当前课程知识点：理论力学 > 第五章 分析静力学 > 例题 > 5-4 广义坐标和广义力例题
例1
这个装置的话称为叫惰性钳
它由由6根长杆和2根短杆组成
长杆的话 长度是2a 短杆长度是a
各杆之间用铰链连接
已经知道顶部作用P力
问底部的话 作用的Q力是多少之后
系统能够平衡
图中这个角为θ角
好 我们可以取θ为广义坐标 θ
然后呢 写出我们需要研究的B点
C点和A点坐标进行变分
例如A点坐标写出来
需要说明的是A点的话呢
我们只需要列竖直方向的坐标进行变分
就可以了
C点 B点列式都可以求出来
然后利用虚位移原理
那么注意一下 正负号
做功的时候有正负号
可以得到Q=7/2 Pcotθ
例2
均质杆OA和AB的话呢 在A点铰接
两杆长度为l1 l2
质量均为P
在B端的话呢 作用一个水平的力
S=1/2 P 问平衡时候
各杆和竖直线的夹角αβ等于多少
我们用解析法进行求解
取αβ为广义坐标
我们写出B点的水平方向的坐标
可以很快把它写出来
把C点竖直方向写出来
还有D点写出来
那么注意到的话呢
这几个点的话 都是要做功的时候
要看它的虚位移
所以的话呢 把它相应的坐标写出来
然后进行变分 得到虚位移
那么进行变分
然后呢 我们利用虚位移原理
把它代进去算一下
根据虚位移原理 公式得的功
虚功之和等于0
从而可以求出
Qa=1/2 Pl1（cosα-3sinα）=0
这一项的话 α对应的广义力 最后等于0
类似的话呢 β对应的广义力也要等于0
那么通过这两个广义力等于0的话呢
就可以求出我们所关心的角度
tanα=1/3 tanβ=1
大家注意 在这个地方
我们通过虚功等于0 得出的这个值
也可以通过广义力为0求出来 都可以
那么这个题目还可以用几何法来做
我们来看一下
首先的话呢 我们取这样一个虚位移
δα=0 δβ≠0
那么这什么意思呢
因为我们前面说了 αβ是广义坐标
它们是可以独立变化的
既然可以独立变化
我们就可以让某一个不变 让另外一个变化
这样的话呢 就把问题简化了
好了 下面我们画出虚位移
因为α不考虑变化 所以α这个OA杆不动
我们考虑AB杆有个转角δβ
然后画出对应的虚位移
这时注意 因为这个PD要做功
所以我们画出它的虚位移
这个B点的S也做功 可以画出它的虚位移
好 然后呢 我们把它对应的虚位求出来
C点因为不动 所以的话呢虚位移为0
B点的话呢 是2δrp 好也可以把它写出来
然后利用虚位移原理
注意加括号 然后求出对应的广义力
这时候是β对应的广义力
广义力为0
从而求出tgβ=1
然后呢 我们再取δα≠0 δβ=0
这什么意思呢 就是让β角不变化
让α有一变化 好 注意
α有了变化 也就是OA有个转角
然后这时候注意
β角不变化 所以的话呢β对应的这个
是平移 也就是说AB平移
好这样一来的话呢 我们就算出来
B的虚位移和E点的相等
和C点相等 然后根据虚位移原理
把它代进去
好 通过虚功的话呢 可以求出
α对应的广义力它等于0
从这个公式中 可以求出来
tanα=1/3
例3
已知图示系统m1 m2和M都是已知的
夹角αβ已知 接触面光滑
求平衡时候 这个质量m1 m2和M的关系
好 这是一个二自由度的平衡问题
我们可以选独立的广义坐标x1和x2
x1的话呢就是m1的位移
x2的话呢是m2的位移
由于有了x1和x2 所以的话呢
导致M物体的话有一个位移 我们用m3表示
但它是不独立的
好 我们来看看 如何求解
我们先求x1对应的广义力
这样怎么求呢
我们可以让x1≠0 让它有个虚位移
让x2不动 或者是说x2的虚位移为0
在这种情况下 我们可以求出虚功
这时候需要注意的是
当x2不动的情况下 x1有一个虚位移
和M有一个虚位移啊 它们是一个
定滑轮和动滑轮的关系
所以是有一个一倍和二分之一倍的关系
所以的话呢 代进去之后会求出
虚功是等于m1 g sinαδx1-M g 1/2δx1
然后我们求出x1对应的广义力Q1
Q1的话呢它可以是
δW1/δx1这样就得到
乘完之后通过这个式子就等于0
也就是说平衡的时候的话呢
广义力要等于0
可以求出m1和M的关系
然后我们再求x2对应的广义力Q2
这时候 我们可以让x1不变
让它虚位移为0 让x2有个虚位移
好 列式的话呢 我们也可以求出
对应的广义力Q2是等于
δW2/δx2 得出这样一个式子
通过这式子的话呢 说明
平衡的时候的话呢
广义力Q2也要等于0
所以求出了m2和M的关系
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