我们以A点为基点

来分析B的加速度

我们可以得出来

aB=aA+ε*r+ω*(ω*r)

好 这是我们基点法的基本公式

那么在平面运动的时候

这个公式还进一步简化

变成是 B点加速的等于

A点加速度加ω叉乘r减掉rω方乘以n的方向

好了 我们把这个公式

两边都向n点乘

我们看看

点乘完之后

你稍微处理下之后

你会发现什么呢

你会发现

就等于 B点加速度点乘n等于A点加速度点乘n减掉rω方

你会发现它的确有这样的一个附加项

而且我们发现

这个附加项是什么意思呢

就是向心加速度

是个相对向心加速度

所以我们的猜测是有道理的

那么我们接着猜测

刚才我们说有附加项之后是可以成立的

那么我们现在猜测

如果没有附加项

但是我向某个另外一个方向投影行不行呢

也就是说 我们如果不是直接投影

是间接投影行不行

向某个线投影

我们还是以圆周运动为例

作定轴转动

我们希望通过一些特殊的例子得这个结果之后

能够引出一个一般的结果出来

这是一种研究方法

我们来看看

我们发现的话呢

如果对于匀速圆周运动

在OA连线上的垂直方向上的投影是成立的

因为O点的投影为0

A点的加速度是指向O点的

但是你在OA垂直方向投影为0

所以 这样投影是可以的

同时 你可以再找另外一点

比如说C点 C点是向上的

你会发现也是成立的

好 你说

再找一点

比如说找B点

你会发现

在B点上投影也是成立的

比如说

你研究A和B这两个点也是成立的

当然你可能会说

这会不会是匀速定轴转动的结果呢

会不会在一般情况下不成立呢

那么下面我们来看一看

在一般情况下会怎么样

我们先抛出个猜测的命题

就是 刚体作平面运动时

两点的加速度在其连线上旋转某个角度之后

投影相等

当然这旋转某个角度

具体什么角度等会儿我们再说

好 那么我们看看这个猜测成不成立呢

我们还是以基点法为例

以A为基点分析B的加速度

它可以写出来 B点加速度等于A点加速度加相对加速度

其中的话 我们注意

相对加速度等于ε*r+ω*(ω*r)

其中ar的大小

它是等于 r根号下面ε平方加上ω四次方

而这个角度 tanα等于什么呢

等于r乘以ε除以r乘以ω方

也就是等于ε除以ω方

我们注意到 刚体在转动的时候

在每一瞬时

角速度和角加速度

是整个刚体固有的一个属性

因此 这个角度是固定不变的

也就是说 在这个情况下

如果我们看这个图中

我们可以这样想

如果我们找到某个角度

这个角度和我们这个连线

和AB连线成一个角度β

如果我们把β取一个什么呢

二分之π剪掉α

就会出现一个投影定理成立的情况

所以 我们通过一个猜测

通过特例猜测 可以猜出一个结果

然后通过一般性的论证 证明这一点

也就是说我们通过猜测获得新的知识

也就是说 加速度存在投影定理

好 下面为了让大家把学的知识来运用

我们给大家留一个问题

一个研究问题

就是 作图题

假设有个刚体作平面运动

上面有A B两点

我们已经知道A B两点的加速度大小和方向如图所示

能否用几何方法找出它的加速度瞬心

就是 在这一时刻

加速度哪一点为0呢

能否找出来

那么问题的答案给大家自己先思考一下

如果你觉得有问题

可以接着往下看

我们看看 有两种方法来做

第一种方法是利用

加速度它的分布它有个特定的角度

我们把它的角度给找出来

比如说 我们可以看图上

以A为基点分析加速度

B点的加速度

它的相对加速度和它AB连线总是成一个角度α

这个α角是特定的

就是在每一个时候任何情况下都是一样的

利用这种方式可以找出来

具体找的时候可以怎么找

大家可以来思考一下

这是第一种方法

第二种方法

是可以利用另外一种思路来做

具体的话 我就不详细说了 留大家思考

大家可以看一下它画的一些辅助线

把它做出来

那么通过作图可以找出来加速度瞬心

作出来之后 你还要证明一下

为什么这也是加速度瞬心

好了 下面的工作就留给你们去做

好 到这 我们今天的讲座到这